Satz von Betti

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Der Satz von Betti (auch Reziprozitätsatz von Betti) wurde 1872 von Enrico Betti formuliert. Er gilt für statische Tragkonstruktionen, die einer Belastung durch Kräfte ausgesetzt sind und dadurch Verformungen unterliegen.

Das statische System wird als linearelastisch vorausgesetzt und befindet sich im Gleichgewicht. Es wird weiter vorausgesetzt, dass das statische System mit zwei Kräften oder Kraft-/Lastgruppen belastet wird, die unabhängig voneinander aufgebracht werden können. Die erste Last F_1 erzeugt einen Verschiebungsweg x_2 an der Stelle, an der die zweite Last wirkt und ebenso erzeugt die zweite Last F_2 einen Verschiebungsweg an der Stelle x_1, an der die erste Last wirkt. Außerdem muss man wissen, dass physikalische Arbeit als Kraft mal Weg definiert ist.

Der Satz lautet dann: Die physikalische Arbeit, die die Kraft F_1 auf dem Weg x_1 leistet, ist gleich der Arbeit, die die Kraft F_2 auf dem Weg von x_2 leistet:

F_1 \cdot x_1=F_2 \cdot x_2

Das gilt auch dann, wenn nicht zwei Kräfte, sondern zwei Kraftgruppen wirken, ebenso für Momente und Verdrehungswinkel.

Anders formuliert kann man auch sagen: Die reziproken äußeren Arbeiten zweier Systeme, die im Gleichgewicht sind, sind gleich groß. Der Satz von Betti wird deshalb auch als Satz von der Gegenseitigkeit der Verschiebungsarbeit bezeichnet.[1] Er wird auch der "Satz von Maxwell und Betti" genannt.

Der Satz von Betti hat in der Technischen Mechanik, speziell der Baustatik, Bedeutung. Er ist auch eine Grundlage der Randelementmethode.[2]

Kontinuumsmechanik[Bearbeiten]

Der Satz von Betti gilt auch für Spannungs- und Verzerrungsfelder. Gegeben sei ein linear elastischer Körper, der das Volumen V und die Oberfläche A besitzt, und der mit Oberflächenkräften \vec{t} und volumenverteilen Kräften (Schwerkraft) \vec{b} belastet wird. Ferner sei \vec{u} das Verschiebungsfeld des Körpers und \boldsymbol{\varepsilon} der dazu gehörende linearisierte Verzerrungstensor. Aus dem Verzerrungstensor ergibt sich der Spannungstensor mittels eines symmetrischen Elastizitätstensors:

\boldsymbol{\sigma}
= \mathbb{C}:\boldsymbol{\varepsilon}
\quad\wedge\quad
\mathbb{C} = \mathbb{C}^\top
\quad\rightarrow\quad
\boldsymbol{\sigma}
= \mathbb{C}:\boldsymbol{\varepsilon}
= \boldsymbol{\varepsilon}^\top:\mathbb{C}^\top
\stackrel{\textsf{!}}{=} \boldsymbol{\varepsilon}:\mathbb{C}

Das Rechenzeichen „:“ steht für das Frobenius-Skalarprodukt von Tensoren und das hochgestellte T für die Transposition. Im Hooke’schen Gesetz wäre

\boldsymbol{\sigma}
= 2 \mu \boldsymbol{\varepsilon}
+ \lambda \operatorname{Sp}(\boldsymbol{\varepsilon})\mathbf{I}
= \mathbb{C}:\boldsymbol{\varepsilon}
\quad\leftrightarrow\quad
\mathbb{C} = 2\mu \mathbb{I} + \lambda \mathbf{I\otimes I} = \mathbb{C}^\top

Die Materialparameter \mu,\lambda sind die Lamé-Konstanten, \mathbf{I},\mathbb{I} sind der Einheitstensor zweiter bzw. vierter Stufe und beide symmetrisch. Isotropie ist im Satz von Betti jedoch nicht gefordert und der Elastizitätstensor darf ortsabhängig sein. Die Felder \vec{u}\,,\;\boldsymbol{\varepsilon}\,,\;\boldsymbol{\sigma} sollen im Gebiet V stetig und stetig differenzierbar sein. Dann ist \{\vec{u}, \boldsymbol{\varepsilon},\boldsymbol{\sigma}\} ein elastischer Zustand des Körpers, der zum äußeren Kraftsystem \{\vec{t}, \vec{b}\} gehört, wenn


\int_A \vec{t}\cdot\vec{u}\,\mathrm{d}A
+ \int_V \vec{b}\cdot\vec{u}\,\mathrm{d}V
=
\int_V \boldsymbol{\sigma}:\boldsymbol{\varepsilon}\,\mathrm{d}V\,.

gilt. Das Rechenzeichen „\cdot“ ist das Skalarprodukt von Vektoren. Die von den äußeren Kräften \vec{t} und \vec{b} an den Verschiebungen \vec{u} geleistete Arbeit ist also gleich der Formänderungsarbeit der Spannungen \boldsymbol{\sigma} an den Verzerrungen \boldsymbol{\varepsilon}.

