Elliptische Funktion

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Im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie sind elliptische Funktionen doppeltperiodische meromorphe Funktionen. „Doppeltperiodisch“ bedeutet, dass es im reellen Vektorraum \mathbb C zwei linear unabhängige Perioden in Form zweier komplexer Zahlen \omega_1,\omega_2 gibt, sodass die beiden Periodizitätsbedingungen in Form der Funktionalgleichungen

f(z + \omega_1) = f(z) und f(z + \omega_2) = f(z)

für alle z erfüllt sind. „Meromorph“ bedeutet, dass die Funktion bis auf isolierte Pole überall regulär (holomorph = analytisch) ist, d. h. dort unendlich oft differenzierbar ist und sich lokal in eine Potenzreihe entwickeln lässt.

Die elliptischen Funktionen sind Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale.

Verallgemeinerungen der elliptischen Funktionen sind die hyperelliptischen Funktionen.

Beziehung zu Ellipsen[Bearbeiten]

Der Name der elliptischen Funktionen weist darauf hin, dass sie zuerst bei der Berechnung des Umfangs von Ellipsen verwendet wurden. Eine weitere Anwendung ist die Berechnung der Schwingungsdauer eines Pendels.

Periodengitter und Grundmasche[Bearbeiten]

Sind f und \omega_1,\omega_2 wie oben, so gilt auch

f(z+\gamma)=f(z)

für jede Linearkombination \gamma=\mu \omega_1+\lambda \omega_2 mit ganzen Zahlen \mu,\lambda. Die abelsche Gruppe

\Gamma=\langle \omega_1,\omega_2\rangle_{\mathbb Z}=\mathbb Z\omega_1+\mathbb Z\omega_2=\{\mu \omega_1+\lambda \omega_2\mid\mu,\lambda\in\mathbb Z\}

heißt das Periodengitter. Es ist ein vollständiges Gitter in \mathbb C.

Das von \omega_1 und \omega_2 aufgespannte Parallelogramm

\{\mu\omega_1+\lambda\omega_2\mid 0\leq\mu,\lambda\leq 1\}

heißt Grundmasche des Gitters.

Einfache Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Eine holomorphe elliptische Funktion ist konstant: Sie ist ganz, und sie ist beschränkt, da sie auf der Grundmasche bereits alle ihre Werte annimmt und die Grundmasche kompakt ist. Nach dem Satz von Liouville ist sie also konstant.
  • Eine elliptische Funktion kann nicht genau einen einfachen Pol in der Grundmasche haben, da das Integral über den Rand der Grundmasche aufgrund der Periodizität verschwindet; dies schließt nach der Cauchyschen Integralformel einen einfachen Pol aus.
  • Die entsprechende Aussage gilt auch für genau eine einfache Nullstelle, da mit f auch 1/f eine elliptische Funktion ist.

Die Weierstraßsche ℘-Funktion[Bearbeiten]

Zu einem Periodengitter \Gamma existiert stets eine nicht konstante elliptische Funktion, die Weierstraßsche ℘-Funktion (das Symbol \wp nennt man Weierstraß-p):

\wp(z)=\frac1{z^2}+\sum_{\gamma\in\Gamma\setminus\{0\}}\left(\frac1{(z-\gamma)^2}-\frac1{\gamma^2}\right).

Im Wesentlichen wird also 1/z^2 durch Translationen zu einer \Gamma-invarianten Funktion gemacht; die Summanden -1/\gamma^2 dienen lediglich dazu, die Reihe konvergent zu machen.

\wp ist eine gerade elliptische Funktion, d. h. \wp(-z)=\wp(z). Ihre Ableitung

\wp'(z)=-\frac2{z^3}-2\sum_{\gamma\in\Gamma\setminus\{0\}}\frac1{(z-\gamma)^3}

ist eine ungerade elliptische Funktion, d.h. \wp'(-z)=-\wp'(z).

Das zentrale Resultat der Theorie der elliptischen Funktionen ist die folgende Aussage: Jede elliptische Funktion zum Periodengitter \Gamma lässt sich als rationale Funktion in \wp und \wp' schreiben. Jede Relation zwischen \wp und \wp' folgt aus der Differentialgleichung der \wp-Funktion

(\wp'(z))^2=4\wp(z)^3-g_2(\Gamma)\wp(z)-g_3(\Gamma).

Dabei sind g_2(\Gamma),g_3(\Gamma) Konstanten, die von \Gamma abhängen, genauer sind g_2(\Gamma)=60G_4(\Gamma) und g_3(\Gamma)=140G_6(\Gamma) Eisensteinreihen zum Gitter \Gamma. In algebraischer Sprache bedeutet dieser Satz: Der Körper der elliptischen Funktionen zum Periodengitter \Gamma ist isomorph zum Körper

\mathbb C(X)[Y]/(Y^2-4X^3+g_2X+g_3).

Unter diesem Isomorphismus wird \wp auf X und \wp' auf Y abgebildet.

Zur Geschichte der elliptischen Funktionen[Bearbeiten]

Bald nach der Entwicklung der Infinitesimalrechnung stießen Mathematiker auf Probleme, bei denen Integrale auftraten, in denen die Quadratwurzeln aus Polynomen 3. und 4. Grades auftraten. Man erkannte, dass sie sich nicht in geschlossener Form durch die bis dahin gebräuchlichen Funktionen ausdrücken ließen. Euler (1707–1783) brachte sie 1766 in einen Zusammenhang miteinander mit Hilfe eines Satzes, nach dem er die Summe gewisser derartiger Integrale wieder als ein Integral derselben Art darstellen konnte. Er hob hervor, dass man diese Integrale ebenso wie die zyklometrischen Funktionen und die Logarithmusfunktion als Symbole in die Mathematik einführen könne.

