Zehneck

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regelmäßiges Zehneck

In der Geometrie ist das Zehneck (auch Dekagon) ein beliebiges Polygon mit zehn Seiten und zehn Ecken. Im Weiteren wird das regelmäßige Zehneck behandelt. Es hat gleich lange Seiten und seine Ecken liegen auf einem gemeinsamen Umkreis. Sein Schläfli-Symbol ist {10}.

Formeln[Bearbeiten]

Größen eines regelmäßigen Zehnecks mit Seitenlänge (Kantenlänge) a
Inkreisradius  r_i = \frac{a}{2} \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \approx a \cdot 1{,}538842

Größen des Zehnecks

Umkreisradius  r_u = \frac{a}{2} (1 + \sqrt{5}) \approx a \cdot 1{,}618034
Diagonale über 2 (bzw. 8) Seiten  d_2 = \frac{a}{2}  \sqrt{10 +  2 \sqrt{5}} \approx a \cdot 1{,}902113
Diagonale über 3 (bzw. 7) Seiten  d_3 = \frac{a}{2}  \sqrt{14 +  6 \sqrt{5}} \approx a \cdot 2{,}618034
Diagonale über 4 (bzw. 6) Seiten  d_4 = a \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} = 2 r_i \approx a \cdot 3{,}077684
Diagonale über 5 Seiten  d = a (1 + \sqrt{5}) = 2 r_u  \approx a \cdot 3{,}236068
Zentriwinkel  \alpha = \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ
Innenwinkel  \delta = 180^\circ - \alpha = 144^\circ

 \cos \delta = -\frac{1}{4}\left(1+\sqrt{5}\right)  \approx -0{,}8090170

Flächeninhalt  A = \frac{5}{2} a^2 \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \approx a^2 \cdot 7{,}694209  

Berechnung der Fläche A[Bearbeiten]

Der Flächeninhalt A eines regelmäßigen Zehnecks mit der Seitenlänge a berechnet sich wie folgt:

A = \frac{5}{2}a^2 \cot \frac{\pi}{10} = \frac{5a^2}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}} \approx 7{,}69421 a^2.

Konstruktion eines Zehnecks[Bearbeiten]

Ein regelmäßiges Zehneck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Konstruktion bei gegebenem Umkreis[Bearbeiten]

  1. Konstruiere ein regelmäßiges Fünfeck, entsprechend der Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis.
  2. Ziehe eine Linie von jeder Ecke des Fünfecks durch den Mittelpunkt des Kreises, der in Schritt 1 gemacht wurde, zur anderen Seite des selben Kreises.
  3. Die fünf Ecken des Fünfecks legen jede zweite Ecke des Zehnecks fest. Die verbliebenen fünf Ecken sind die Punkte, die durch Schritt 2 auf der anderen Seite des Kreises konstruiert wurden.

Eine mögliche Alternative zu der oben beschriebenen Vorgehensweise ist folgende:

regelmäßiges Zehneck[1]
alternative Konstruktion
  1. Führe die Konstruktionsschritte zu einem Fünfeck nur soweit aus, bis dessen Seitenlänge durch die Strecke E3H bestimmt ist. In der vertikalen Achse des Achsenkreuzes ergeben sich dabei die Eckpunkte E3 und E8.
  2. Übertrage die so bestimmte Fünfeckseite E3H auf den Umkreis, es ergibt sich der erste Eckpunkt E1 des entstehenden Zehnecks.
  3. Halbiere den Winkel E1ME3 (Zentriwinkel eines Fünfecks), es ergibt sich der zweite Eckpunkt E2 und somit die erste Seite E1E2 des Zehnecks.
  4. Bestimme die restlichen Eckpunkte durch Abtragen der Strecke E1E2 auf den Umkreis entgegen dem Uhrzeigersinn.
  5. Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, damit ist das Zehneck fertiggestellt.

Konstruktion bei gegebener Seitenlänge[Bearbeiten]

regelmäßiges Zehneck
bei gegebener Seitenlänge[2]
  1. Bezeichne die Endpunkte der Seitenlänge a mit E1 und E10
  2. Zeichne einen Kreisbogen um E1 mit dem Radius E1E10 durch E10.
  3. Konstruiere eine Senkrechte zur Seitenlänge a ab E1 bis sie den Kreisbogen um E1 in A schneidet.
  4. Zeichne einen Kreisbogen um E10 mit dem Radius E1E10 durch E1, es ergeben sich die Schnittpunkte B und C.
  5. Zeichne eine gerade Linie ab C durch B (Mittelsenkrechte), sie schneidet die Seitenlänge a in D.
  6. Verlängere die Seitenlänge a ab E1.
  7. Zeichne einen Kreisbogen um D mit dem Radius AD bis er die Verlängerung der Seitenlänge a in F schneidet.
  8. Zeichne einen Kreisbogen um E10 mit dem Radius E10F, er schneidet die Mittelsenkrechte von E1E10 im Mittelpunkt M des Umkreises vom gesuchten Zehneck.
  9. Zeichne den Umkreis des entstehenden Zehnecks um M mit dem Radius R = ME10.
  10. Bestimme die restlichen Eckpunkte durch Abtragen der Seitenlänge a auf den Umkreis entgegen dem Uhrzeigersinn.
  11. Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, damit ist das Zehneck fertiggestellt.

Der Goldene Schnitt im Zehneck[Bearbeiten]

Sowohl in der Konstruktion bei gegebenem Umkreis als auch in der bei gegebener Seitenlänge ist der Goldene Schnitt der maßgebende Baustein.

Der Kreis um G mit dem Radius GE3 teilt die Strecke AH im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
\frac{\overline{AM}}{\overline{MH}} = \frac{\overline{AH}}{\overline{AM}} = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} = \Phi \approx 1{,}618 \text{.}
Der Kreis um E10 mit dem Radius DA teilt die Strecke E10F im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
\frac{\overline{E_1 E_{10}}}{\overline{E_1 F}} = \frac{\overline{E_{10} F}}{\overline{E_1 E_{10}}} = \frac{R}{a} = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} =\Phi \approx 1{,}618 \text{.}

Vorkommen[Bearbeiten]

Architektur[Bearbeiten]

ZBBBauverw 1911 - Maria, Hilfe der Christen - Ansicht Askanierring.jpg ZBBBauverw 1911 - Maria, Hilfe der Christen - Grundriss.jpg
Maria, Hilfe der Christen (Quelle: WP)

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Karl Koppe: [C. Vom goldenen Schnitte und dem regelmäßigen Fünfeck, § 233 Aufgabe und § 243 AufgabeAbbildung: Tafel IX, Fig. 159, S. 173) Planimetrie für den Schul- und Selbst-Unterricht.] In: books.google.de. Druck und Verlag G. D. Bädeker, 1873, S. 116-117 bzw. 173, abgerufen am 5. Februar 2016.
  2. a b Jürgen Köller: Regelmäßiges Zehneck, → "Ist die Seite a gegeben ..." In: Mathematische Basteleien. 2005, abgerufen am 4. Februar 2016.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Zehneck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Zehneck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen