Wavelet-Transformation

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Mit Wavelet-Transformation (WT, engl. wavelet transform) wird eine bestimmte Familie von linearen Zeit-Frequenz-Transformationen in der Mathematik und den Ingenieurwissenschaften (primär: Nachrichtentechnik, Informatik) bezeichnet. Die WT setzt sich zusammen aus der Wavelet-Analyse, welche den Übergang der Zeitdarstellung in die Spektral- bzw. Waveletdarstellung bezeichnet, und der Wavelet-Synthese, welche die Rücktransformation der Wavelettransformierten in die Zeitdarstellung bezeichnet.

Der Begriff Wavelet bezeichnet die für die Transformation benutzte Basisfunktion, mit der das zu analysierende Signal oder Bild – im Allgemeinen eine N-dimensionale Funktion – „verglichen“ wird.

Die Wurzeln der Waveletschule liegen in Frankreich, wo auch der ursprünglich französische Begriff ondelette geprägt wurde, dessen englisches Pendant wavelet sich jedoch später als Bezeichnung durchgesetzt hat. Ins Deutsche übersetzt bedeutet Wavelet so viel wie kleine Welle oder Wellchen und drückt den Umstand aus, dass man im Gegensatz zur Fourier-Transformation zeitlich lokalisierte Wellen bzw. Funktionen als Basis benutzt, wodurch die eingangs erwähnte Zeit- und Frequenzauflösung möglich wird. Wie alle linearen Zeit-Frequenz-Transformationen unterliegt auch die Wavelettransformierte der Unschärferelation der Nachrichtentechnik, d.h. ein Ereignis kann nicht gleichzeitig beliebig genau in Zeit und Frequenz lokalisiert werden. Es gibt immer nur einen Kompromiss aus guter zeitlicher Auflösung oder guter Auflösung im Frequenzbereich.

Die Wavelet-Transformation unterteilt sich in erster Linie in zwei Lager, nämlich die kontinuierliche Wavelet-Transformation, welche ihre Hauptanwendung in der Mathematik und der Datenanalyse hat, und die diskrete Wavelet-Transformation, welche eher in den Ingenieurswissenschaften zu finden ist und deren Anwendung im Bereich der Datenreduktion, Datenkompression und Signalverarbeitung liegt.

Funktionsweise[Bearbeiten]

Die Wavelet-Transformation kann als Verbesserung der Kurzzeit-Fourier-Transformation (STFT) angesehen werden.

Schwächen der Short-Time-Fourier-Transformation[Bearbeiten]

Bei der STFT wird das zu untersuchende Signal mit einer Fensterfunktion – etwa mit der Gaußschen Glockenkurve wie bei der Gabor-Transformation – verglichen. Für jeden Punkt der STFT wird das Fenster an den zu betrachtenden Zeitpunkt und an die zu betrachtende Frequenz (Modulation im Zeitbereich) verschoben. Die absolute Zeitdauer und Bandbreite des Fensters („Breite“ im Zeit- und Frequenzbereich) – und damit die Auflösung – ändern sich dadurch nicht.

Die Auflösungen im Zeit- und Frequenzbereich sind nur abhängig von der Form des Fensters. Auf Grund der Zeit-Frequenz-Unschärfe ist die Auflösung im Zeitbereich umgekehrt proportional zur Auflösung im Frequenzbereich. Es lässt sich also nicht gleichzeitig im Zeitbereich und im Frequenzbereich die bestmögliche Auflösung erzielen.

Enthält nun ein Signal Frequenzanteile sowohl bei hohen als auch bei niedrigen Frequenzen, möchte man bei niedrigen Frequenzen eine gute (absolute) Frequenzauflösung erzielen, da eine kleine absolute Frequenzänderung hier stark ins Gewicht fällt. Bei einer hohen Frequenz ist eine gute Zeitauflösung wichtiger, da eine vollständige Schwingung hier weniger Zeit beansprucht und sich die Momentanfrequenz daher schneller ändern kann.

Hat man beispielsweise ein Signal mit Frequenzanteilen bei 1 Hz und 1 kHz und möchte die Frequenz auf 10 Prozent auflösen, so ist bei 1 Hz eine Frequenzauflösung von 0,1 Hz nötig. Bei 1 kHz entspricht dieses einer Auflösung von 0,01 Prozent – eine so gute Auflösung ist hier nicht nötig.

