Hydrostatischer Druck

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Hydrostatischer Druck (griech. ὕδωρ hýdor, Wasser), auch Gravitationsdruck oder Schweredruck, ist der Druck, der sich innerhalb eines ruhenden Fluids, das ist eine Flüssigkeit oder ein Gas, durch den Einfluss der Gravitation einstellt. Der Begriff wird entgegen der Wortbedeutung „Wasser“ auch für andere Flüssigkeiten und sogar für Gase verwendet. Dynamischer Druck durch Fluidströmungen wie z. B. der Staudruck wird vom hydrostatischen Druck nicht erfasst, er betrachtet nur ruhende, statische Fluide.

Inkompressible Flüssigkeiten im homogenen Schwerefeld[Bearbeiten]

Pascal'sches Gesetz[Bearbeiten]

Mit der Wassertiefe steigt der Druck. Zum hydrostatischen Druck kommt der Luftdruck an der Wasseroberfläche noch dazu. Zu beachten sind die verschiedenen Maßstäbe an der y-Achse: Im Wasser steigt der Druck viel schneller an als in der Luftsäule.
Der hydrostatische Druck am Boden ist in allen drei Gefäßen gleich groß.

Der hydrostatische Druck für Fluide mit konstanter Dichte im homogenen Schwerefeld (z.B. Flüssigkeiten) berechnet sich nach dem Pascal'schen Gesetz (benannt nach Blaise Pascal):


p(h) = \rho \, g \, h

Einheit: N/m² (= Pa, Pascal) oder bar (1 bar = 100.000 N/m²)

mit:

p(h) – Hydrostatischer Druck in Abhängigkeit von der Höhe des Flüssigkeitsspiegels
gErdbeschleunigung (für Deutschland: g ≈ 9,81 m/s²)
\rhoDichte (für Wasser: \rho ≈ 1000 kg/m³)
h – Höhe des Flüssigkeitsspiegels [1]

Beispiel Wassersäule (Höhe 50 m): 50 m × 1000 kg/m³ × 9,80665 m/s² ≈ 490.333 N/m² ≈ 4,90 bar

Der hydrostatische Druck hängt also nicht von der Form eines Gefäßes ab. Entscheidend für den Druck am Boden ist nur die Höhe des Flüssigkeitsspiegels, nicht die absolute Menge der Flüssigkeit im Gefäß. Dieses Phänomen ist auch als hydrostatisches Paradoxon bekannt.

Zur vollständigen Beschreibung des Drucks in einer ruhenden Flüssigkeit muss man zum hydrostatischen Druck noch den Umgebungsdruck addieren. So entspricht der auf einen Taucher wirkende Wasserdruck in einem ruhenden Gewässer der Summe aus Luftdruck, der auf die Gewässeroberfläche wirkt, und dem hydrostatischen Druck des Wassers selbst.

Zur Beschreibung des hydrostatischen Druckes wird zum Teil die nicht SI-konforme alte Maßeinheit „Meter Wassersäule“ (Abkürzung 1 m WS) verwendet.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Ein Bathyscaph muss einem besonders hohen hydrostatischen Druck standhalten.
  • Wassertürme nutzen den hydrostatischen Druck, um den für die Versorgung der Endverbraucher notwendigen Leitungsdruck zu erzeugen.
  • In der Hydrogeologie kann sich nach dem Darcy-Gesetz eine Strömung zwischen zwei Punkten nur dann einstellen, wenn die Druckdifferenz verschieden von der Differenz der hydrostatischen Drücke an den beiden Punkten ist.
  • Ein Heber ist ein Gerät oder eine Einrichtung, mit der man eine Flüssigkeit aus einem Behälter über den Behälterrand in einen tiefer gelegenen Behälter umfüllen oder ins Freie entleeren kann, ohne den Behälter umzukippen und ohne dass er ein Loch oder einen Auslass unter dem Flüssigkeitsspiegel hat.

Gravitationsdruck in Planeten, Monden, Asteroiden und Meteoriten[Bearbeiten]

Tiefenabhängigkeit von g[Bearbeiten]

Mit zunehmender Tiefe kann g nicht mehr als konstant betrachtet werden. Wenn die Form des Himmelskörpers durch eine Kugel mit Radius R beschrieben und die Dichte als konstant betrachtet wird, lässt sich der Druck wie folgt berechnen:


p(h) = \int_{0}^{h} \rho \, g(R-r)  \,\mathrm dr
.

