Gammaverteilung

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Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie ist einerseits eine direkte Verallgemeinerung der Exponentialverteilung und andererseits eine Verallgemeinerung der Erlang-Verteilung für nichtganzzahlige Parameter. Wie diese wird sie verwendet

Definition[Bearbeiten]

Die Gammaverteilung \gamma(p,\, b) ist durch die Wahrscheinlichkeitsdichte
f(x)=\begin{cases}
               \frac{\displaystyle b^p}{\displaystyle\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-bx} & x > 0 \\
               0                                                              & x \leq 0
            \end{cases}

definiert. Sie besitzt die reellen Parameter b und p. Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird b>0 und p>0 gefordert.

Der Vorfaktor b^p/\Gamma(p) dient der korrekten Normierung; der Ausdruck \Gamma(p) steht für den Funktionswert der Gammafunktion, nach der die Verteilung auch benannt ist.

Dichte der Gammaverteilung mit verschiedenen Werten für b und p
Die Gammaverteilung genügt damit der Verteilungsfunktion
F(x)=\begin{cases}
               P(p,b x) & x \geq 0 \\
               0        & x < 0             
            \end{cases},

wobei P(p,\,b x) die regularisierte Gammafunktion der oberen Grenze ist.

kumulierte Verteilungsfunktion der Gammaverteilung mit verschiedenen Werten für p und b

Alternative Parametrisierung[Bearbeiten]

Alternativ zur obigen, im deutschsprachigen Raum üblichen Parametrisierung mit p und b findet man auch häufig

(\alpha=p, \beta=b) oder (k=p, \theta=\frac{1}{b}).

\beta=b ist die Umkehrung eines Skalierparameters und \theta=1/b ist der Skalierparameter selber. Dichte und Momente ändern sich dementsprechend bei diesen Parametrisierungen (der Erwartungswert wäre hier beispielsweise  \alpha/\beta beziehungsweise k\theta). Da diese Parametrisierungen im angelsächsischen Raum vorherrschen, werden sie besonders häufig in der Fachliteratur verwendet. Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, die Momente explizit anzugeben, also beispielsweise von einer Gammaverteilung mit Erwartungswert p/b und Varianz p/b^2 zu sprechen. Hieraus sind dann Parametrisierung und die entsprechenden Parameterwerte eindeutig rekonstruierbar.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Dichte f besitzt für p>1 an der Stelle x_M=\tfrac{p-1}{b} ihr Maximum und für p>2 an den Stellen

x_W=x_M\pm \frac{(p-1)^\frac12}{b}

Wendepunkte.

Erwartungswert[Bearbeiten]

Der Erwartungswert der Gammaverteilung ist

\operatorname{E}(X)={p \over b}.

Varianz[Bearbeiten]

Die Varianz der Gammaverteilung ist

\operatorname{Var}(X)={p \over b^2}.

Schiefe[Bearbeiten]

Die Schiefe der Verteilung ist gegeben durch

\operatorname{v}(X) = \frac{2}{\sqrt{p}}.

Reproduktivität[Bearbeiten]

Die Gammaverteilung ist reproduktiv: Die Summe aus den stochastisch unabhängigen gammaverteilten Zufallsvariablen X und Y, die beide gammaverteilt sind mit den Parametern b und p_x bzw. p_y, ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern b und p_x + p_y.

Charakteristische Funktion[Bearbeiten]

Die charakteristische Funktion hat die Form

\phi_{X}(s) = \left(\frac{b}{b-is}\right)^p.

Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion der Gammaverteilung ist

m_{X}(s) = \left(\frac{b}{b-s}\right)^p.

Entropie[Bearbeiten]

Die Entropie der Gammaverteilung beträgt

H(X) = \ln\left(\Gamma(p)\right) - \ln\left(b\right) + (1-p)\psi(p) + p

wobei ψ(p) die Digamma-Funktion bezeichnet.

Summe gammaverteilter Zufallsgrößen[Bearbeiten]

Sind X_1\sim \gamma(p_1,b) und X_2\sim \gamma(p_2,b) unabhängige gammaverteilte Zufallsgrößen dann ist auch die Summe X_1+X_2 gammaverteilt, und zwar

X_1+X_2\sim\gamma(p_1+p_2,b).

Allgemein gilt: Sind X_i\sim \gamma(p_i,b)\quad i=1,\ldots,n stochastisch unabhängig dann ist

X_1+ \dotsb +X_n\sim\gamma(p_1+ \dotsb +p_n,b).

Beziehung zu anderen Verteilungen[Bearbeiten]

Beziehung zur Betaverteilung[Bearbeiten]

Wenn X \sim \gamma(p_1,b) und Y \sim \gamma(p_2,b) unabhängige gammaverteilte Zufallsvariablen sind mit den Parametern p_1, b bzw. p_2, b, dann ist die Größe \tfrac{X}{X+Y} betaverteilt mit Parametern p_1 und p_2, kurz

B(p_1,p_2) \sim \frac{\gamma(p_1,b)}{\gamma(p_1,b)+\gamma(p_2,b)}.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung[Bearbeiten]

Beziehung zur Erlang-Verteilung[Bearbeiten]

Die Erlang-Verteilung mit dem Parameter \lambda und n Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit den Parametern p=n und b=\frac{1}{\lambda} und liefert die Wahrscheinlichkeit der Zeit bis zum Eintreffen des p-ten seltenen, Poisson-verteilten Ereignisses.

Beziehung zur Exponentialverteilung[Bearbeiten]

  • Wählt man in der Gammaverteilung den Parameter p=1, so erhält man die Exponentialverteilung mit Parameter \lambda=b.
  • Die Faltung von n Exponentialverteilungen mit demselben \lambda ergibt eine Gamma-Verteilung mit p=n, b=\lambda.

Beziehung zur logarithmischen Gammaverteilung[Bearbeiten]

Ist X Gamma-verteilt, dann ist Y=e^X Log-Gamma-verteilt.

Literatur[Bearbeiten]

  • Lindgren, Bernard W.: Statistical Theory, New York etc., 1993
  • Fisz, Marek: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, Berlin 1970
  • P. Heinz Müller (Hrsg.): Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik, Leipzig 1991

Weblinks[Bearbeiten]