Benutzer:Pyrometer/Baustelle/Flächenträgheitsmoment

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Dies ist (bzw. war ursprünglich eine Kopie eines älteren Standes von Flächenträgheitsmoment. 
Hier wird von mir weiter entwickelt. Vorsicht, zum Teil reine Theoriefindung und Spekulation.
Sachliche Richtigkeit ist während meiner Bearbeitung nicht gewährleistet.
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Das Flächenträgheitsmoment, auch als Flächenmoment 2. Grades bezeichnet, ist eine aus dem Querschnitt eines Balkens abgeleitete geometrische Größe, die zu dessen Verformungs- und Spannungs-Berechnung bei Biege- und Torsions-Beanspruchung eingeführt wurde. Die verwendeten Formeln enthalten das Flächenträgheitsmoment neben anderen Größen, wie solchen für die Belastung und für die Eigenschaften des verwendeten Werkstoffs.

...in der Festigkeitslehre verwendete... (nicht wirklich, bzw. nicht direkt. Siehe Widerstandsmoment)

Mit Hilfe des Flächenträgheitsmomentes werden auch diejenigen Belastungen berechnet, deren Überschreiten zum Knicken von Stäben oder Beulen von Schalen führt.

Das Flächenträgheitsmoment darf nicht mit dem Massenträgheitsmoment, das die Trägheit eines rotierenden Körpers gegenüber einer Winkelbeschleunigung charakterisiert, verwechselt werden.

Das Flächenträgheitsmoment darf nicht mit dem Widerstandsmoment, das die Grenzbelastung eines Balkens bei Biegung und Torsion charakterisiert, verwechselt werden.

An dieser Stelle fehlen einige allgemeine Betrachtungen:

axial->Biegung: Grob gesagt bestimmt (bei gleichem Flächeninhalt) die Größe der Ausdehnung in Richtung der Biegeebene das Verhalten: Je größer die Außenkontur in dieser Richtung, desto steifer. Beispiele Rechteck hochkant zu Rechteck flach und Rechteck voll zu Rechteck Rohr.

radial->Torsion: Grob gesagt bestimmt (bei gleichem Flächeninhalt) die Größe der Außenkontur der Profilfläche das Verhalten: Je größer die Außenkontur desto steifer. Beispiel Rohr zu vollem Rundstab.

Arten

symmetrische und unsymmetrische Querschnitte eines Balkens, der beispielsweise einseitig eingespannt (1 und 2, Kragträger) auf Biegung (3) oder Torsion (4) beansprucht wird.

axiale Flächenträgheitsmomente (Biegung)

Axiale Trägheitsmomente sind richtungsabhängig. Das heißt, sie beschreiben das Verhalten bei der Biegung um eine bestimmte Achse. Den größten Einfluss auf die Steifigkeit hat die Ausdehnung des Querschnitts in Richtung der angreifenden Kraft. Siehe dazu den Vergleich der Teilbilder 1 und 2 in der Skizze.

Im allgemeinen Fall eines beliebig unsymmetrischen Querschnittes variiert das Trägheitsmoment zwischen einem kleinsten und einem größten Wert. Diese Variation verläuft ohne Zwischenminima und Zwischenmaxima, also monoton. Die zugehörigen Richtungen stehen senkrecht aufeinander und definieren die beiden Haupträgheitsachsen. Ist ein Querschnitt spiegelsymmetrisch, so ist die Spiegelfläche eine Hauptträgheitsachse. Sind die beiden Trägheitsmomente der Hauptachsen gleich, so sind die Trägheitsmomente um alle Achsen gleich. Dieser Fall tritt zum Beispiel beim gleichseitgen Dreieck (und bei allen anderen regelmäßigen n-Ecken) ein.

