Benutzer:VonHaarberg/Halbkreis

Der Halbkreis (oder auch Semicircle) beschreibt die eindimensionale Menge an Punkten welche die Hälfte eines Kreises formen. Der Innenwinkel eines Halbkreises misst genau 180° bzw. $\pi$ Radian, somit ist der Halbkreis nur entlang einer Achse symmetrisch. Die Hälfte einer Scheibe wird geläufig auch oft als Halbkreis bezeichnet, ist allerdings eine zweidimensionale Form die zusätzlich den Durchmesser des Kreises und alle eingeschlossenen Punkte beinhaltet. Nach dem Satz des Thales ist jedes Dreieck mit zwei Ecken auf den Endpunkten eines Halbkreises und der dritten Ecke an beliebiger Position auf dem Halbkreis ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel am dritten Eckpunkt. Alle Geraden die einen Halbkreis orthogonal schneiden sind kopunktal.

Nutzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Halbkreis mit armithmetischem und geometrischen Mittel der Längen $a$ und $b$ .

Bei der Konstruktion mit Zirkel und Lineal kann der Halbkreis verwendet werden um das arithmetische und das geometrische Mittel zweier Längen herzuleiten. In einem Halbkreis mit dem Durchmesser $d=a+b$ ergibt sich das arithmetische Mittel von $a$ und $b$ als Radius. Nimmt man wieder $d=a+b$ als Durchmesser und konstruiert eine Orthogonale in dem Punkt an dem sich $a$ und $b$ treffen ergibt sich das geometrische Mittel als die Länge von diesem Punkt bis zum Schnittpunkt mit dem Halbkreis.^[1] Diese Eigenschaft lässt sich mit dem Satz des Pythagoras beweisen und kann außerdem zur Quadratur (Bestimmung der Fläche) eines Rechtecks verwendet werden. Ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ und ein Quadrat mit der Seitenlänge des geometrischen Mittels aus $a$ und $b$ haben den selben Flächeninhalt. Für beliebige Formen (außer dem Kreis) für die sich ein Rechteck gleicher Fläche konstruieren lässt kann so auch deren Flächeninhalt bestimmt werden.

Parametrisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Halbkreis mit Radius $r$ und Mittelpunkt $(x_{0},y_{0})$ , der sich vollständig im positiven $y$ Raum befindet lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben:

y=y_{0}+{\sqrt {r^{2}-(x-x_{0})^{2}}}.

Selber Halbkreis an der $x$ -Achse gespiegelt, also vollständig im negativen $y$ Raum, lässt sich ausdrücken als:

y=y_{0}-{\sqrt {r^{2}-(x-x_{0})^{2}}}.

Verwendung in der Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Arbelos (graue Region)

Geometrische Figuren aus Archimedes' Buch der Lemmata basieren häufig auf Kreis und Halbkreis Konstruktionen: Das Salinon, eine spiegelsymmetrische geometrische Figur besteht aus vier Halbkreisen. Ein Arbelos beschreibt die Region einer Fläche die durch drei Halbkreise eingeschlossen wird, welche alle auf der selben Seite einer geraden Linie liegen und nur an ihren Eckpunkten verbunden sind.