Seine Ideen wurden – abgesehen von einer Bemerkung Landens – erst 1786 durch Legendre (1752–1833) in seinen zwei Mémoires sur les intégrations par arcs d'ellipse (Abhandlungen über die Integration durch Ellipsenbögen) weiter verfolgt.[1] Legendre hat sich von da an immer wieder mit dieser Art von Integralen beschäftigt und nannte sie „elliptische Funktionen“. Von Legendres Arbeiten sind noch zu erwähnen: Mémoire sur les transcendantes elliptiques (1792),[2] Exercices de calcul intégral (1811–1817),[3] Traité des fonctions elliptiques (1825–1832).[4] Legendre führte die elliptischen Funktionen auf drei feste Formen – Gattungen – zurück, wodurch er sich den seinerzeit sehr schwierigen Zugang zu ihrer Untersuchung wesentlich erleichterte. Seine Arbeiten blieben jedoch bis 1826 völlig unbeachtet.

Erst von da an nahmen die beiden Mathematiker Abel (1802–1829) und Jacobi (1804–1851) diese Untersuchungen wieder auf und kamen schnell zu ungeahnten neuen Erkenntnissen. Zunächst kehrten sie das Problem um, indem sie die veränderlich gedachte obere Grenze des Integrals als Funktion des Integralwertes auffassten, also die zu den elliptischen Integralen inversen Funktionen betrachteten. Diese inversen Funktionen heißen nach einem Vorschlag Jacobis von 1829 jetzt elliptische Funktionen. Die Arbeiten Jacobis und Abels finden sich in Crelles Journal von 1826. Außerdem sind Jacobis Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829) zu nennen.[5] Jacobi bewies 1835, dass die eindeutigen Funktionen einer Veränderlichen höchstens zwei unabhängige Perioden haben. Die elliptischen Funktionen haben genau zwei. Das von Euler in sehr spezieller Form gefundene Additionstheorem wurde in seiner allgemeinen Form 1829 von Abel ausgesprochen und bewiesen. Gauß hatte, wie er selbst bemerkte und wie sich auch hat nachweisen lassen, schon dreißig Jahre vorher viele der Eigenschaften der elliptischen Funktionen gefunden, aber nichts darüber publiziert.

Die weitere Entwicklung hat zu den hyperelliptischen Funktionen, den Abelschen Funktionen und den Modulfunktionen geführt.

Literatur[Bearbeiten]

  • Heinrich Burkhardt: Elliptische Funktionen. Berlin; [u. a.]: Vereinigung Wissenschaftlicher Verleger, 31920. (Funktionentheoretische Vorlesungen, Bd. 2.)
  • Heinrich Durège; Ludwig Maurer: Theorie der Elliptischen Funktionen. Leipzig: Teubner, 51908.
  • Eberhard Freitag; Rolf Busam: Funktionentheorie 1. Berlin; [u. a.]: Springer, 42006. (ISBN 3-540-31764-3.)
  • Robert Fricke: Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen. 3 Bde. (Bd. 1, Bd. 2, Bd. 3 (2011) posthum veröffentlicht). Berlin; Leipzig: Teubner, 1916–1922, 21930. ND Berlin; Heidelberg; [u. a.]: Springer, 2011. (ISBN 978-3642195563, ISBN 978-3642195600, ISBN 978-3642209536.)
  • Adolf Hurwitz; Richard Courant: Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen. Berlin; [u. a.]: Springer, 41964. (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen, Bd. 3.) Berlin; Heidelberg; [u. a.]: Springer, 52000.
  • Max Koecher; Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen. Berlin; [u. a.]: Springer, 22007. (ISBN 978-3-540-49324-2.)
  • Francesco Giacomo Tricomi; Maximilian Krafft: Elliptische Funktionen. Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft, 1948. (Mathematik und ihre Anwendungen in Physik und Technik, Reihe A, Bd. 20.)

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Adrien-Marie Legendre: Mémoire sur les intégrations par arcs d'ellipse. In: Histoire de l'Académie royale des sciences Paris (1788), S. 616-643. – Ders.: Second mémoire sur les intégrations par arcs d'ellipse, et sur la comparaison de ces arcs. In: Histoire de l'Académie royale des sciences Paris (1788), S. 644-683.
  2. Adrien-Marie Legendre: Mémoire sur les transcendantes elliptiques, où l'on donne des méthodes faciles pour comparer et évaluer ces trancendantes, qui comprennent les arcs d'ellipse, et qui se rencontrent frèquemment dans les applications du calcul intégral. Paris: Du Pont & Firmin-Didot, 1792. Englische Übersetzung A Memoire on Elliptic Transcendentals. In: Thomas Leybourn: New Series of the Mathematical Repository. Bd. 2. London: Glendinning, 1809, Teil 3, S. 1-34.
  3. Adrien-Marie Legendre: Exercises de calcul integral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures. 3 Bde. (Bd. 1, Bd. 2, Bd. 3). Paris 1811-1817.
  4. Adrien-Marie Legendre: Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, avec des tables pour en faciliter le calcul numérique. 3 Bde. (Bd. 1, Bd. 2, Bd. 3/1, Bd. 3/2, Bd. 3/3). Paris: Huzard-Courcier, 1825-1832.
  5. Carl Gustav Jacob Jacobi: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. Königsberg 1829.