Für viele technische Anwendungen reicht es aus, die Biegung um eine der beiden Hauptträgheitsachsen, die gerade Biegung zu betrachten.

gerade Biegung

Die axialen Flächenträgheitsmomente I_a beschreiben den Einfluss des Querschnitts eines Balkens auf dessen Biegung unter (Quer-)Belastung. Je größer das Flächenträgheitsmoment desto geringer sind bei gleicher Beanspruchung die Verformung und die inneren Spannungen. Das wesentliche Maß im Querschnitt ist die Ausdehnung in der Ebene der Biegelinie. Im nebenstehenden Bild ist dargestellt, dass eine vertikale Last einen Balken weniger verbiegt, wenn er hochkant anstatt flach angeordnet ist (Vergleich zwischen den Teilbildern 1 und 2).

schiefe Biegung

Das biaxiale Flächenträgheitsmoment, auch als Flächendeviationsmoment, Deviationsmoment, Flächenzentrifugalmoment oder Zentrifugalmoment bezeichnet, wird zur Berechnung der Verformung und der Spannungen von und in belasteten asymmetrischen Profilen (Teilbild 3 in nebenstehender Abbildung) benutzt. Analog gilt: bei asymmetrischer Belastung symmetrischer oder beliebiger Profile.

polares Flächenträgheitsmoment (Torsion)

Das polare Flächenträgheitsmoment I_p beschreibt den Einfluß des Querschnitts eines Balkens auf dessen Verwindung (Torsion) unter Belastung. Die Torsion und die im Querschnitt entstehenden inneren Spannungen sind umso kleiner, je größer das polare Flächenträgheitsmoment ist. Das wesentlichste Maß im Querschnitt ist dabei die radiale Ausdehnung (R im Teilbild 4 der nebenstehenden Abbildung).

Berechnung

Einheiten

Die Flächenträgheitsmomente werden üblicherweise in m⁴ angegeben (SI-Einheiten). Im veralteten, in den USA aber noch gebräuchlichen Einheitensystem werden sie normalerweise in in⁴ notiert.

axiales Flächenträgheitsmoment

Die axialen Flächenträgheitsmomente lassen sich durch diese Gleichungen beschreiben:

$I_{y}=\int _{A}z^{2}\ \mathrm {d} A$,     [I] = m⁴

• z = senkrechter Abstand der y-Achse zum Element dA

$I_{z}=\int _{A}y^{2}\ \mathrm {d} A$,     [I] = m⁴

• y = senkrechter Abstand der z-Achse zum Element dA

Beide Größen können nur positive Werte annehmen.

polares Flächenträgheitsmoment

Das polare Flächenträgheitsmoment setzt sich aus den beiden Flächenträgheitsmomenten $I_{y}$ und $I_{z}$ zusammen:

$I_{P}={\int _{A}r^{2}\ \mathrm {d} A}=I_{y}+I_{z}$,     [I] = m⁴

biaxiales Flächenträgheitsmoment

Das biaxiale Flächenträgheitsmoment wird durch diese Gleichung beschrieben:

$I_{zy}=I_{yz}=-\int _{A}zy\ \mathrm {d} A$,     [I] = m⁴

Diese auch Deviations- oder Zentrifugalmoment genannte Größe ist gleich Null, wenn entweder die y-Achse oder die z-Achse eine Symmetrieachse des Querschnitts ist. Die zugehörigen Flächenträgheitsmomente heißen dann Hauptträgheitsmomente, sie nehmen in diesem Falle extremale Werte an. Im Gegensatz zu den axialen und zum polaren Flächenträgheitsmoment kann diese Größe sowohl positive als auch negative Werte annehmen. Neben dieser Definition mit negativem Vorzeichen wird je nach Literatur auch eine Definition mit positivem Vorzeichen verwendet, dies ist in allen Formeln die das Deviationsmoment verwenden zu berücksichtigen.

Axiale (und biaxiale) Trägheitsmomente beliebiger geschlossener Polygone

Trägheitsmomente geschlossener Polygone können aus den Koordinaten der Eckpunkte berechnet werden. Die Trägheitsmomente beziehen sich auf die Koordinatenachsen. Das Vorzeichen des Deviationsmoments $I_{yz}$ ist konform zu den Formeln zur Koordinatentransformation. Das Polygon hat $n$ Eckpunkte $(y_{i},z_{i})$, die fortlaufend gegen den Uhrzeigersinn nummeriert sind. Für den Punkt mit dem Index $i=n+1$ werden erneut die Koordinaten des Anfangspunktes angegeben.

