Logarithmische Gammaverteilung
Die Logarithmische Gammaverteilung (auch Log-Gammaverteilung) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Heavy-tailed-Verteilung ist geeignet zur Modellierung von Schadensdaten im extremen Großschadenbereich der Industrie-, Haftpflicht-, Rückversicherung[1].
Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine stetige Zufallsgröße mit den Parametern und genügt der logarithmischen Gammaverteilung, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte
besitzt. Ihre Verteilungsfunktion lautet dann
- ,
wobei die unvollständige Gammafunktion ist.
Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Erwartungswert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für ergibt sich der Erwartungswert zu
- .
Varianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Varianz ergibt sich für als
- .
Variationskoeffizient[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten
- .
Schiefe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Schiefe lässt sich für geschlossen darstellen als
- .
Momente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es existieren nur die Momente der Ordnung kleiner als .
Produkte von logarithmisch Gamma-verteilte Zufallsvariablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sind und unabhängige logarithmisch gammaverteilte Zufallsgrößen dann ist auch das logarithmisch gammaverteilt, und zwar
Allgemein gilt: Sind stochastisch unabhängig dann ist
Somit bildet die logarithmische Gammaverteilung eine multiplikative Faltungshalbgruppe in einem ihrer beiden Parameter.
Beziehung zu anderen Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
In der Versicherungsmathematik wird die Verteilung der Anzahl der Schäden häufig mit Hilfe von Poisson-, negativ Binomial- oder logarithmisch verteilten Zufallsvariablen modelliert. Zur Beschreibung der Schadenshöhe eignen sich dagegen die Gamma-, logarithmische Gamma- oder logarithmische Normalverteilung.
Beziehung zur Gammaverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wenn die Zufallsvariable Gamma-verteilt ist, dann ist Log-Gamma-verteilt.
Beziehung zur Paretoverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Paretoverteilung mit den Parametern und entspricht der Log-Gammaverteilung mit den Parametern und .
Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- ↑ Claudia Cottin, Sebastian Döhler: Risikoanalyse: Modellierung, Beurteilung und Management von Risiken mit Praxisbeispielen. Springer-Verlag 2012