Feynman-Diagramm

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Feynman-Diagramm eines Beitrags zur Elektron-Elektron-Streuung durch Austausch eines virtuellen Photons (Zeitachse von unten nach oben).

Feynman-Diagramme stellen in der Teilchenphysik und der Festkörperphysik die quantenfeldtheoretischen Beiträge zu Streuvorgängen bildlich dar und veranschaulichen und erleichtern so ihre Berechnung. Sie wurden 1949 von Richard Feynman am Beispiel der Quantenelektrodynamik entwickelt[1], wurden aber bald auch auf die Festkörperphysik übertragen[2].

Bedeutung[Bearbeiten]

Wechselwirkung zwischen Elektron, Positron und Photon

Feynman-Diagramme sind eine graphische Repräsentation der Wechselwirkungen von Teilchen. Die Wechselwirkungen werden mathematisch durch Lagrange-Dichten {}_\mathcal{L} beschrieben. Beispielsweise wird die Wechselwirkung zwischen Elektronen und Photonen durch die folgende Lagrange-Dichte beschrieben:

\mathcal{L} = \mathbf{\Psi^\dagger} \mathbf{\gamma}^0 \left( \mathbf{i}\,\mathbf{\gamma}^\mu\,\mathbf{\part}_\mu - \mathbf{e}\,\mathbf{\gamma}^\mu\,\mathbf{A}_\mu + \mathbf{m}  \right) \mathbf{\Psi} - \frac{1}{4} (\mathbf{\part}_{\nu}\mathbf{A}_{\mu} - \mathbf{\part}_{\mu}\mathbf{A}_{\nu})\,(\mathbf{\part}^{\nu}\mathbf{A}^{\mu} - \mathbf{\part}^{\mu}\mathbf{A}^{\nu})

Hierbei ist \mathbf{\Psi} das dem Elektron (oder Positron) entsprechende Spinor-Feld als Spaltenvektor, \mathbf{\Psi^\dagger} das dazu komplex-konjugierte Feld als Zeilenvektor, \mathbf e die elektrische Ladung, \mathbf{m} die Masse des Elektrons, \mathbf{\gamma}^\mu die Dirac-Matrizen und \mathbf A_\mu das dem Photon entsprechende elektromagnetische Viererpotential. Die Ableitung \mathbf{\gamma}^\mu\,\mathbf{\part}_\mu ist die Ausbreitung der Teilchen in der Raumzeit, während der Ausdruck \mathbf{e}\,\mathbf{\gamma}^\mu\,\mathbf{A}_\mu die elektrische Ladung des Elektrons mit dem Photon koppelt. Die Indizes \mu und \nu stellen die vier Dimensionen des Minkowski-Raums (\mu \in \{ct,x,y,z\}) dar. Es gilt die Einsteinsche Summenkonvention. Das Produkt aus den zwei Spinor-Feldern wird im Sinne der Matrizenmultiplikation berechnet, d.h. es entspricht einem Skalarprodukt, weil das links stehende Spinorfeld ein Zeilenvektor und das rechts stehende Spinorfeld ein Spaltenvektor ist.

Solche Ausdrücke sind jedoch sehr kompliziert. Die Feynman-Diagramme bieten hier einerseits eine vereinfachte und anschauliche Darstellungsmöglichkeit. Eine genaue Lösung kann man an Feynman-Diagramme jedoch nicht einfach ablesen. Hier muss auf die mathematischen Formeln zurückgegriffen werden.

Andererseits lässt sich für jedes Feynman-Diagramm eine quantenmechanische Amplitude berechnen. Die Gesamtamplitude eines Streuvorgangs ist die Summe über die Amplituden aller gültigen Feynman-Diagramme des Streuvorgangs. Somit steht die Menge aller Feynman-Diagramme mit einer fixen Anzahl von Wechselwirkungspunkten (Vertices) für einen Term in der Potenzreihe der Gesamtamplitude in der Kopplungskonstante.

Aufbau[Bearbeiten]

Feynman-Diagramme setzen sich aus grundlegenden Symbolen zusammen, die jeweils bestimmte Arten von Elementarteilchen des Standardmodells abbilden. Die Pfeilrichtung zeigt an, ob es sich um ein normales Teilchen oder ein Antiteilchen handelt. Bei einem normalen Teilchen zeigt der Pfeil in Zeitrichtung und bei einem Antiteilchen zeigt der Pfeil gegen die Zeitrichtung. Dies bedeutet aber nicht, dass sich das Antiteilchen gegen die Zeit in die Vergangenheit bewegt. Die Pfeilrichtung dient lediglich zur Übersicht von Teilchen und Antiteilchen. Die Anzahl der Pfeile, die in das Feynman Diagramm von links eintreten, entspricht immer der Anzahl der Pfeile, die rechts wieder heraustreten. Dabei wird ein Pfeil gegen die Zeitrichtung als negativ gewertet und er hebt einen Pfeil in Zeitrichtung auf. Die Austauschteilchen, welche eine Wechselwirkung zwischen Teilchen ermöglichen, werden durch eine andere Symbolik ohne Pfeile gezeichnet, wie in der folgenden Tabelle zu sehen ist.

