Renormierungsgruppe

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Die Renormierungsgruppe (RG) beschreibt die Abhängigkeit bestimmter physikalischer Größen von der Längenskala. Ursprünglich ein Konzept der Quantenfeldtheorie, erstreckt sich sein Anwendungsbereich heutzutage auch auf die Festkörperphysik, Kontinuumsmechanik, Kosmologie und Nanotechnologie. Mit der RG im Zusammenhang stehen die Betafunktion und die Callan-Symanzik-Gleichungen.

Definition[Bearbeiten]

Als Renormierung bezeichnet man verschiedene Rechentechniken, die es erlauben, bei einer Längenskala gemessene Größen auf bei einer anderen Längenskala gemessene Größen abzubilden. Mit diesen Rechentechniken beschreibt man typischerweise skaleninvariante selbstähnliche Systeme, wie z. B. Diffusionspfade oder Perkolationscluster. Die Renormierungsgruppe ist der wesentliche Schritt der Renormierung. Sie beschreibt Skaleninvarianz, sowie Abweichungen davon und Übergänge zwischen verschiedenen Varianten der Skaleninvarianz.

Die betrachteten skaleninvarianten Systeme sind durchweg stochastischer Natur. In der Quantenfeldtheorie beruht dies auf Quantenfluktuationen, in der klassischen Physik meistens auf thermischen Fluktuationen. Eine Messgröße beim Diffusions-Beispiel wäre z. B. die Zahl der Diffusionsschritte, bis im Mittel ein Weg der Länge L zurückgelegt ist. Typisch für diese Messgröße ist, dass es sich dabei um eine Korrelationsfunktion handelt.

Die Bedeutung der Rechentechniken liegt darin, dass sie oft nach Schema anwendbar sind und Ergebnisse liefern wo andere Methoden nicht weiterführen. Beispielsweise liefert naive (regularisierte) Störungsrechnung in der Quantenfeldtheorie und bei kritischen Phänomenen eine divergente Störungsreihe, während die Renormierungsgruppe implizit Störungsrechnungsbeiträge aufsummiert und die Skaleninvarianz korrekt zum Ausdruck bringt. Im Detail beschreibt die Renormierungsgruppe die Änderung der Kopplungskonstanten bei einer Änderung der Längenskala.

Einfachster Zugang: Kadanoffs Blockspin-Modell[Bearbeiten]

Kadanoffs Blockspin

Das Blockspin-Modell von Leo Kadanoff (1966) liefert den didaktisch einfachsten Zugang zur RG. Dazu betrachtet man ein zweidimensionales Gitter von Spin -Freiheitsgraden (das kann aber auch ein Modell für Gitter von Atomen mit ganz anderen Freiheitsgraden als Drehimpulsen sein) vom Typ des Isingmodells, das heißt es wechselwirken nur unmittelbar benachbarte Spins miteinander mit einer Kopplungsstärke \, J. Das System werde durch eine Hamiltonfunktion \, H(T,J) beschrieben und habe die mittlere Temperatur \, T.

Nun wird das Spin-Gitter in Blöcke von 2\times 2- Quadraten aufgeteilt und es werden neue Blockvariable eingeführt, indem über die Zustandswerte im Block gemittelt wird. Häufig hat die neue Hamiltonfunktion die gleiche Struktur wie die alte, nur mit neuen Werten für \,T und \,J:   \quad H(T,J)\to H(T',J').

Dieser Vorgang wird nun wiederholt, das heißt man fasst wieder 2\times 2 der neuen Spin-Blockvariablen durch Mittelung zusammen (das wären dann jeweils 4 Spins oder 16 Spins aus dem Ausgangsmodell) usw. Das System wird also auf einer ständig vergröberten Skala betrachtet. Ändern sich dabei die Parameter unter RG Transformationen nicht mehr wesentlich, spricht man von einem Fixpunkt der RG.