$I_{y}={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}(z_{i}^{2}+z_{i}z_{i+1}+z_{i+1}^{2})\cdot a_{i}\,$

$I_{z}={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2})\cdot a_{i}\,$

$I_{yz}=I_{zy}=-{\frac {1}{24}}\sum _{i=1}^{n-1}(y_{i}z_{i+1}+2y_{i}z_{i}+2y_{i+1}z_{i+1}+y_{i+1}z_{i})\cdot a_{i}\,$

$a_{i}=y_{i}z_{i+1}-y_{i+1}z_{i}\,$ (Doppelte (vorzeichenbehaftete) Fläche des Dreiecks $(0,0),(y_{i},z_{i}),(y_{i+1},z_{i+1}$)

Die Herleitung der obigen Formeln beruht auf einer Summierung der Trägheitsmomente von n (vorzeichenbehafteten) Dreiecksflächen, die jeweils zwischen dem Koordinatenursprung und einer Kante des Polygons aufgespannt werden.

Berechnung von Trägheitsmomenten zusammengesetzter Flächen

Das Trägheitsmoment einer Fläche, die aus mehreren Teilflächen besteht, ist die Summe der Trägheitsmomente der Teilflächen. Das Trägheitsmoment einer Fläche mit Löchern kann aus dem Trägheitsmoment der ungelochten Gesamtfläche abzüglich der Trägheitsmomente der Lochflächen berechnet werden. Bei der Addition und Subtraktion von Trägheitsmomenten muss beachtet werden, dass sich die Trägheitsmomente stets auf bestimmte Achsen beziehen. Es können nur solche Trägheitsmomente miteinander verrechnet werden, die sich auf die selbe Achse beziehen.

Satz von Steiner

Trägheitsmomente ändern ihre Größe mit der Lage der Fläche innerhalb des Koordinatensystems. Sie nehmen den kleinsten Wert $I_{S}$ an, wenn der geometrische Schwerpunkt der Fläche im Nullpunkt des Koordinatensystems liegt. In Tabellen von Nachschlagewerken werden üblicherweise nur diese Trägheitsmomente um Schwerpunktachsen angegeben.

Bei der Berechnung von Trägheitsmomenten zusammengesetzter Flächen tritt häufig der Fall ein, dass das Trägheitsmoment einer Teilfläche bezüglich einer Schwerpunktachse bekannt ist, das Trägheitsmoment aber nicht direkt verwendet werden kann, weil der Schwerpunkt der Teilfläche nicht auf der gewünschten Achse liegt. Dann kann man das Trägheitsmoment $I$ um eine Achse parallel zu einer Schwerpunktachse aus dem Trägheitsmoment um die Schwerpunktachse $I_{S}$ und dem Abstand $d$ zwischen Schwerpunkt und der Achse berechnen:

$I=I_{S}+d^{2}\cdot A$

---

Alle hier genannten Flächenträgheitsmomente werden auf einen speziellen Punkt, nämlich den Flächenschwerpunkt bezogen. Für alle anderen Punkte können die Flächenträgheitsmomente mit dem Steinerschen Satz berechnet werden.

Der Satz von Steiner besagt, dass sich das Flächenträgheitsmoment einer beliebigen Querschnittsfläche zusammensetzt aus den Flächenträgheitsmomenten im Hauptachsensystem der einzelnen Teilflächen und dem Produkt aus dem Quadrat des Abstandes z von Schwerachse-Gesamtfläche zu Schwerachse-Teilfläche und Teilfläche A. Ein Anwendungsbeispiel ist die I-Form. Die Flächenträgheitsmomente der drei rechteckigen Teilflächen, nämlich der beiden horizontalen Flansche und des vertikalen Stegs, lassen sich über die unten angegebenen Formeln bestimmen und für die vertikale z-Achse zu $I_{zz}^{*}$ einfach summieren, denn alle Schwerpunkte der Teilflächen liegen auf der gemeinsamen Schwerachse z der Gesamtfläche. Das Flächenträgheitsmoment $I_{yy}^{*}$ bezüglich der y-Achse setzt sich ebenfalls aus den drei Summanden plus dem Steiner'schen Anteil der beiden Flansche zusammen.