Die Zeit wird im Folgenden von links nach rechts abgelesen.

Symbol Bedeutung
Feynman-particle.svg „normales“ Teilchen
Feynman-particle-pos.svg Antiteilchen
Feynman-wave.svg Interaktion durch Eichboson
Feynman-gluon.svg Interaktion durch Gluon g
Feynman-higgs.svg Interaktion durch Higgs-Boson
(wird gelegentlich auch für andere Bosonen verwendet)
Feynman-terminator.svg Terminator
(z. B. Interaktion des Higgs-Bosons mit einem Kondensat[3])

Die Beschriftung der Teilchen definiert, um welches Teilchen es sich konkret handelt.

Leptonen
Symbol Bedeutung
Feynman-electron.svg Elektron
Feynman-positron.svg Positron
Feynman-muon.svg Myon
Feynman-neutrino.svg Neutrino
Bosonen
Symbol Bedeutung
Feynman-photon.svg Photon
Feynman-Z-boson.svg Z-Boson
Feynman-W-plus-boson.svg W+-Boson
Feynman-W-minus-boson.svg W--Boson

Feynman-Diagramme haben äußere Linien, die in Wechselwirkungspunkte ein- oder auslaufen, und innere Linien, die Paare von Wechselwirkungspunkten verbinden. Den äußeren Linien entsprechen ein- und auslaufende Teilchen. Die Wechselwirkungspunkte, an denen Linien zusammentreffen, heißen auch Vertices. An einem Vertex können Teilchen erzeugt, vernichtet oder gestreut werden.

Da die Zeit von links nach rechts verläuft, führt eine Drehung des Vertex zu unterschiedlichen Interpretationen.

Hierbei gilt zu beachten, dass ein Feynman-Diagramm nur aus über Teilchen zusammenhängenden Vertices besteht. Zudem ist aufgrund der Ladungserhaltung die Anzahl der in das Diagramm eingehenden Pfeile gleich der Anzahl der aus dem Diagramm ausgehenden Pfeile.

In der festkörperphysikalischen Interpretation entspricht das zweite bzw. dritte Diagramm der letzten Reihe der Energieabsenkung bzw. -Erhöhung des (in beiden Fällen von links) einlaufenden Elektrons durch Emission bzw. Absorption eines Phonons.

Propagatoren[Bearbeiten]

Die inneren Linien nennt man Propagatoren und deutet sie als virtuelle Teilchen. Virtuelle Teilchen können nicht beobachtet werden. Aufgrund dessen ergibt sich eine Mehrdeutigkeit. Alle Diagramme mit den gleichen ein- und auslaufenden Linien sind äquivalent und werden summiert.

Beispiele[Bearbeiten]

Møller-Streuung

Zur Berechnung der Streuung zweier Fermionen – der Møller-Streuung – betrachtet man Feynman-Diagramme mit zwei einlaufenden und zwei auslaufenden Elektronen.

Die Bilder zeigen die Streuung in niedrigster Ordnung („Tree-Level“). Die vier äußeren Linien stehen für die ein- und auslaufenden Elektronen, die innere Wellenlinie für das virtuelle Photon, das die elektromagnetische Wechselwirkung bewirkt.

Jedem dieser Diagramme entspricht ein Beitrag zur Streuung, der gesamte Streuvorgang wird durch die Summe aller Diagramme dargestellt.

Compton-Effekt

Als weiteres Beispiel sei hier der Compton-Effekt in der niedrigsten Ordnung aufgeführt. Auch hier werden die möglichen Diagramme summiert.

Compton-Effekt = +

Hierbei ist das neutral geladene Fermion in der rechten Abbildung die Summe aus weiteren Diagrammen der niedrigsten Ordnung, wobei einerseits ein negativ geladenes Fermion (z. B. ein Elektron) und andererseits positiv geladenes Fermion (z. B. ein Proton) vermittelt:

= +

Die Berechnung dieser Streuung und allgemeiner die Feynman-Regeln für die mathematischen Ausdrücke, die den Linien und Vertices entsprechen, finden sich in vielen Lehrbüchern der Teilchenphysik (siehe Weblinks).

Schleifen[Bearbeiten]

Die möglichen Propagatoren höherer Ordnung bilden Schleifen (loops).

Die möglichen Feynman-Diagramme lassen sich nach der Zahl der inneren Schleifen ordnen. Diese Anzahl wird als Loop-Ordnung bezeichnet.

