Gleichschenkliges Dreieck

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Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten. Folglich sind auch die beiden Winkel gleich groß, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen. Zur vollständigen Bestimmung werden zwei Bestimmungsstücke benötigt, davon zumindest eine Seite.

Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel, die dritte Seite heißt Basis. Der der Basis gegenüberliegende Eckpunkt heißt Spitze. Die an die Basis anliegenden Winkel heißen Basiswinkel.

Jedes gleichschenklige Dreieck ist achsensymmetrisch. Es kann spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig sein. Schließt die Spitze den Winkel oder ein, wird es Goldenes Dreieck erster bzw. zweiter Art genannt.

Berechnung und Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formeln des gleichschenkligen Dreiecks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein gleichschenkliges Dreieck ( = )
Seitenlängen

Höhe
Umfang
Winkel

Flächeninhalt

oder

Basiswinkelsatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Basiswinkelsatz besagt, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die beiden Basiswinkel, also die Winkel, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen, gleich groß sind. Umgekehrt gilt auch: Sind in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß, so sind auch die beiden gegenüberliegenden Seiten gleich lang.

In der Literatur findet man den Basiswinkelsatz auch unter dem Namen Eselsbrücke (lateinisch pons asinorum).[1]

Zwei Seiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im gleichschenkligen Dreieck ist durch zwei unterschiedlich lange Seiten sofort die dritte mitbestimmt, wenn man weiß, welche der Seiten die Basis ist. Dadurch ergibt sich ein SSS-Fall. Die Winkel können mit Hilfe des Kosinussatzes berechnet werden.

Eine Seite und ein Winkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Winkel gegeben, so lassen sich aus der Beziehung

sofort alle übrigen Winkel berechnen. Dadurch kann man das Dreieck nach dem WSW-Fall behandeln. Die fehlenden Seiten können mit dem Sinussatz berechnet werden.

Ausgezeichnete Punkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gleichschenklige Dreiecke sind achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse stimmt mit der Höhe, der Mittelsenkrechten (Streckensymmetrale) und der Seitenhalbierenden (Schwerlinie) der Basis und mit der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetrale) des Winkels an der Spitze überein. Der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt, der Schwerpunkt und der Inkreismittelpunkt liegen auf dieser Symmetrieachse.

In einem gleichschenkligen Dreieck, das nicht gleichseitig ist, stimmt die eulersche Gerade also mit der Symmetrieachse überein.

Isosceles-triangle-more.svg Gleichschenkliges Dreieck mit
  • Symmetrieachse
  • Mittelsenkrechte und Umkreismittelpunkt
  • Seitenhalbierende und Schwerpunkt
  • Winkelhalbierende und Inkreismittelpunkt

Siehe auch: Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

Begriffsgeschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach Euklid wurde ein gleichschenkliges Dreieck dadurch definiert, dass es nur zwei gleich lange Seiten besitzt,[2] wohingegen es heute überwiegend als ein Dreieck mit mindestens zwei gleich langen Seiten definiert wird. Die moderne Definition schließt damit, im Gegensatz zu der des Euklid, das gleichseitige Dreieck[3] als einen Spezialfall des gleichschenkligen Dreiecks ein.[4]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • H. S. M. Coxeter: Unvergängliche Geometrie. Birkhäuser, Basel [u. a.] 1963 (Deutsche Übersetzung von: Introduction to Geometry. Wiley, 1961).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Gleichschenkliges Dreieck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. H. S. M. Coxeter: Unvergängliche Geometrie. Hrsg.: Springer Basel AG, 1981. ISBN 978-3-0348-5151-0. (Google Books, Auszug von S. 19), die darin erwähnte Gestalt der Figur in Euklid (I, 5 Fig. 5 …), S. 7 aus Euklids Elemente von J. F. Lorenz, [beides abgerufen am 21. Januar 2017].
  2. Johann Friedrich Lorenz: Euklids Elemente, fünfzehn Bücher. Hrsg.: Im Verlag der Buchhandlung des Waysenhauses. Halle 1781, S. 3 (Euklids Elemente, Erstes Buch, Definitionen, 25. gleichschenklich aber, welcher nur zwey gleiche Seiten hat, [abgerufen am 21. Januar 2017]).
  3. Johann Friedrich Lorenz: Euklids Elemente, fünfzehn Bücher. Hrsg.: Im Verlag der Buchhandlung des Waysenhauses. Halle 1781, S. 2 (Euklids Elemente, Erstes Buch, Definitionen, 24. Unter den Triangeln heißt derjenige gleichseitig, welcher drey gleiche Seiten hat, [abgerufen am 21. Januar 2017]).
  4. Saul Stahl: Geometry from Euclid to Knots. Prentice-Hall, 2003, ISBN 0-13-032927-4, (Google Books, Auszug von S. 37)