Triviale Gruppe

Die triviale Gruppe ist in der Gruppentheorie eine Gruppe, deren Trägermenge genau ein Element enthält. Die triviale Gruppe ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Definition

Die triviale Gruppe $(\{e\},\cdot )$ ist eine Gruppe bestehend aus der einelementigen Menge $\{e\}$ versehen mit der einzig möglichen Gruppenoperation

$e\cdot e=e$.

Das Element $e$ ist damit das neutrale Element der Gruppe.

Beispiele

Alle trivialen Gruppen sind zueinander isomorph. Beispiele für triviale Gruppen sind:

• die zyklische Gruppe $C_{1}$ vom Grad $1$
• die alternierende Gruppe $A_{2}$ vom Grad $2$
• die symmetrische Gruppe $S_{1}$ einer einelementigen Menge

Eigenschaften

• Da die Gruppenoperation $\cdot$ kommutativ ist, ist die triviale Gruppe eine abelsche Gruppe.
• Die einzige Untergruppe der trivialen Gruppe ist die triviale Gruppe selbst.
• Die trivale Gruppe wird von der leeren Menge erzeugt: $\{e\}=\langle \emptyset \rangle$. Hierbei ergibt das leere Produkt nach üblicher Konvention das neutrale Element.
• Jede Gruppe enthält die triviale Gruppe und sich selbst als (triviale) Normalteiler. Die triviale Gruppe wird daher nicht als einfache Gruppe angesehen.
• In der Kategorie der Gruppen Grp fungiert die triviale Gruppe als Nullobjekt.

Siehe auch

• Nullring
• Nullvektorraum

Literatur

• Rainer Schulze-Pillot: Einführung in Algebra und Zahlentheorie. Springer, 2008, ISBN 3-540-79570-7. 
• Jürgen Wolfart: Einführung in die Zahlentheorie und Algebra. Springer, 2010, ISBN 3-8348-9833-3. 

Weblinks

• Todd Rowland, Eric W. Weisstein: Trivial Group. In: MathWorld (englisch).