Diese Diagramme werden im Zuge einer Reihenentwicklung aufsummiert.

P = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_\nu A^\nu_n \right) \alpha^n = A_0^0\,\alpha^0 + A_1^0\,\alpha^1 + (A_2^0 + A_2^1)\,\alpha^2 + \ldots

Es sind dabei beliebig viele Diagramme denkbar. Jedoch wird die Kopplung \alpha^n über die Kopplungskonstante α mit steigender Ordnung n geringer. Mit ausreichend hoher Ordnung werden Diagramme gemäß der Arbeitshypothese der Störungstheorie numerisch vernachlässigbar, da sie sich kaum auf das Ergebnis auswirken.

Diagramme ohne Schleifen haben die Struktur eines Baumes (Stamm, von dem Äste verzweigen) und heißen Baumdiagramme.

Feynman-Regeln[Bearbeiten]

Die Feynman-Regeln beschreiben, welche Wechselwirkungen möglich sind und welche nicht.

Photonen[Bearbeiten]

Photonen wechselwirken mit allen elektrisch geladenen Elementarteilchen. Abbildungen für Elektronen und Myonen:

Z-Bosonen[Bearbeiten]

Das Z-Boson wechselwirkt zwischen allen anderen Elementarteilchen des Standardmodells mit Ausnahme von Gluonen; mit Photonen wechselwirken sie nur zugleich mit W-Bosonen. Insbesondere Neutrinos (\nu_1, \nu_2 und \nu_3) weisen keine Wechselwirkung mit Photonen auf; daher ist man für deren Erzeugung und Nachweis auf Z-Bosonen und W-Bosonen angewiesen.

W-Bosonen[Bearbeiten]

Das W-Boson vermittelt einerseits zwischen Neutrinos und den geladenen Leptonen l (Elektronen, Myonen und Tauonen) und andererseits zwischen Up-Typ-Quarks und Down-Typ-Quarks. Das W-Boson ist dabei der Träger einer positiven (W+) oder negativen (W-) elektrischen Ladung. Aufgrund der elektrischen Ladung unterliegt das W-Boson der Wechselwirkung mit dem Photon; außerdem wechselwirkt es mit dem Z-Boson sowie anderen W-Bosonen.

W-Bosonen sind vor allem deshalb interessant, da sie einen Wechsel des Flavour erlauben. Das bedeutet, dass sich die Anzahl der Elektronen, Neutrinos, etc. verändern kann. Diese Eigenschaft spielt etwa im β-Zerfall eine wichtige Rolle.

β--Zerfall eines Neutrons
\mathrm{n}\to\mathrm{p}+\mathrm{e}^- +\overline{\nu}_e
β+-Zerfall eines Protons
\mathrm{p}\to\mathrm{n}+\mathrm{e}^+ +\nu_e

Gluonen[Bearbeiten]

Bildhafte Darstellung der Neutralisierung der Farbladung durch Mischung von Rot, Grün und Blau, bzw. der Farben mit den zugehörigen Antifarben

Gluonen vermitteln die Starke Wechselwirkung zwischen Quarks.

Quarks besitzen eine Farbladung. Im Gegensatz zur elektrischen Ladung, welche aus den Ladungen „positiv“ (+) und „negativ“ (-) besteht, besteht die Farbladung aus den Ladungen „Rot“, „Grün“ und „Blau“ sowie die Antifarbladungen „Anti-Rot“ („Cyan“), „Anti-Grün“ („Magenta“) und „Anti-Blau“ („Gelb“). Um die Farbladung zu neutralisieren müssen wahlweise Quarks mit den Farbladungen {Rot,Grün,Blau}, {Cyan,Magenta,Gelb}, {Rot,Cyan}, {Grün,Magenta} oder {Blau,Gelb} über Gluonen verbunden werden.

Teilchen mit drei Quarks werden hierbei als Baryonen (hierzu gehören z. B. die Protonen und die Neutronen) bezeichnet. Teilchen aus zwei Quarks werden als Mesonen bezeichnet. Freie Quarks werden sofort durch Gluonen mit der Starken Kraft zu Baryonen oder Mesonen verbunden.

Gluonen werden mathematisch durch Adjunktion zur Speziellen unitären Gruppe SU(3) als spurfreie hermitesche 3×3-Matrizen dargestellt. Es gibt somit acht (32-1) verschiedene Gluonen.

Gluonen tragen jeweils zwei Farbladungen. Dadurch unterliegen sie selbst der Starken Wechselwirkung und können sich somit mit sich selbst verbinden. Theoretisch lassen sich so auch Gluon-Bälle erzeugen, welche nur aus Gluonen und ohne Quarks auskommen. Jedoch konnten diese bisher nicht nachgewiesen werden.