$I_{yy}^{*}=I_{yy}+z_{s}^{2}\cdot A$

$I_{zz}^{*}=I_{zz}+y_{s}^{2}\cdot A$

$I_{yz}^{*}=I_{zy}^{*}=I_{yz}-y_{s}z_{s}\cdot A$

Hauptträgheitsmomente und verdrehte Trägheitsmomente

$I_{yy}^{*}=1/2(I_{yy}+I_{zz})+1/2(I_{yy}-I_{zz})\cdot \cos(2\cdot \phi ^{*})+I_{yz}\sin(2\cdot \phi ^{*})$,

$I_{zz}^{*}=1/2(I_{yy}+I_{zz})-1/2(I_{yy}-I_{zz})\cdot \cos(2\cdot \phi ^{*})-I_{yz}\sin(2\cdot \phi ^{*})$,

$I_{yz}^{*}=1/2(I_{yy}-I_{zz})\cdot \sin(2\cdot \phi ^{*})-I_{yz}\cdot \cos(2\cdot \phi ^{*})$,

$\phi ^{*}=1/2\cdot \mathrm {arctan} {\frac {2\cdot I_{yz}}{I_{zz}-I_{yy}}}$,

Mit Hilfe dieser Formeln kann man die zugehörigen Trägheitsmomente einer Fläche berechnen, wenn die Koordinatenachsen der Fläche um einen beliebigen Winkel $\phi$ verdreht werden. Neben dem Winkel müssen auch die Hauptträgheitsmomente $Iyy$ und $Izz$ gegeben sein. Da in früheren Jahren noch keine zuverlässigen Rechenmaschinen zur Verfügung standen, wurde ein grafisches Verfahren von Christian Otto Mohr angegeben. Der Mohrsche Trägheitskreis ist noch in vielen Lehrbüchern über die Technische Mechanik zu finden. Eine praktische Anwendung finden die verdrehten Flächenträgheitsmomente bei der Berechnung von Spannungen, wenn bei der Biegung das belastende Biegemoment nicht in die Richtung eines der beiden Hauptträgheitsmomente fällt.

Abgeleitete Größen

Widerstandsmoment

Das Widerstandsmoment $W$ ist nötig, um die am Querschnitts-Rand auftretende größte Beanspruchung (Spannung) zu bestimmen. Es ist der Quotient aus dem Flächenträgheitsmoment und dem Abstand $a_{max}$ des Randes von der neutralen Faser:

$W:={\frac {I}{a_{max}}}$

Flächenträgheitsradius

Für geometrisch ähnliche Bauteile (z. B. Rechtecke mit gleichem Breiten/Höhen-Verhältnis) lässt sich auch der Flächenträgheitsradius mit der Dimension [Meter] definieren, mit dem man Körper vergleichen kann, die im Sinne des Flächenmomentes 2. Grades ähnlich sind:

$i_{y}:={\sqrt {I_{y} \over A}};\qquad i_{z}:={\sqrt {I_{z} \over A}}$

$i_{P}:={\sqrt {I_{P} \over A}}$

Der Flächenträgheitsradius wird oft „Trägheitsradius“ genannt, was aber Verwechslungsgefahr zum Streumassenradius birgt. Außerdem ist der Flächenträgheitsradius im Schlankheitsgrad $\lambda$ enthalten.

Flächensteife / Flächensteifigkeit

Im Flächenträgheitsradius ist die selten verwendete Flächensteife, auch Flächensteifigkeit genannt, enthalten. Die Flächensteife besitzt kein Formelzeichen und ist das Quadrat des Trägheitsradius bzw. der Quotient aus Flächenträgheitsmoment I und Querschnittsfläche A:

$\mathrm {Fl{\ddot {a}}chensteife} :={\frac {I}{A}}$

Sowohl Flächensteife als auch Flächenträgheitsradius sollten für eine gute Materialausnutzung möglichst groß sein. Dies führt jedoch zu immer größeren, dünnwandigeren Objekten, die dann zunehmend beulgefährdet sind.

Beispiele

Bezugsachsen und Bezeichnungen bei ausgewählten Querschnitten

Das Polare Trägheitsmoment 2. Grades ist $I_{p}=I_{y}+I_{z}$, sofern der Bezugspunkt des polaren Flächenmomentes im Schnittpunkt der y- und z-Achse liegt.