Im konkreten Fall des Isingmodells, ursprünglich als Modell für magnetische Systeme eingeführt (mit einer Wechselwirkung, die bei parallelen Spins einen negativen Beitrag,  - \,J, zur Energie H liefert, bei anti-parallelen Spins einen positiven Beitrag \, J), wirkt die durch die Temperatur \, T gekennzeichnete Wärmebewegung den Ordnungsbestrebungen der Wechselwirkung (durch \, J charakterisiert) entgegen. Hier (und häufig auch in ähnlichen Modellen) gibt es drei Arten von Fixpunkten der RG:

(a) \,T=0 und \,J\to\infty. Auf großen Skalen überwiegt die Ordnung, ferromagnetische Phase.

(b) \,T\to\infty und \,J\to 0. Unordnung auf großen Skalen.

(c) Ein Punkt dazwischen mit \,T = T_c und \,J = J_c, bei dem eine Skalenänderung die Physik des Systems nicht verändert (Skaleninvarianz wie in fraktalen Strukturen), der Punkt ist ein Fixpunkt der RG. An diesem sogenannten kritischen Punkt findet ein Phasenübergang zwischen den beiden Phasen (a), (b) statt. Im Fall des Ferromagnetismus wird er Curie-Punkt genannt.

Elemente der RG-Theorie[Bearbeiten]

Allgemein sei das System durch eine Funktion \, Z der Zustandsvariablen \, \{s_i\} mit den Wechselwirkung beschreibenden Kopplungskonstanten \, \{J_k\} beschrieben. Je nach Anwendungsbereich kann das eine Verteilungsfunktion (statistische Mechanik), eine Wirkung, eine Hamiltonfunktion u. a. sein, sollte aber die Physik des Systems vollständig beschreiben.

Nun betrachten wir Block-Transformationen der Zustandsvariablen \{s_i\}\to \{\tilde s_i\}, wobei die Anzahl der \tilde s_i kleiner als die der \, s_i ist. Man versucht nun \, Z allein als Funktion der neuen Zustandsvariablen \tilde s_i zu schreiben. Ist dies allein durch eine Änderung der Parameter der Theorie \{J_k\}\to
\{\tilde J_k\} möglich, spricht man von einer renormierbaren Theorie.

Die meisten grundlegenden Theorien der Elementarteilchenphysik, wie Quantenelektrodynamik, Quantenchromodynamik, die elektroschwache Wechselwirkung, sind renormierbar (die Gravitation allerdings nicht). Auch in der Festkörperphysik und Kontinuumsphysik sind viele Theorien (näherungsweise) renormierbar (z. B. Supraleitung, Theorie der Turbulenz von Flüssigkeiten).

Die Änderung der Parameter erfolgt durch eine sogenannte Betafunktion \tilde J_k = \beta (  J_i  ), die einen Fluss der RG (RG flow) im J-Raum erzeugt. Die Veränderung von J unter diesem Fluss wird mit dem Begriff gleitende Kopplungskonstante (running coupling constant) beschrieben. Man ist vor allem an den Fixpunkten des RG-Flusses interessiert, die Phasenübergänge zwischen den makroskopischen Phasen des Systems beschreiben.

Da bei den RG-Transformationen ständig Information verlorengeht, haben sie im Allgemeinen keine Inverse und bilden somit eigentlich auch keine Gruppen im mathematischen Sinn (sondern nur Halbgruppen). Der Name Renormierungsgruppe hat sich trotzdem eingebürgert.

Relevante und irrelevante Operatoren, Universalitätsklassen[Bearbeiten]

Man betrachte das Verhalten der Observablen A (in der Quantenmechanik durch Operatoren gegeben) unter einer RG-Transformation:

  • falls A bei Übergang zu größeren Skalen stets zunimmt, spricht man von relevanten Observablen
  • falls A bei Übergang zu größeren Skalen stets abnimmt, spricht man von irrelevanten Observablen und
  • falls keins von beidem zutrifft, spricht man von marginalen Observablen.