Higgs-Bosonen[Bearbeiten]

Die Higgs-Bosonen wechselwirken mit allen massiven Elementarteilchen, also auch mit anderen Higgs-Bosonen (Selbstwechselwirkung). Lediglich mit Photonen und Gluonen gibt es keine Wechselwirkung. Nach dem Standardmodell der Teilchenphysik erhalten Elementarteilchen erst durch diese Wechselwirkung ihre Masse (siehe Higgs-Mechanismus).

Typen von Feynman-Diagrammen[Bearbeiten]

  • Zusammenhängende Diagramme
    Ist jeder Vertex über innere Linien und andere Vertices mit jedem anderen Vertex verbunden, so bezeichnet man das Diagramm als zusammenhängend, anderenfalls als unzusammenhängend. Bei jedem zusammenhängenden Teil des Diagramms ist die Summe der Energien, Impulse und Ladungen der einlaufenden Teilchen gleich der Summe der Energien, Impulse und Ladungen der auslaufenden Teilchen.
  • Ein-Teilchen-irreduzible Diagramme
    Kann ein zusammenhängendes Diagramm nicht durch Zerschneiden einer inneren Linie in zwei unzusammenhängende Diagramme geteilt werden, so heißt es Ein-Teilchen-irreduzibel. Bei solchen Diagrammen treten Integrationen auf, die man nicht systematisch als Produkt einfacherer Integrale vereinfachen kann.
  • Amputierte Diagramme
    Lässt man bei einem Diagramm Korrekturen (Selbstenergien, s. u.) zu den äußeren Linien weg, so bezeichnet man es als amputiert.
  • Selbstenergie-Diagramme
    Ein Diagramm mit einem Loop und mit äußeren Linien an nur zwei Vertices heißt (nach Amputation) Selbstenergiediagramm. Sein Wert hängt nur von der Energie und dem Impuls ab, der durch äußere Linien an dem einem Vertex hinein- und an dem anderen hinaus fließt.
  • Skelett-Diagramme
    Ein Diagramm ohne ein Selbstenergie-Unterdiagramm bezeichnet man als Skelett-Diagramm.

Anwendungen[Bearbeiten]

Anwendungen der Feynman-Diagramme gibt es in erster Linie in relativistischen Quantenfeldtheorien, z. B. in der Quantenelektrodynamik oder der Quantenchromodynamik, aber auch in der nichtrelativistischen Festkörperphysik, speziell in der Vielteilchenphysik und der Statistischen Physik.[2]

Festkörperphysikalische Analogie[Bearbeiten]

Die gebräuchliche Übertragung auf die Festkörperphysik erhält man, indem man von der geschweift dargestellten Photonlinie, also von den Quanten der elektromagnetischen Wellen, zu den sog. Phononen übergeht, also zu den Quanten der Schallwellen, und indem man das rückwärts laufende Elektron nicht als Positron im Sinne der Quantenelektrodynamik, sondern als Defektelektron im Sinne der Festköpertheorie interpretiert. Man erhält auf diese Weise u. a. die wesentlichen Diagramme für das Zustandekommen der Supraleitung und allgemein für Konfluenz- und Splitting-Prozesse durch Vernichtung bzw. Erzeugung einer elementaren fermionischen Anregung (z. B. eines (negativ geladenen) Elektrons bzw. eines (positiv geladenen) Defektelektrons bzw. eines Polarons ) zusammen mit einem einlaufenden (oder auslaufenden) bosonischen Quasiteilchens, z. B. des schon erwähnten Phonons oder eines sog. Magnons (quantisierte Spinwellen) oder eines Plasmons (einer quantisierten Plasmaschwingung).

Bei allen Wechselwirkungsprozessen unter Beiteiligung der erwähnten Anregungen ist die Summe der Energien (Frequenzen mal \hbar) bzw. der Impulse (Wellenzahlen mal \hbar) erhalten, sodass also den dargestellten Diagrammen wohldefinierte mathematische Ausdrücke für die Amplituden der Wechselwirkung entsprechen

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Otto Nachtmann, Phänomene und Konzepte der Elementarteilchenphysik, Vieweg, Braunschweig, 1986 ISBN 3-528-08926-1

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Feynman-Diagramme – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. R. P. Feynman: „Space-Time Approach to Quantum Electrodynamics“, Phys. Rev. 76, S. 769 (pdf; 4,8 MB)
  2. a b Abrikosov, Gor'kov, Dzyaloshinskii: Quantum field theory methods in statistical physics. Dover, 1961 und 1977, ISBN 0-486-63228-8
  3. Demystifying the Higgs Boson with Leonard Susskind. In: YouTube. Stanford University, 16. August 2012, abgerufen am 27. Februar 2013 (englisch).