„Matrizenaddition“ – Versionsunterschied
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Die '''Matrizenaddition''' oder '''Matrixaddition''' ist in der [[Mathematik]] eine additive [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] zweier [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] gleicher Größe. Das Ergebnis einer Matrizenaddition wird '''Matrizensumme''', '''Matrixsumme''' oder '''Summenmatrix''' genannt und ergibt sich durch komponentenweise [[Addition]] der jeweils entsprechenden Einträge der beiden Ausgangsmatrizen. Die Matrizenaddition ist [[Assoziativgesetz|assoziativ]], [[Kommutativgesetz|kommutativ]] und mit der [[Matrizenmultiplikation]] [[Distributivgesetz|distributiv]]. |
Die '''Matrizenaddition''' oder '''Matrixaddition''' ist in der [[Mathematik]] eine additive [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] zweier [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] gleicher Größe. Das Ergebnis einer Matrizenaddition wird '''Matrizensumme''', '''Matrixsumme''' oder '''Summenmatrix''' genannt und ergibt sich durch komponentenweise [[Addition]] der jeweils entsprechenden Einträge der beiden Ausgangsmatrizen. Die Matrizenaddition ist [[Assoziativgesetz|assoziativ]], [[Kommutativgesetz|kommutativ]] und mit der [[Matrizenmultiplikation]] [[Distributivgesetz|distributiv]]. |
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Ist <math>(R,+)</math> ein Ring und sind <math>A = (a_{ij}) \in R^{m \times n}</math> sowie <math>B = (b_{ij}) \in R^{m \times n}</math> zwei [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] über <math>R</math>, dann wird die Matrizensumme von <math>A</math> und <math>B</math> durch |
Ist <math>(R,+)</math> ein Ring und sind <math>A = (a_{ij}) \in R^{m \times n}</math> sowie <math>B = (b_{ij}) \in R^{m \times n}</math> zwei [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] über <math>R</math>, dann wird die Matrizensumme von <math>A</math> und <math>B</math> durch |
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:<math>A + B = ( a_{ij} + b_{ij} ) = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{pmatrix}</math> |
: <math>A + B = ( a_{ij} + b_{ij} ) = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{pmatrix}</math> |
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definiert.<ref>{{Literatur|Autor=Artin|Titel=Algebra|Seiten=2}}</ref> Die Summenmatrix ergibt sich demnach durch komponentenweise Addition der entsprechenden Einträge der beiden Ausgangsmatrizen. Sie ist dabei nur für den Fall definiert, dass die beiden Ausgangsmatrizen die gleiche Größe aufweisen. Die Ergebnismatrix besitzt dann ebenfalls diese Größe. |
definiert.<ref>{{Literatur |Autor=Artin |Titel=Algebra |Datum= |Seiten=2}}</ref> Die Summenmatrix ergibt sich demnach durch komponentenweise Addition der entsprechenden Einträge der beiden Ausgangsmatrizen. Sie ist dabei nur für den Fall definiert, dass die beiden Ausgangsmatrizen die gleiche Größe aufweisen. Die Ergebnismatrix besitzt dann ebenfalls diese Größe. |
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== Beispiel == |
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Die Matrizensumme der beiden reellen (2 |
Die Matrizensumme der beiden reellen (2 × 2)-Matrizen |
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: <math>A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> und <math>B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}</math> |
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:<math>A + B = \begin{pmatrix} 3 + 1 & 2 + 3 \\ 0 + 2 & 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}</math>. |
: <math>A + B = \begin{pmatrix} 3 + 1 & 2 + 3 \\ 0 + 2 & 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}</math>. |
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Das Matrizenaddition erbt die Eigenschaften des zugrunde liegenden Rings. Sie ist [[Assoziativgesetz|assoziativ]], das heißt für Matrizen <math>A,B,C \in R^{m \times n}</math> gilt |
Das Matrizenaddition erbt die Eigenschaften des zugrunde liegenden Rings. Sie ist [[Assoziativgesetz|assoziativ]], das heißt für Matrizen <math>A,B,C \in R^{m \times n}</math> gilt |
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:<math>A + (B + C) = ( A + B ) + C</math>. |
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Weiter ist die Matrizenaddition verträglich mit der [[Matrix (Mathematik)#Skalarmultiplikation|Multiplikation von Skalaren]] <math>a \in R</math>, das heißt |
Weiter ist die Matrizenaddition verträglich mit der [[Matrix (Mathematik)#Skalarmultiplikation|Multiplikation von Skalaren]] <math>a \in R</math>, das heißt |
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:<math>a \, (A + B) = a \, A + a \, B</math>. |
: <math>a \, (A + B) = a \, A + a \, B</math>. |
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Zusammen mit der [[Matrizenmultiplikation]] gelten zudem die [[Distributivgesetz]]e |
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Weiter gilt für die [[transponierte Matrix]] einer Summe zweier Matrizen |
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Die Summe zweier [[Symmetrische Matrix|symmetrischer Matrizen]] ist demnach wieder symmetrisch. |
Die Summe zweier [[Symmetrische Matrix|symmetrischer Matrizen]] ist demnach wieder symmetrisch. |