Der Ortsfaktor g(r) folgt aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz :

g(r) = G \frac{M(r)}{r^2} ,

wobei M(r) die Masse innerhalb einer konzentrischen Kugel innerhalb des Himmelskörpers und M dessen Gesamtmasse angibt. Mit der Formel für das Kugelvolumen  V= \frac{4}{3} \pi R^3 ergibt sich für den Druck im Zentrum:

p_\mathrm Z = \frac{3}{8}\frac{G M^2}{\pi R^4} .

Begrenzung der Größe eines Himmelskörpers aufgrund der Druckfestigkeit[Bearbeiten]

Verschiedene Materialien weisen eine unterschiedliche Druckfestigkeit auf. Das Gleichsetzen von p_\mathrm Z und dem Maximaldruck p_\mathrm{max} führt zu einer Gleichung, die sich nach R auflösen lässt. Der resultierende Wert

R_\mathrm{max} = \frac{\sqrt{6 p_\mathrm{max}}}{2 \rho  \sqrt{\pi G}}

gibt den maximalen Radius an, den ein homogener, kugelförmiger Himmelskörper besitzen darf, um die Druckfestigkeit des Materials nicht zu überschreiten, also um nicht von der eigenen Masse zerdrückt zu werden.

Maximale Radien für verschiedene Materialien[Bearbeiten]

Für den sehr hypothetischen Fall eines vollständig aus Styropor bestehenden Himmelskörper ( \rho = 20 \,\mathrm{\frac{kg}{m^3}} und  p_\mathrm{max} = 150\,\mathrm{kPa}) würde sich ein Radius von rund 1600\,\mathrm{km} ergeben (zum Vergleich: der Radius des Erdmondes beträgt rund 1700\,\mathrm{km}) . Für Granit beträgt der Radius rund 380\,\mathrm{km} und für Basalt 550\,\mathrm{km} . Eine Schlussfolgerung ist, dass Himmelskörper mit einem Radius deutlich größer dem der Erde nicht aus einem einzigen festen Material bestehen können (Diamant: R_\mathrm{max} = 7600\,\mathrm{km}) .

Gravitationsdruck in Sternen[Bearbeiten]

Sterne im Gleichgewicht[Bearbeiten]

Einen Spezialfall des hydrostatischen Drucks stellt der Gravitationsdruck in Sternen dar. Dieser resultiert aus der den Stern kontrahierenden Schwerkraft. Dem gegenüber wirkt z.B. der Strahlungsdruck als den Stern expandierende Kraft. Bei einem stabilen Stern stellt sich dabei ein Gleichgewicht aller Kräfte ein und der Stern hat eine stabile Form. Dies ist näherungsweise der Zustand von Sternen auf der Hauptreihe.

Beispiele für Sterne im Ungleichgewicht[Bearbeiten]

Bei entstehenden Sternen, die sich zusammenziehen, überwiegt der Gravitationsdruck gegenüber der Summe aller Kräfte, die Gegendruck aufbauen. Beispiele für Gegendruck sind der kinetische Gasdruck des Gases selbst und bei anlaufender Fusionsreaktion der Strahlungsdruck durch alle auftretenden Strahlungsarten. Dadurch verändert sich der hydrostatische Druck innerhalb des entstehenden Sterns.

Bei einigen Klassen veränderlicher Sterne treten periodische oder transiente Änderungen der Sterndichte auf, wodurch die Materiemenge des Sterns, die innerhalb oder außerhalb einer Sphäre mit einem festen Radius liegt, verändert, und mit ihr auch der hydrostatische Druck bei einem bestimmten Radius vom Sternmittelpunkt aus.

Aufgrund des Sternwindes verlieren Sterne stetig Masse an die Umgebung. Auch dadurch ändert sich der hydrostatische Druck. Bei Hauptreihensternen ist diese Änderung allerdings sehr langsam.

In den Spätstadien des Sternenlebens kommt es ebenfalls zu Veränderungen im Sternaufbau, die sich auf den hydrostatischen Druck im Stern auswirken.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Statistische Physik Teil I, Akademie Verlag Berlin 1979/1987, ISBN 3-05-500069-2, S. 70