Portmanteau-Theorem

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Das Portmanteau-Theorem ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet Stochastik und beschreibt äquivalente Bedingungen für die schwache Konvergenz (auch bekannt als Konvergenz in Verteilung) von Zufallsvariablen. Diese Bedingungen sind in manchen Situationen einfacher nachzurechnen als die Definition der schwachen Konvergenz. Der Satz geht zurück auf eine Arbeit von Pawel Sergejewitsch Alexandrow aus dem Jahr 1940.[1]

Formulierung des Satzes[Bearbeiten]

Seien X, X_1, X_2, ... reellwertige borel-messbare Zufallsvariablen. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. X_n \to X in Verteilung für n\to\infty
  2. \liminf_{n\to\infty} \mathbb P (X_n\in G) \geq\mathbb P(X\in G ) für alle offenen Mengen G (\liminf bezeichnet dabei den Limes inferior)
  3. \limsup_{n\to\infty} \mathbb P (X_n\in A) \leq\mathbb P (X\in A) für alle abgeschlossenen Mengen A (\limsup ist entsprechend der Limes superior)
  4. \lim_{n\to\infty} \mathbb P (X_n\in C)= \mathbb P (X\in C) für alle bezüglich X randlosen Mengen, das heißt Mengen C mit  \mathbb P (X \in \partial C) = 0
  5. \lim_{n\to\infty} F_n (x) = F(x) für alle x, in denen F stetig ist. Hierbei bezeichnet F die Verteilungsfunktion von X, F_n ist die Verteilungsfunktion von X_n
  6. \int f d\mathbb P_{X_n}\to\int f d\mathbb P_X für alle f\in\mathcal C^b 
(\mathbb R), die gleichmäßig stetig sind.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Das Portmanteau-Theorem lässt sich allgemein für polnische Räume formulieren, abgesehen von der Charakterisierung der Verteilungskonvergenz über Verteilungsfunktionen.

Quellen[Bearbeiten]

  1. R. M. Dudley: Real analysis and probability. Cambridge : Cambridge University Press, 2002, ISBN 0521007542, S. 433.

Literatur[Bearbeiten]

  • Patrick Billingsley: Convergence of probability measures. Wiley, New York 1999, ISBN 0471197459.