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Die Menge der Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenaddition eine additive [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>(R^{m \times n}, +)</math>. Das [[Neutrales Element|neutrale Element]] in dieser Gruppe ist die [[Nullmatrix]] <math>0 \in R^{m \times n}</math>, bei der alle Einträge gleich dem Nullelement in <math>R</math> sind. Somit gilt für alle Matrizen <math>A \in R^{m \times n}</math> |
Die Menge der Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenaddition eine additive [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>(R^{m \times n}, +)</math>. Das [[Neutrales Element|neutrale Element]] in dieser Gruppe ist die [[Nullmatrix]] <math>0 \in R^{m \times n}</math>, bei der alle Einträge gleich dem Nullelement in <math>R</math> sind. Somit gilt für alle Matrizen <math>A \in R^{m \times n}</math> |
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:<math>A + 0 = 0 + A = A</math>. |
: <math>A + 0 = 0 + A = A</math>. |
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Das zu einer Matrix <math>A=(a_{ij})</math> additiv [[Inverses Element|inverse Element]] ist dann die Matrix |
Das zu einer Matrix <math>A=(a_{ij})</math> additiv [[Inverses Element|inverse Element]] ist dann die Matrix |
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:<math>-A = ( -a_{ij} )</math>, |
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wobei <math>-a</math> das additiv inverse Element zu <math>a</math> in <math>R</math> darstellt. Die [[Subtraktion|Differenz]] zweier Matrizen ist damit gegeben durch<ref>{{Literatur|Autor=Leiserson, Rivest, Stein|Titel=Algorithmen – eine Einführung|Seiten=1230}}</ref> |
wobei <math>-a</math> das additiv inverse Element zu <math>a</math> in <math>R</math> darstellt. Die [[Subtraktion|Differenz]] zweier Matrizen ist damit gegeben durch<ref>{{Literatur |Autor=Leiserson, Rivest, Stein |Titel=Algorithmen – eine Einführung |Datum= |Seiten=1230}}</ref> |
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:<math>A - B = A + (-B) = ( a_{ij} - b_{ij} )</math>. |
: <math>A - B = A + (-B) = ( a_{ij} - b_{ij} )</math>. |
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=== Matrizenringe === |
=== Matrizenringe === |
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{{Hauptartikel|Matrizenring}} |
{{Hauptartikel|Matrizenring}} |
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Die Menge der [[Quadratische Matrix|quadratischen Matrizen]] fester Größe bildet mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation einen (nichtkommutativen) [[Ring (Mathematik)|Ring]] <math>(R^{n \times n}, +, \cdot)</math>. Ist der zugrunde liegende Ring <math>R</math> [[ |
Die Menge der [[Quadratische Matrix|quadratischen Matrizen]] fester Größe bildet mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation einen (nichtkommutativen) [[Ring (Mathematik)|Ring]] <math>(R^{n \times n}, +, \cdot)</math>. Ist der zugrunde liegende Ring <math>R</math> [[Unitärer Ring|unitär]], dann ist auch der zugehörige Matrizenring unitär, wobei das [[Einselement]] durch die [[Einheitsmatrix]] <math>I \in R^{n \times n}</math> dargestellt wird. |
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Ebenfalls einen Ring bildet die Menge der Matrizen beliebiger fester Größe mit der Matrizenaddition und dem [[Hadamard-Produkt]] <math>(R^{m \times n}, +, \circ)</math>. Ist <math>R</math> unitär, dann besitzt auch dieser Matrizenring ein Einselement, die [[Einsmatrix]] <math>J \in R^{m \times n}</math>, bei der alle Elemente gleich dem Einselement des Ausgangsrings sind. |
Ebenfalls einen Ring bildet die Menge der Matrizen beliebiger fester Größe mit der Matrizenaddition und dem [[Hadamard-Produkt]] <math>(R^{m \times n}, +, \circ)</math>. Ist <math>R</math> unitär, dann besitzt auch dieser Matrizenring ein Einselement, die [[Einsmatrix]] <math>J \in R^{m \times n}</math>, bei der alle Elemente gleich dem Einselement des Ausgangsrings sind. |
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Ist <math>A \in \mathbb{K}^{m \times n}</math> eine Matrix über dem Körper der [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen und <math>\| \cdot \|</math> eine [[Matrixnorm]], dann gilt, per Definition einer [[Norm (Mathematik)|Norm]], die [[Dreiecksungleichung]] |
Ist <math>A \in \mathbb{K}^{m \times n}</math> eine Matrix über dem Körper der [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen und <math>\| \cdot \|</math> eine [[Matrixnorm]], dann gilt, per Definition einer [[Norm (Mathematik)|Norm]], die [[Dreiecksungleichung]] |
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:<math>\| A + B \| \leq \| A \| + \| B \|</math>. |
: <math>\| A + B \| \leq \| A \| + \| B \|</math>. |
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Die Norm einer Matrizensumme ist demnach höchstens so groß wie die Summe der Normen der Summanden. |
Die Norm einer Matrizensumme ist demnach höchstens so groß wie die Summe der Normen der Summanden. |
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== Literatur == |
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[[Kategorie:Ringtheorie]] |
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Version vom 13. Juni 2019, 21:29 Uhr
Die Matrizenaddition oder Matrixaddition ist in der Mathematik eine additive Verknüpfung zweier Matrizen gleicher Größe. Das Ergebnis einer Matrizenaddition wird Matrizensumme, Matrixsumme oder Summenmatrix genannt und ergibt sich durch komponentenweise Addition der jeweils entsprechenden Einträge der beiden Ausgangsmatrizen. Die Matrizenaddition ist assoziativ, kommutativ und mit der Matrizenmultiplikation distributiv.