Andererseits vollführt das Signal bei 1 kHz zehn vollständige Schwingungen in 10 ms. Um Frequenzänderungen in diesem Zeitraum auflösen zu können, ist eine Zeitauflösung besser als 10 ms nötig. Bei 1 Hz entspricht diese Zeitdauer nur einer hundertstel Schwingung. Eine so gute zeitliche Auflösung ist also hier nicht nötig.

Man wünscht sich also bei niedrigen Frequenzen eine gute Frequenzauflösung unter Inkaufnahme einer schlechten Zeitauflösung und bei hohen Frequenzen eine gute Zeitauflösung bei schlechterer Frequenzauflösung. Die Short-Time-Fourier-Transformation leistet dieses nicht.

Zusammenfassung der Funktionsweise[Bearbeiten]

Wie bei der STFT wird das zu untersuchende Signal mit einer Fensterfunktion verglichen. Anstatt allerdings das Fenster zu verschieben und zu modulieren (Verschiebung im Frequenzbereich) (wie bei der STFT), wird das Fenster verschoben und skaliert. Durch die Skalierung ergibt sich wie durch die Modulation ebenfalls eine Frequenzverschiebung, allerdings wird gleichzeitig mit einer Frequenzerhöhung die Zeitdauer („Breite“ im Zeitbereich) des Fensters verringert. Dadurch ergibt sich bei höheren Frequenzen eine bessere zeitliche Auflösung. Bei niedrigen Frequenzen wird die Frequenzauflösung besser, dafür wird die Zeitauflösung schlechter.

Kontinuierliche Wavelet-Transformation[Bearbeiten]

Die kontinuierliche Wavelet-Transformation (CWT, engl. continuous wavelet transform) ist gegeben durch


  \mathcal{W}_\psi x(a,b) = \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{\infty} \overline{\psi\left(\frac{t-b}{a}\right)} x(t) \; dt.

Diese lässt sich durch die Einführung der Wavelet-Familie


  \left\{ \psi_{ab} = \frac{1}{a} \psi\left(\frac{t-b}{a}\right) \ : \ (a,b) \in\mathbb R_+\!\times \mathbb R \right\}

kompakt als Skalarprodukt


  \mathcal{W}_\psi x(a,b) =  \langle \psi_{ab} , x \rangle

auffassen, wodurch auch sofort die Linearität der WT folgt.

Eigenschaften von Wavelets[Bearbeiten]

Die wichtigste Eigenschaft eines Wavelets ist seine Admissibilität


  \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ |\hat{\psi}(\omega)|^2 }{ |\omega| }d\omega < \infty

aus welcher folgt, dass die Fouriertransformierte des Wavelets an der Stelle 0 verschwindet


  \hat{\psi}(\omega=0) = 0,

was bedeutet, dass das Wavelet einen Bandpass-Charakter haben muss. Des Weiteren folgt daraus, dass das erste Moment des Wavelets, also sein Mittelwert, verschwindet:


  \int_{-\infty}^{\infty}  \psi (t) \; dt = 0,

Wavelet-Synthese[Bearbeiten]

Die ursprüngliche Funktion x(t) kann bis auf eine additive Konstante wieder aus der Wavelettransformierten zurückgewonnen werden mit der Rekonstruktionsformel


  x(t) = \frac{1}{c_{\phi\psi}} \int_{0}^{\infty} \!\frac{da}{a} \int_{-\infty}^{\infty} \!\!\! db\;
         \mathcal{W}_\psi x(a,b) \frac{1}{a} \phi\left(\frac{t-b}{a}\right),

mit


  c_{\phi\psi} = \int_{0}^{\infty} \frac{d\omega}{\omega} \overline{\hat{\phi}(\pm\omega)} \hat{\psi}(\pm\omega) \; d\omega.

Reproduzierender Kern[Bearbeiten]

Als Reproduzierender Kern (engl. reproducing kernel) wird die Wavelettransformierte des Wavelets selbst bezeichnet. Somit bezeichnet


  K_\psi(a,b) = \langle \psi_{ab} , \psi \rangle

den Kern des Wavelets \psi.