Für das makroskopische Verhalten sind nur relevante Operatoren wichtig, und in der Praxis stellt sich heraus, dass in typischen Systemen nach hinreichend vielen Renormierungsschritten nur ganz wenige Operatoren „übrig bleiben“, da nur sie relevant sind (obwohl man es oft mit unendlich vielen Operatoren zu tun hat, so ist auf mikroskopischer Basis typischerweise die Zahl der Observablen von der Größenordnung der Zahl der Moleküle in einem Mol).

Dies erklärt auch die erstaunliche Ähnlichkeit der kritischen Exponenten untereinander in den verschiedensten Systemen mit Phasenübergängen zweiter Ordnung, ob es sich nun um magnetische Systeme, Supraflüssigkeiten oder Legierungen handelt: werden die Systeme durch die gleiche Anzahl und die gleichen Typen (bezüglich des Skalierungsverhaltens) relevanter Observabler beschrieben, gehören sie zur selben Universalitätsklasse.

Diese quantitative und qualitative Begründung der Unterteilung des Phasenübergangsverhaltens in Universalitätsklassen war einer der Haupterfolge der RG.

Impulsraum-RG[Bearbeiten]

In der praktischen Anwendung gibt es zwei Typen von RG: die RG im Ortsraum (Real Space RG), wie sie oben in Kadanoffs Blockspin-Bild diskutiert wurde, und die Impulsraum-RG, bei der das System in verschiedenen Wellenlängen bzw. Frequenzskalen betrachtet wird. Dabei wird meist eine Art Integration über die Moden hoher Frequenz bzw. kurzer Wellenlänge durchgeführt. In dieser Form wurde die RG ursprünglich in der Teilchenphysik angewandt. Da man meist von einer Störungstheorie um das System freier Teilchen ausgeht, funktioniert dies für stark korrelierte Systeme meist nicht mehr.

Ein Beispiel für die Anwendung der Impulsraum-RG ist die klassische Renormierung der Masse und Ladung der freien Teilchen in der QED. Eine nackte positive Ladung ist in dieser Theorie von einer Wolke von ständig aus dem Vakuum erzeugten und gleich wieder vernichteten Elektron-Positron Paaren umgeben. Da die Positronen von der Ladung abgestoßen, die Elektronen angezogen werden, wird die Ladung im Endeffekt abgeschirmt, und die Größe der beobachteten Ladung hängt davon ab, wie nah man ihr kommt (gleitende Kopplungskonstante), bzw. im fouriertransformierten Bild, auf welcher Impulsskala man sich bewegt.

Funktionale Renormierungsgruppe[Bearbeiten]

Eine funktionale Renormierungsgruppe (FRG) ist eine Methode zur Berechnung des effektiven Potentials einer Feldtheorie für eine variable Längenskala. Eine FRG berücksichtigt relevante, marginale und irrelevante Kopplungen. Eine exakte Bestimmung des effektiven Potentials ist damit allerdings i.d.R. genauso wenig möglich wie mit anderen Techniken. Jedoch erlaubt eine FRG verschiedenste Parametrisierungen und ist unabhängig von (nur asymptotisch konvergenten) Störungsreihen-Entwicklungen.

Es gibt mindestens drei FRG-Varianten, eine nach Art der der Wilson’schen-Eliminations-Renormierungsgruppe (Wegner und Houghten), eine Variante mit variablem UV-Cutoff (Polchinski) und eine Variante mit einem Infrarot-Regulator (Wetterich). Am einfachsten zu handhaben ist die Variante mit IR-Regulator.