Die Menge der Matrizen bildet mit der Matrizenaddition eine additive Gruppe, deren neutrales Element die Nullmatrix ist. Die Menge der quadratischen Matrizen über einem Ring bildet mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation wiederum einen Ring. Die Menge der Matrizen über einem Körper bildet mit der Matrizenaddition und der Skalarmultiplikation einen Vektorraum.
Definition
Ist ein Ring und sind sowie zwei Matrizen über , dann wird die Matrizensumme von und durch
definiert.[1] Die Summenmatrix ergibt sich demnach durch komponentenweise Addition der entsprechenden Einträge der beiden Ausgangsmatrizen. Sie ist dabei nur für den Fall definiert, dass die beiden Ausgangsmatrizen die gleiche Größe aufweisen. Die Ergebnismatrix besitzt dann ebenfalls diese Größe.
Beispiel
Die Matrizensumme der beiden reellen (2 × 2)-Matrizen
- und
ergibt sich als
- .
Eigenschaften
Das Matrizenaddition erbt die Eigenschaften des zugrunde liegenden Rings. Sie ist assoziativ, das heißt für Matrizen gilt
- .
und kommutativ, also
- .
Weiter ist die Matrizenaddition verträglich mit der Multiplikation von Skalaren , das heißt
- .
Zusammen mit der Matrizenmultiplikation gelten zudem die Distributivgesetze
- und .
Weiter gilt für die transponierte Matrix einer Summe zweier Matrizen
- .
Die Summe zweier symmetrischer Matrizen ist demnach wieder symmetrisch.
Algebraische Strukturen
Matrizen als Gruppe
Die Menge der Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenaddition eine additive Gruppe . Das neutrale Element in dieser Gruppe ist die Nullmatrix , bei der alle Einträge gleich dem Nullelement in sind. Somit gilt für alle Matrizen
- .
Das zu einer Matrix additiv inverse Element ist dann die Matrix
- ,
wobei das additiv inverse Element zu in darstellt. Die Differenz zweier Matrizen ist damit gegeben durch[2]
- .
Matrizenringe
Die Menge der quadratischen Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation einen (nichtkommutativen) Ring . Ist der zugrunde liegende Ring unitär, dann ist auch der zugehörige Matrizenring unitär, wobei das Einselement durch die Einheitsmatrix dargestellt wird.
Ebenfalls einen Ring bildet die Menge der Matrizen beliebiger fester Größe mit der Matrizenaddition und dem Hadamard-Produkt . Ist unitär, dann besitzt auch dieser Matrizenring ein Einselement, die Einsmatrix , bei der alle Elemente gleich dem Einselement des Ausgangsrings sind.
Matrizenraum
Die Menge der Matrizen beliebiger fester Größe über einem Körper bildet mit der Matrizenaddition und der Skalarmultiplikation einen Vektorraum . Die Standardbasis für diesen Matrizenraum besteht aus der Menge der Standardmatrizen , bei denen der Eintrag an der Stelle eins ist und alle anderen Einträge null sind. Der Matrizenraum hat demnach die Dimension .
Ist eine Matrix über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen und eine Matrixnorm, dann gilt, per Definition einer Norm, die Dreiecksungleichung
- .
Die Norm einer Matrizensumme ist demnach höchstens so groß wie die Summe der Normen der Summanden.
Literatur
- Michael Artin: Algebra. Springer, 1998, ISBN 3-7643-5938-2.
- Charles Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein: Algorithmen – eine Einführung. Oldenbourg, 2010, ISBN 3-486-59002-2.
- Eberhard Zeidler (Hrsg.): Taschenbuch der Mathematik. Band 1. Springer, 2012, ISBN 978-3-8351-0123-4.
Weblinks
- D.A. Suprunenko: Matrix. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
- Eric W. Weisstein: Matrix Addition. In: MathWorld (englisch).
- djao: Matrix operations. In: PlanetMath. (englisch)