Periodizität (Mathematik)

In der Mathematik spricht man von Periodizität, wenn sich die Werte einer Funktion oder Folge in regelmäßigen Abständen wiederholen. Die Funktion oder Folge wird periodisch genannt, die Abstände zwischen dem Auftreten desselben Funktionswertes Periode.

Weiterhin wird Periode als Vereinfachungs-Begriff bei der Darstellung rationaler Zahlen im Dezimalsystem verwendet.

Reelle Funktionen

Illustration einer periodischen Funktion mit der Periode $P$.

Definition, Eigenschaften der Menge der Perioden und Beispiele

Eine reelle Zahl $T$ ist eine Periode einer in $\mathcal{D}_f \subseteq \mathbb{R}$ definierten Funktion, wenn gilt:

• $x \in \mathcal{D}_f \Longleftrightarrow x + T \in \mathcal{D}_f \quad\forall x \in \mathbb{R}$
• $f(x+T) = f(x) \quad\forall x \in \mathcal{D}_f$

Die Funktion $f$ ist periodisch, wenn sie mindestens eine Periode $T \neq 0$ zulässt. Man sagt dann auch, $f$ sei „$T$-periodisch“. Für die Periode gelten folgende Eigenschaften:

• Ist $T$ eine Periode von $f$, so ist auch $-T$ eine Periode von $f$;
• Sind $T_1$ und $T_2$ zwei Perioden von $f$, so ist auch $T_1+T_2$ eine Periode von $f$.

Meist interessiert man sich für die kleinste positive Periode. Diese existiert für jede nichtkonstante stetige periodische Funktion. (Eine konstante Funktion ist periodisch mit jeder beliebigen Periode ungleich 0.)

Wenn $f$ eine kleinste positive Periode hat, so sind die Perioden von $f$ die Vielfachen von $T$. Im anderen Fall ist die Menge der Perioden von $f$ dicht in $\mathbb R$.

Die bekanntesten periodischen Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen, insbesondere der Sinus, der eine immer gleich bleibende Schwingung zwischen -1 und 1 durchführt, die sich im Abstand von 2π (π ist die Kreiszahl pi) wiederholt.

Periodische Funktionen als Funktionen auf der Kreislinie

Es sei $S^1=\{z\in\mathbb C\mid |z|=1\}$ der Einheitskreis. Man kann periodische Funktionen auf $\R$ mit Periode $T$ mit Funktionen auf $S^1$ identifizieren: Einer Funktion $f$ auf $S^1$ entspricht die $T$-periodische Funktion

$x\mapsto f(\mathrm e^{2\pi\mathrm i x/T}).$

Eigenschaften der Funktionen wie Beschränktheit, Stetigkeit oder Differenzierbarkeit übertragen sich jeweils auf die andere Sichtweise.

Fourierreihen $\textstyle \sum_{n\in\mathbb Z}c_n\mathrm e^{\mathrm in\omega t}$ entsprechen Laurentreihen $\textstyle \sum_{n\in\mathbb Z}c_nz^n$.

Folgen

Definitionen

Eine Folge $a_1,a_2,a_3,\ldots$ heißt periodisch, wenn es eine natürliche Zahl $d$ gibt, so dass $a_n=a_{n+d}$ für alle $n$ gilt. $d$ heißt eine Periode der Folge. Spricht man von der Periode einer Folge, so ist die kleinste Periode gemeint; alle anderen Perioden sind dann Vielfache dieser kleinsten Periode.

Eine Folge heißt allgemeiner schließlich periodisch, wenn es natürliche Zahlen $d$ und $N$ gibt, so dass $a_n=a_{n+d}$ für alle $n\geq N$ gilt. Ein endlicher Teil der Folge ist also beliebig, und ab dem Index $N$ wiederholen sich die Folgenwerte.

Eigenschaften

Ist eine Folge rekursiv definiert, d.h. durch $a_{n+1}=f(a_n)$ mit einer festen Funktion $f$, und nimmt sie nur endlich viele Werte an, so wird sie schließlich periodisch.

Beispiel: Es sei $a_0 = 1$ und $a_{n+1}$ = (2$a_n$ mod 100)     für $n$ ≥ 0.

Anschaulich ist $a_n$ die aus den letzten beiden Ziffern der Dezimaldarstellung von $2^n$ gebildete Zahl. Diese Folge fängt an mit den Werten:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, 04, 08, 16....

und im Folgenden wiederholen sich die Werte.

Periodische Ziffernfolgen

Es sei $b>1$ eine feste natürliche Zahl. Sind $p$ und $q$ natürliche Zahlen, so wird die Folge der Nachkommastellen der $b$-adischen Darstellung von $\frac pq$ nach dem obigen Prinzip schließlich periodisch, weil sie iterativ durch die Reste bei der schriftlichen Division bestimmt wird, und diese Reste können nur die endlich vielen Werte $0,1,\ldots,q-1$ annehmen.

Periodische Funktionen auf reellen Vektorräumen

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler reeller Vektorraum, z. B. $\R^n$. Eine Periode einer stetigen, reell- oder komplexwertigen Funktion $f$ auf $V$ oder einem (offenen, zusammenhängenden) Teil $D$ von $V$ ist ein Vektor $\gamma\in V$, so dass

• der Definitionsbereich $D$ von $f$ invariant unter der Translation mit $\gamma$ ist, d. h. $x\in D\iff x+\gamma\in D$
• für alle $x\in D$ gilt: $f(x+\gamma)=f(x)$.

Die Menge $\Gamma$ aller Perioden von $f$ ist eine abgeschlossene Untergruppe von $V$. Jede solche Untergruppe ist die direkte Summe aus einem Untervektorraum von $V$ und einer diskreten Untergruppe; letztere lässt sich beschreiben als die Menge der ganzzahligen Linearkombinationen einer Menge linear unabhängiger Vektoren.

Wendet man diese Theorie auf den reell zweidimensionalen Vektorraum $V=\mathbb C$ an und betrachtet nur holomorphe Funktionen $f$, so gibt es die folgenden Fälle:

• $\Gamma=\{0\}$: $f$ ist nicht periodisch.
• $\Gamma=\mathbb Z\cdot\gamma$: $f$ ist eine gewöhnliche periodische Funktion; beispielsweise ist die Exponentialfunktion periodisch mit Periode $\gamma=2\pi\mathrm i$.
• $\Gamma$ enthält einen nichttrivialen reellen Unterraum: Eine holomorphe Funktion, die entlang einer Gerade konstant ist, ist insgesamt konstant.
• $\Gamma=\mathbb Z\cdot\gamma_1+\mathbb Z\cdot\gamma_2$: $f$ hat zwei reell linear unabhängige Perioden. Ist $f$ auf der ganzen Ebene meromorph, so spricht man von einer elliptischen Funktion.

Periodische Brüche

→ Hauptartikel: Dezimalsystem dort insbesondere den Abschnitt Dezimalbruchentwicklung

Im Dezimalsystem versteht man unter einem periodischen Bruch eine Zahldarstellung wie 0,31 = 0,3131313131…. =³¹/₉₉. D. h. die Dezimaldarstellung bricht nicht ab und ab einer bestimmten Stelle wiederholt sich immer wieder die gleiche Zahlfolge (Periode). Ihre Länge heißt Periodenlänge.

Siehe auch

• Fastperiodische Funktion