Sei nun \{\vec{\tilde{u}}, \tilde{\boldsymbol{\varepsilon}},\tilde{\boldsymbol{\sigma}}\} ein zweiter elastischer Zustand des Körpers, der zum äußeren Kraftsystem \{\vec{\tilde{t}}, \vec{\tilde{b}}\} gehört. Dann besagt der Satz von Betti:


\int_A \vec{t}\cdot\vec{\tilde{u}}\,\mathrm{d}A
+ \int_V \vec{b}\cdot\vec{\tilde{u}}\,\mathrm{d}V
=
\int_A \vec{\tilde{t}}\cdot\vec{u}\,\mathrm{d}A
+ \int_V \vec{\tilde{b}}\cdot\vec{u}\,\mathrm{d}V
=
\int_V \boldsymbol{\sigma}:\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}\,\mathrm{d}V
=
\int_V \tilde{\boldsymbol{\sigma}}:\boldsymbol{\varepsilon}\,\mathrm{d}V\,.

Die Symmetrie des Elastizitätstensors \mathbb{C} ist dafür eine zwingende Voraussetzung, die bei Hyperelastizität gegeben ist.[3]

Beispiele[Bearbeiten]

Kragbalken[Bearbeiten]

Kragbalken zur Demonstration des Satzes von Betti

Wir betrachten einen horizontal gelagerten Balken, an dem die Punkte 1 und 2 beliebig definiert sind, nur nicht gerade in den Auflagern (denn das ergäbe einen trivialen Fall). Zuerst lassen wir eine vertikale Kraft P an Punkt 1 wirken und messen die vertikale Absenkung des Punktes 2, die wir \Delta_{P2} nennen. Als Nächstes entfernen wir die Kraft P wieder und setzen jetzt eine Kraft Q auf Punkt 2. Das erzeugt eine Absenkung an Punkt 1: \Delta_{Q1}. Nach Betti gilt jetzt:

P \cdot \Delta_{Q1}=Q \cdot \Delta_{P2}.

Zwei-Feder-Masse-System[Bearbeiten]

Lineares Zwei-Feder-Masse-System.

Zwei Körper seien über zwei Federn mit den Steifigkeiten k1 und k2 miteinander sowie mit der Wand verbunden und mit zwei Kräften F1 bzw. F2 belastet, siehe Abbildung rechts unten. Im Gleichgewicht verschieben sich die Körper dann gemäß:


\underbrace{\begin{pmatrix} k_1 + k_2 & -k_2 \\ -k_2 & k_2 \end{pmatrix}}_{=:\mathbf{K}}
\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \end{pmatrix}
\leftrightarrow
\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \frac{F_1}{k_1}+\frac{F_2}{k_1}\\
\frac{F_1}{k_1}+\left(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\right) F_2 \end{pmatrix}

Im ersten elastischen System sei


\vec{F} = \begin{pmatrix} F_1 \\ 0 \end{pmatrix}
\rightarrow
\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}
=\frac{F_1}{k_1} \begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}

Im zweiten elastischen System sei


\vec{\tilde{F}} = \begin{pmatrix} 0\\ \tilde{F}_2 \end{pmatrix}
\rightarrow 
\vec{\tilde{u}} = \begin{pmatrix} \tilde{u}_1 \\ \tilde{u}_2 \end{pmatrix}
=\frac{\tilde{F}_2 }{k_1}\begin{pmatrix} 1\\ 1+\frac{k_1}{k_2} \end{pmatrix}

In Übereinstimmung mit dem Satz von Betti berechnet sich


F_1 \tilde{u}_1 = \frac{F_1\tilde{F}_2}{k_1} = \tilde{F}_2 u_2

Allgemeiner gilt:

\begin{array}{rcl}
\vec{F} = \mathbf{K}\vec{u}
&\wedge&
\vec{\tilde{F}} = \mathbf{K}\vec{\tilde{u}}
\\
\rightarrow
\vec{F}^\top\vec{\tilde{u}}
= \vec{\tilde{u}}^\top \vec{F}
= \vec{\tilde{u}}^\top \mathbf{K}\vec{u}
&=&
\vec{\tilde{u}}^\top \mathbf{K}^\top\vec{u}
= (\mathbf{K}\vec{\tilde{u}})^\top\vec{u}
=\vec{\tilde{F}}^\top\vec{u}
\end{array}

Die Symmetrie der Matrix K ist also wesentlich.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. http://www.winfem.de/DiplomarbeitMaterna.pdf Finite Elemente und Einflussfunktionen, Diplomarbeit Daniel Materna, pdf-Datei, 489 kB
  2. http://www.winfem.de/Projekt3.pdf Thorsten Kunow: Verbesserte Berechnung von lokalen Zielgrößen mit der Methode der finiten Elemente unter Verwendung von Grundlösungen, siehe unter 2.1 (pdf-Datei, 1119 kB)
  3.  M. E. Gurtin: The Linear Theory of Elasticity. In: S. Flügge (Hrsg.): Handbuch der Physik. Bd. VI2/a, Bandherausgeber C. Truesdell, Springer, 1972, ISBN 3-540-05535-5, S. 98 f.

Weblinks[Bearbeiten]