Für die FRG mit IR-Regulator lässt sich im Rahmen der Quantenfeldtheorie mit wenigen formalen Schritten eine kompakte Formel herleiten, die Ausgangspunkt für konkrete Anwendungen ist (Wetterich). Um die Schreibweise zu vereinfachen empfiehlt sich dabei die de-Witt-Schreibweise, wo das Feld \varphi ein Vektor ist, dessen Index einen Punkt im Raum und ggf. auch einen Feldindex spezifiziert. Der erste Schritt besteht darin, zur Wirkung S einen Regulator-Term

\Delta S\left(\mu\right)=\frac{1}{2}\varphi\cdot R\left(\mu\right)\cdot\varphi

hinzuzufügen, wo die Matrix R von einer Wellenvektor-Skala \mu abhängt (Beispiele weiter unten). Die erzeugende Funktion der zusammenhängenden Korrelationsfunktionen lautet dann

W\left(J,\mu\right) = \ln\int \mathcal{D}\varphi \exp\left(-S-\Delta S\left(\mu\right)+J\cdot\varphi\right),

wo J ein externes Feld bezeichnet. Der Erwartungswert von \varphi ist \overline{\varphi}_{a}=\partial W/\partial J_{a}, und die 2-Punkt Korrelationsfunktion ist gegeben durch

\widetilde{G}_{a,b}\left(\mu\right)=\frac{\partial^2 W \left(J,\mu\right)}{\partial J_{a}\partial J_{b}}
=\left\langle \varphi_{a}\varphi_{b}\right\rangle -\overline{\varphi}_{a}\overline{\varphi}_{b}.

Die erzeugende Funktion der 1-Teilchen-irreduziblen Vertex-Funktionen \widetilde{\Gamma}\left(\mu,\overline{\varphi}\right) ist nach üblichem Schema die Legendre-Transformierte

\widetilde{\Gamma}\left(\overline{\varphi},\mu\right) = J\overline{\varphi}-W\left(J,\mu\right).

Differenzieren nach der Wellenvektor-Skala \mu und Verwenden der Definition von \widetilde{G}_{a,b} führt auf


\frac{\partial}{\partial\mu}\widetilde{\Gamma} = -\frac{\partial}{\partial\mu}W=\frac{\partial}{\partial\mu}\left\langle \Delta S\left(\mu\right)\right\rangle =\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial\mu}\left\langle \varphi_{a}R_{a,b}\varphi_{b}\right\rangle
=\frac{1}{2}\left(\widetilde{G}_{a,b}+\overline{\varphi}_{a}\overline{\varphi}_{b}\right)\frac{\partial}{\partial\mu}R_{a,b}.

Die Renormierungsgruppen-Differenzialgleichung folgt daraus als

\mu\frac{\partial}{\partial\mu}\Gamma\left(\overline{\varphi},\mu\right)=\frac{1}{2}Tr\left(\left(\Gamma_{a,b}^{\left(2\right)}\left(\overline{\varphi},\mu\right)+R_{a,b}\right)^{-1}\mu\frac{\partial}{\partial\mu}R_{a,b}\right),

wo \Gamma=\widetilde{\Gamma}-\frac{1}{2}\overline{\varphi}R\overline{\varphi} das effektive Potential ohne das künstliche \Delta S bezeichnet und der Propagator \widetilde{G}=1/\widetilde{\Gamma}_{2}=1/\left(\Gamma_{2}+R\right) ebenfalls in einer Form geschrieben ist, die den künstlichen Beitrag \Delta S explizit macht. Tr\left(\dots\right) steht für die Spur einer Matrix.

Der Sinn und die Interpretation der FRG-Differentialgleichung ergeben sich mit der Wahl des Regulators R, d. h. des Propagators. Typische IR-Cutoff-Funktionen (ausgedrückt im k-Raum) sind R\left(\mu,k\right)=k^{2}/\left(e^{k^{2}/\mu^{2}}-1\right) oder R\left(\mu,k\right)=\left(\mu^{2}-k^{2}\right)\theta\left(\mu^{2}-k^{2}\right). Diese Funktionen verschwinden schnell für k\gg\mu und erreichen für k\ll\mu den Wert \mu^2. Dies bedeutet, dass Freiheitsgrade mit kurzen Wellenlängen keine Änderung erfahren während Freiheitsgrade mit langen Wellenlängen eine endliche Masse erhalten und unterdrückt werden. Die FRG-Differentialgleichung beschreibt bei \mu\rightarrow0 was geschieht wenn man mehr und mehr Freiheitsgrade mit langen Wellenlängen hinzunimmt. Z. B. kann man auf diese Weise einen kritischen Punkt erreichen, bei dem beliebig lange Wellenlängen zu berücksichtigen sind.