Nr	Fläche	Axiales Flächenmoment 2. Grades um y- und z-Achse
1: Rechteck	$A={b\cdot h}$	$I_{y}={b\cdot h^{3} \over 12}=A\cdot {\frac {h^{2}}{12}}$ $I_{z}={h\cdot b^{3} \over 12}=A\cdot {\frac {b^{2}}{12}}$
	Das Quadrat kann als Spezialfall des Rechtecks mit $b=h$ berechnet werden
2: Dreieck	$A={\frac {a\cdot h}{2}}$	$I_{y}={\frac {a\cdot h^{3}}{36}}={\frac {A\cdot h^{2}}{18}}$ $I_{z}={\frac {h\cdot a^{3}}{48}}={\frac {A\cdot a^{2}}{24}}$
	Das Dreieck ist nur um die z-Achse symmetrisch
3: Kreisring	$A=\pi \cdot (R^{2}-r^{2})$	$I_{y}=I_{z}={\pi \over 4}\cdot (R^{4}-r^{4})={A \over 4}\cdot (R^{2}+r^{2})$
	Der Kreis kann als Spezialfall des Kreisrings mit $r=0$ berechnet werden.
4: Ellipsenring	$A=\pi \cdot (A\cdot B-a\cdot b)$	$I_{y}={\frac {\pi }{4}}\cdot (A\cdot B^{3}-a\cdot b^{3})$ $I_{z}={\frac {\pi }{4}}\cdot (A^{3}\cdot B-a^{3}\cdot b)$
	Das Verhältnis $n=A/B=a/b\geq 1$ ist das Verhältnis der halben Achsen des Ellipsenringes und muss bei der Berechnung des polaren Flächenmomentes für die Ellipse am Innenrand gleich dem Verhältnis der Ellipse am Außenrand sein. Die Ellipse kann als Spezialfall des Ellipsenringes mit $a=b=0$ betrachtet werden.
5: Symmetrisches Trapez	$A=(b_{1}+b_{2})\cdot {\frac {h}{2}}$	$I_{y}=h^{3}\cdot {\frac {(b_{1}+b_{2})^{2}+2\cdot b_{1}\cdot b_{2}}{36\cdot (b_{1}+b_{2})}}$ $I_{z}={\frac {h}{48}}\cdot (b_{1}+b_{2})\cdot (b_{1}^{2}+b_{2}^{2})$
	Der Abstand des Schwerpunktes von der oberen Seite $b_{2}$ ist $h_{s}={\frac {h}{3}}\cdot {\frac {b_{2}+2b_{1}}{b_{2}+b_{1}}}$
6: Regelmäßiges n-Eck	$A={\frac {n\cdot a^{2}}{4\cdot \tan {\frac {\pi }{n}}}}$	$I_{y}={\frac {n}{96}}\cdot a^{4}\cdot {\frac {2+\cos \alpha }{(1-\cos \alpha )^{2}}}\cdot \sin \alpha$
	$I_{y}$ ist um alle Achsen gleich
7: Kastenprofil	$A=H\cdot B-h\cdot b$	$I_{y}={\frac {1}{12}}\cdot (B\cdot H^{3}-b\cdot h^{3})$ $I_{z}={\frac {1}{12}}\cdot (B^{3}\cdot H-b^{3}\cdot h)$ -(nur für Profil 7; für Profil 8 und 9 gelten andere Formeln)
8: I-Träger (Doppel-T-Träger)
9: C-Profil

weitere Beispiele aus dem Lexikon der gesamten Technik:

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• 
• 

Beispiel gerechnet: Flächenträgheitsmoment eines Kreises mit Radius R

Skizze

$I_{p}=\int \limits _{A}r^{2}\cdot dA=$
$=\int \limits _{0}^{R}r^{2}\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot dr=$
$=2\cdot \pi \cdot \int \limits _{0}^{R}r^{3}\cdot dr=2\cdot \pi \cdot {\frac {r^{4}}{4}}{\Big |}_{0}^{R}={\frac {\pi }{2}}\cdot R^{4}$

Für den Kreis gilt: $I_{x}=I_{y}$
Allgemein gilt: $I_{p}=I_{x}+I_{y}$
Daher ergibt sich das axiale Flächenträgheitsmoment eines Kreises zu:
$I_{x}=I_{y}={\frac {I_{p}}{2}}={\frac {\pi }{4}}\cdot R^{4}$

Siehe auch

• Satz von Castigliano
• Die FEM-Simulation eignet sich für die Berechnung komplexer Geometrien.

#Kategorie:Technische Mechanik