Logarithmische Verteilung

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Wahrscheinlichkeitsfunktion der logarithmischen Verteilung für p=0.2 (blau), p=0.5 (grün) und p=0.8 (rot)

Die logarithmische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung und kommt aus dem Bereich der Versicherungsmathematik. Sie ist interessant als Schadenshöhenverteilung, wird aber kaum zur Bestimmung der Schadensanzahlen benutzt.

Definition[Bearbeiten]

Eine diskrete Zufallsgröße X_n genügt der logarithmischen Verteilung mit den Parametern k (Anzahl der Versuche) und p (Erfolgswahrscheinlichkeit), wenn sie die Wahrscheinlichkeit

\operatorname{P}(X_n=k)= \frac{p^{k}}{k}\cdot\frac{1}{-\ln(1-p)}

besitzt.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Erwartungswert[Bearbeiten]

Die logarithmische Verteilung hat einen Erwartungswert von

\operatorname{E}(X_n) = \frac{p}{-(1-p)\ln(1-p)}.

Varianz[Bearbeiten]

Die Varianz bestimmt sich zu

\operatorname{Var}(X_n) = \frac{p(-\ln(1-p)-p)}{(1-p)^{2}\ln^{2}(1-p)}.

Variationskoeffizient[Bearbeiten]

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten

\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\frac{p}{-\ln(1-p)-p}}.

Schiefe[Bearbeiten]

Die Schiefe ergibt sich zu:

\operatorname{v}(X) = \frac{1}{\sqrt{p(-\ln(1-p)-p)}}
                 \left(\frac{\ln^{2}(1-p)}{-\ln(1-p)-p}+p(-\ln(1-p)-2p)\right).

Charakteristische Funktion[Bearbeiten]

Die charakteristische Funktion hat die Form

\phi_{X}(s) = \frac{\ln(1-pe^{is})}{\ln(1-p)}.

Erzeugende Funktion[Bearbeiten]

Für die erzeugende Funktion erhält man.

g_{X}(s) = \frac{\ln(1-ps)}{\ln(1-p)}.

Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion der logarithmischen Verteilung ist

m_{X}(s) = \frac{\ln(1-pe^{s})}{\ln(1-p)}.