Geschichte der RG[Bearbeiten]

Skalierungsüberlegungen gibt es in der Physik schon seit dem Altertum und an prominenter Stelle z. B. bei Galilei. Die RG tauchte zum ersten Mal 1953 in der Behandlung der Renormierung in der Quantenelektrodynamik durch E. C. G. Stueckelberg und André Petermann sowie 1954 durch Murray Gell-Mann und Francis Low auf. Die Theorie wurde von den russischen Physikern N. N. Bogoljubow und D. V. Shirkov ausgebaut, die 1959 ein Lehrbuch darüber schrieben.

Ein wirkliches physikalisches Verständnis wurde jedoch erst durch die Arbeiten von Leo Kadanoff 1966 erreicht (Blockspin-Trafo), die dann vom Nobelpreisträger (1982) Kenneth Wilson 1971 erfolgreich für die Behandlung sog. kritischer Phänomene in der Umgebung von kontinuierlichen Phasenübergängen und ferner 1974 zur sukzessiv-konstruktiven Lösung des Kondo-Problems benutzt wurden. Er erhielt unter anderem für die erstgenannte Leistung 1982 den Nobelpreis. Auch die alte RG der Teilchenphysik wurde um 1970 von Curtis Callan und Kurt Symanzik neu formuliert. In der Teilchenphysik wurde hauptsächlich die Impulsraum-RG verwendet und ausgebaut. Sie fand auch weite Verwendung in der Festkörperphysik, war aber bei stark korrelierten Systemen nicht anwendbar. Hier war man ab den 1980er Jahren mit Ortsraum-RG-Verfahren erfolgreicher, wie der von Steven R. White (1992) eingeführten Dichtematrix-RG (density matrix RG, DMRG).

Literatur[Bearbeiten]

Originalarbeiten[Bearbeiten]

  • E. C. G. Stueckelberg und A. Petermann: La renormalisation des constants dans la theorie de quanta. In: Helvetica physica acta. Band 26, 1953 S. 499.
  • M. Gell-Mann und F. E. Low: Quantum Electrodynamics at small distances. In: Physical Review. Band 95, 1954, S. 1300. (Einführung des Konzepts durch Stueckelberg/Peterman und Gell-Mann/Low)
  • N. N. Bogoliubov und D. V. Shirkov: The theory of quantized fields. Interscience, 1959. (erste Lehrbuch Behandlung)
  • L. P. Kadanoff: Scaling laws for Ising models near T_c. In: Physics (Long Island City, N.Y.) Band 2, 1966, S. 263. (das Bild der Block-Spin Transformationen)
  • C. G. Callan: Broken scale invariance in scalar field theory. In: Physical Review D. Band 2, 1970, S. 1541. (Online)
  • K. Symanzik: Small distance behaviour in field theory and power counting. In: Communications in Mathematical Physics. Band 18, 1970, S. 227. (Online) (hier und in der vorgenannten Arbeit von Callan wird die RG im Impulsraum eingeführt)
  • K. G. Wilson: The renormalization group. Critical phenomena and the Kondo problem. In: Reviews of modern physics. Band 47, Nr. 4, 1975, S. 773. (Online) (erfolgreiche Anwendung der RG auf den Kondo-Effekt)
  • S. R. White: Density matrix formulation for quantum renormalization groups. In: Physical Review Letters. Band 69, 1992, S. 2863. (oft verwendete RG Variationsmethode)
  • F. J. Wegner and A. Houghton und A. Petermann: Renormalization Group Equations for Critical Phenomena. In: Phys. Rev A8, . 1972 S. 401.
  • J. Polchinski: Renormalization and Effective Lagrangians. In: Phys.B 231. 1984 S. 269.
  • C. Wetterich: Exact evolution equation for the effective potential. In: Phys. Lett. B 301. 1993 S. 90.

