3D-Ansicht eines Triakisikosaeders (Animation ) Das Triakisikosaeder ist ein konvexes Polyeder , das sich aus 60 gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Dodekaederstumpf und hat 32 Ecken sowie 90 Kanten.
Werden auf die 20 Begrenzungsflächen eines Ikosaeders (Kantenlänge
a
{\displaystyle a}
Pyramiden mit der Flankenlänge
b
{\displaystyle b}
a
3
3
<
b
<
a
4
10
−
2
5
{\displaystyle {\frac {a}{3}}{\sqrt {3}}<b<{\frac {a}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}
Für den zuvor genannten minimalen Wert von
b
{\displaystyle b}
a
{\displaystyle a}
Das spezielle Triakisikosaeder mit gleichen Flächenwinkeln entsteht, wenn
b
=
a
22
(
15
−
5
)
{\displaystyle b={\frac {a}{22}}\,(15-{\sqrt {5}})}
Nimmt
b
{\displaystyle b}
Rhombentriakontaeder mit der Kantenlänge
b
{\displaystyle b}
Überschreitet
b
{\displaystyle b}
b
=
a
2
(
1
+
5
)
{\displaystyle b={\frac {a}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}
Ikosaederstern . Spezielles Triakisikosaeder
Größen eines Triakisikosaeders mit Kantenlängen a , b
Volumen
V
=
5
12
a
2
(
a
(
3
+
5
)
+
4
3
b
2
−
a
2
)
{\displaystyle V={\frac {5}{12}}a^{2}\left(a(3+{\sqrt {5}})+4{\sqrt {3b^{2}-a^{2}}}\right)}
Oberflächeninhalt
A
O
=
15
a
4
b
2
−
a
2
{\displaystyle A_{O}=15a{\sqrt {4b^{2}-a^{2}}}}
Pyramide nhöhe
k
=
1
3
9
b
2
−
3
a
2
{\displaystyle k={\frac {1}{3}}{\sqrt {9b^{2}-3a^{2}}}}
Inkugelradius
ρ
=
a
4
10
a
+
4
b
a
+
2
b
+
2
5
{\displaystyle \rho ={\frac {a}{4}}{\sqrt {{\frac {10a+4b}{a+2b}}+2{\sqrt {5}}}}}
Flächenwinkela )
cos
α
1
=
(
12
b
2
−
5
a
2
)
5
−
8
a
3
b
2
−
a
2
9
(
4
b
2
−
a
2
)
{\displaystyle \cos \,\alpha _{1}={\frac {(12b^{2}-5a^{2}){\sqrt {5}}-8a{\sqrt {3b^{2}-a^{2}}}}{9(4b^{2}-a^{2})}}}
Flächenwinkelb )
cos
α
2
=
2
b
2
−
a
2
4
b
2
−
a
2
{\displaystyle \cos \,\alpha _{2}={\frac {2b^{2}-a^{2}}{4b^{2}-a^{2}}}}
[1]
Kantenkugel im speziellen Triakisikosaeder: Deutlich treten die Kugelkappen auf den einzelnen Dreiecksflächen hervor. Die Inkreise sind zugleich Schnittflächen der Dreiecke mit der Kantenkugel.
Größen eines Triakisikosaeders mit Kantenlänge a
Volumen
V
=
5
44
a
3
(
5
+
7
5
)
{\displaystyle V={\frac {5}{44}}a^{3}(5+7{\sqrt {5}})}
Oberflächeninhalt
A
O
=
15
11
a
2
109
−
30
5
{\displaystyle A_{O}={\frac {15}{11}}a^{2}{\sqrt {109-30{\sqrt {5}}}}}
2. Seitenlänge
b
=
a
22
(
15
−
5
)
{\displaystyle b={\frac {a}{22}}\,(15-{\sqrt {5}})}
Pyramidenhöhe
k
=
a
66
(
5
5
−
9
)
3
{\displaystyle k={\frac {a}{66}}(5{\sqrt {5}}-9){\sqrt {3}}}
Inkugelradius
ρ
=
a
4
10
(
33
+
13
5
)
61
{\displaystyle \rho ={\frac {a}{4}}{\sqrt {\frac {10(33+13{\sqrt {5}})}{61}}}}
Kantenkugelradius
r
=
a
4
(
1
+
5
)
{\displaystyle r={\frac {a}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}
Flächenwinkel
cos
α
=
−
1
61
(
24
+
15
5
)
{\displaystyle \cos \,\alpha =-{\frac {1}{61}}(24+15{\sqrt {5}})}
Sphärizität
Ψ
=
396
π
(
27
+
7
5
)
3
6
109
−
30
5
{\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{396\,\pi \left(27+7{\sqrt {5}}\right)}}{6{\sqrt {109-30{\sqrt {5}}}}}}}
[2]
↑
a
3
3
<
b
<
a
4
10
−
2
5
{\displaystyle {\frac {a}{3}}{\sqrt {3}}<b<{\frac {a}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}
↑
b
=
a
22
(
15
−
5
)
{\displaystyle b={\frac {a}{22}}\,(15-{\sqrt {5}})}
![{\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{396\,\pi \left(27+7{\sqrt {5}}\right)}}{6{\sqrt {109-30{\sqrt {5}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a9d430cbb36ccf3fdad698eb3698b90202d075)