Das Attribut reproduzierend trägt der Kern, weil sich die Wavelettransformierte unter der Faltung mit dem Kern reproduziert, das heißt, die Wavelettransformierte ist invariant unter der Faltung mit dem Kern. Diese Faltung ist gegeben durch


  ( K_\psi * \mathcal{W}_\psi x )(a,b) = \int_{0}^{\infty} \!\frac{da'}{a'} \int_{-\infty}^{\infty} \!\!\! db'\;
         \frac{1}{a'} K_\psi\left(\frac{a}{a'},\frac{b-b'}{a'}\right) (\mathcal{W}_\psi x)(a,b).

Dies ist keine gewöhnliche Faltung, da sie nicht kommutativ ist; sie ist jedoch assoziativ.

Eine weitere wichtige Bedeutung erhält der reproduzierende Kern daher, dass er die minimale Korrelation zwischen zwei Punkten (a,b) und (a',b') im Waveletraum angibt. Dies lässt sich zeigen, indem man die Autokorrelation von weißem Rauschen im Waveletraum betrachtet. Bezeichnen wir mit \xi(t) ein Gauss’sches weißes Rauschen mit Varianz 1, so ist dessen Autokorrelation gegeben durch \langle \xi(t)\xi(t') \rangle  =  \delta(t,t'). Die Korrelation im Waveletraum ist dann (ohne Ausführung der Rechnung)


  \langle (\overline{\mathcal{W}_\psi\xi(a',b')} \mathcal{W}_\psi\xi(a,b) \rangle 
   =  \frac{1}{a'} K_\psi \left( \frac{1}{a'},\frac{b-b'}{a'} \right),

also gerade gegeben durch den reproduzierenden Kern.

Diskrete Wavelet-Transformation[Bearbeiten]

  • Die Diskrete Wavelet-Transformation oder DWT ist eine Wavelet-Transformation, die zeit- und frequenzdiskret durchgeführt wird.
  • Es wurde gezeigt, dass die Informationen trotz Reduktion auf eine diskrete Teilmenge \{(a,b)=(\alpha^k,l\,\beta\,\alpha^{-k}):\;k,l\in\mathbb Z\}\subset\mathbb R_+\times \mathbb R, bei \alpha>1,\beta>0 , vollständig erhalten bleibt.
  • Eine DWT lässt sich sehr effizient als eine Reihe von zeitdiskreten Filtern implementieren, die kontinuierliche Wavelet-Transformation wird praktisch auf diese Weise berechnet.

Schnelle Wavelet-Transformation[Bearbeiten]

Wavelet-Paket-Transformation und Beste-Basis-Algorithmen[Bearbeiten]

Die Wavelet-Paket-Transformation ist eine Ausweitung der Schnellen Wavelet-Transformation (FWT), indem nicht nur der Tiefpasskanal, sondern auch der Bandpasskanal weiter mittels der Wavelet-Filterbank aufgespalten werden. Dieses kann dazu dienen, aus einer üblichen 2-Kanal-DWT wie z. B. den Daubechies-Wavelets eine M-Kanal-DWT zu erhalten, wobei M eine Potenz von 2 ist; der Exponent wird Tiefe des Paket-Baums genannt. Dieses Verfahren wird in der Breitbanddatenübertragung als Alternative zur schnellen Fourier-Transformation angewandt.

Wird in einem Rekursionsschritt der FWT ein weißes Rauschen als Eingangssignal transformiert, so ist das Ergebnis aufgrund der orthogonalen Natur der DWT wieder ein weißes Rauschen, wobei die Energie (=Quadratsumme der Samples) gleichmäßig auf Tief- und Bandpasskanal verteilt wird. Nimmt man eine möglichst hohe Abweichung von diesem Verhalten, d.h. eine möglichst vollständige Konzentration der Signalenergie auf einen der beiden Kanäle, als Entscheidungskriterium, ob der Eingangskanal aufgespalten werden soll, und setzt man dieses Verfahren für die aufgespaltenen Kanäle fort, so entsteht eine Variante eines Beste-Basis-Verfahrens.

Wichtige Anwendungen[Bearbeiten]

Geschichte[Bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]