Übersichtsartikel[Bearbeiten]

  • K.G. Wilson: Die Renormierungsgruppe. In: Spektrum der Wissenschaft. Oktober 1979. (Online)
  • M.E. Fisher: The renormalization group in the theory of critical phenomena, In: Reviews of Modern Physics, 46, 597 (1974); Renormalization group theory: its basis and formulation in statistical physics. In: Reviews of Modern Physics 70, 653 (1998)
  • D. V. Shirkov: Evolution of the Bogoliubov Renormalization Group. A mathematical introduction and historical overview with a stress on group theory and the application in high-energy physics. 1999. arXiv.org:hep-th/9909024 (Online)
  • B. Delamotte: A hint of renormalization. A pedestrian introduction to renormalization and the renormalization group. In: American Journal of Physics. Band 72, 2004, S. 170
  • H. J. Maris, L. P. Kadanoff: Teaching the renormalization group. A pedestrian introduction to the renormalization group as applied in condensed matter physics. In: American Journal of Physics. Band 46, Juni 1978, S. 652–657.
  • L.P. Kadanoff: Application of renormalization group techniques to quarks and strings. In: Reviews of Modern Physics 49, 267 (1977)
  • Karen Hallberg, Density matrix renormalization: A review of the method and its applications, published in David Senechal, Andre-Marie Tremblay and Claude Bourbonnais (eds.), Theoretical Methods for Strongly Correlated Electrons, CRM Series in Mathematical Physics, Springer, New York, 2003 (sowie Hallberg New Trends in Density Matrix Renormalization, Advances in Physics 2006); Hallberg, Ingo Peschel, Xiaoqun Wang, Matthias Kaulke (Herausgeber) Density Matrix Renormalization, Lecturenotes in Physics 1999; Ullrich Schollwöck: The density-matrix renormalization group. In: Reviews of Modern Physics, 77, 259 (2005), online hier: (Online)
  • Eleftherios Kirkinis: The Renormalization Group: A Perturbation Method for the Graduate Curriculum. In: SIAM Review. 54, Nr. 2, 2012, S. 374–388. doi:10.1137/080731967.
  • Ramamurti Shankar: Renormalization-group approach to interacting fermions. In: Reviews of Modern Physics. 66, 1994, S. 129. arXiv:cond-mat/9307009. doi:10.1103/RevModPhys.66.129.

Bücher[Bearbeiten]

  • Daniel J. Amit: Field theory, the renormalization group, and critical phenomena, World Scientific 1984
  • Shang-keng Ma: Modern theory of critical phenomena, Addison-Wesley, Frontiers in Physics 1982
  • N. Goldenfeld: Lectures on phase transitions and the renormalization group. Addison-Wesley, 1993.
  • L. Ts. Adzhemyan, N. V. Antonov und A. N. Vasiliev: The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence. Gordon and Breach, 1999. ISBN 90-5699-145-0
  • Gérard Toulouse,Pierre Pfeuty Introduction to the Renormalization Group and to Critical Phenomena, Wiley 1977
  • J. Zinn-Justin: Quantum Field Theory and Critical phenomena. Oxford 1990
  • J. Zinn Justin: Renormalization and renormalization group. From the discovery of UV divergences to the concept of effective field theories. In: C. de Witt-Morette, J.-B. Zuber (Hrsg.): Proceedings of the NATO ASI on Quantum Field Theory: Perspective and Prospective, June 15–26 1998, Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, S. 375–388 (1999). Online hier: PostScript.
  • Giovanni Gallavotti, G.Benfatto: Renormalization Group, Princeton University Press 1995

Weblinks[Bearbeiten]