Benutzer:Yuszuv/Sandkasten1

Die kinetische Energie oder auch Bewegungsenergie T ist die Energie, die in der bewegten Masse eines Körpers enthalten ist.

Kinetische Energie in der Klassischen Mechanik

Massepunkt

In der klassischen Mechanik ist die kinetische Energie proportional zur Masse m und zum Quadrat der Geschwindigkeit v des Körpers, wodurch sie insbesondere unabhängig von der Bewegungsrichtung ist. Es gilt

$T={1 \over 2}mv^{2}\equiv {\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}$

Diese Energie muss aufgewendet werden, um den Körper aus dem Ruhezustand auf die Geschwindigkeit v zu beschleunigen. Dieser Zusammenhang kann aus dem zweiten newtonschen Axiom F=m·a und der Definition der mechanischen Arbeit dW=F·ds hergeleitet werden:

$W=\int _{\mathbf {r} (0)}^{\mathbf {r} (t)}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} '\int _{\mathbf {r} (0)}^{\mathbf {r} (t)}m{\ddot {\mathbf {r} }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} '=\int _{0}^{t}m{\ddot {\mathbf {r} }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} t=\int _{0}^{t}m{\ddot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{t}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {r} }}^{2}\right)\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2},\qquad {\dot {\mathbf {r} }}(0)=0$

$=\mathbf {\ddot {\mathbf {r} }} ={d\mathbf {v} \over dt}={d\mathbf {v} \over ds}{ds \over dt}={d\mathbf {v} \over ds}v=v{d\mathbf {v} \over ds}$

$W=\int _{0}^{v}mv'\,dv'={1 \over 2}mv^{2}$

Im Lagrange-Formalismus mit holonomen Zwangsbedingungen ($\mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{1},\cdots ,q_{S},t)$) wird die kinetische Energie durch homogene Polynome $T_{\alpha }$ vom Grad $\alpha$ in den generalisierte Koordinaten ausgedrückt. Für ein System von N Teilchen und S generalisierten Koordinaten $q_{l}$ gilt:

$2T=\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\dot {\mathbf {r_{i}} }}^{2}(q_{1},\cdots ,q_{S},t)=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\sum _{k=1}^{S}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}{\dot {q_{k}}}+{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial t}}\right)\left(\sum _{l=1}^{S}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{l}}}{\dot {q_{l}}}+{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial t}}\right)$

$=\sum _{k,l=1}^{S}\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{l}}}\right){\dot {q_{k}}}{\dot {q_{l}}}+2\sum _{k=1}^{S}\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial t}}\right){\dot {q_{k}}}+\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial t}}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial t}}$

$=:\sum _{k,l=1}^{S}\mu _{kl}{\dot {q_{l}}}{\dot {q_{k}}}+\sum _{k=1}^{S}\nu _{k}{\dot {q_{k}}}+\sum _{k=1}^{S}\xi _{k}=:2(T_{2}+T_{1}+T_{0})$

Der Faktor 2 ist Konvention.

Beim Übergang zum Hamilton-Formalismus in konservativen Systemen ($U=U(q_{1},\cdots ,q_{s},t)$) und skleronomen Zwangsbedingungen ($T_{1}=T_{0}=0$) ergibt sich dann mit $p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}$ und $H=\sum _{i=1}^{S}p_{i}{\dot {q}}_{i}(q,p,t)-L(q,p,t)$:

$H=\sum _{i=1}^{S}{\frac {?}{?}}$.

Verschiedene Koordinatendarstellungen

Für die kinetische Energie eines Massenpunktes gilt in kartesischen Koordinaten:

$T={1 \over 2}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})$

In Polarkoordinaten gilt die Darstellung:

$T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\right)$

In Kugelkoordinaten gilt die Darstellung:

$T={\frac {1}{2}}m\left(r^{2}\left[{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta \right]+{\dot {r}}^{2}\right)$

Starre Körper

Die kinetische Energie eines starren Körpers mit der Gesamtmasse M und der Geschwindigkeit v_s seines Schwerpunktes kann separiert werden als die Summe seiner Translationsenergie und Rotationsenergie:

$T={1 \over 2}M_{s}{v_{s}}^{2}+{1 \over 2}\Theta _{s}\omega ^{2}$ .

Hier ist Θ das Trägheitsmoment des Körpers bezüglich seines Schwerpunktes und ω seine Winkelgeschwindigkeit.

Hydrodynamik

In der Hydrodynamik wird oft statt der kinetischen Energie die kinetische Energiedichte angegeben. Diese wird meist durch ein kleines $e$ oder ε ausgedrückt:

$e_{kin}={1 \over 2}\rho v^{2}$,

wobei ρ die Dichte bezeichnet.

Kinetische Energie in der relativistischen Mechanik

Im Jahre 1905 zeigte Albert Einstein in seiner speziellen Relativitätstheorie, dass die oben angegebene klassische Beziehung für die kinetische Energie nur für Geschwindigkeiten gilt, die sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind. Die allgemeine Formel ist:

$T=(\gamma -1)\cdot mc^{2}$,

wobei $\gamma$ der geschwindigkeitsabhängige Lorentz-Faktor

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}$

relativistische und klassische kinetische Energie im Vergleich

und c die Lichtgeschwindigkeit sind. Im Grenzfall v<<c erhält man aus der Taylor-Entwicklung der Wurzel $\gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}$, sodass sich wieder der klassische Ausdruck ergibt. Da $\lim _{v\to c}T=\infty$, ist es nicht möglich, einen massebehafteten Körper auf Lichtgeschwindigkeit oder gar höher zu beschleunigen.

Das links abgebildete Diagramm zeigt die Graphen der relativistischen (1) sowie der klassischen (2) Beziehung für einen Körper mit der Masse von 1 kg.

Da die Geschwindigkeit eines bewegten Körpers offenbar vom Bezugssystem abhängt, ist nun dessen kinetische Energie ebenfalls vom Bezugssystem abhängig, und zwar sowohl in der klassischen als auch in der relativistischen Theorie. In letzterer Theorie bildet die Summe aus Ruheenergie und kinetischer Energie die Nullkomponente eines Vierervektors.

Kinetische Energie in der Quantenmechanik

In der Quanten-Wellenmechanik ist der Erwartungswert $\langle {\hat {T}}\rangle$ der kinetischen Energie eines Elektrons in einem System aus N Elektronen, welches durch die Wellenfunktion $\vert \psi \rangle$ beschrieben wird, die Summe der Ein-Elektron-Operator Erwartungswerte (in atomaren Einheiten).

$\langle {\hat {T}}\rangle =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}{\bigg \langle }\psi {\bigg \vert }\sum _{i=1}^{N}\nabla _{i}^{2}{\bigg \vert }\psi {\bigg \rangle }$,

wobei $\nabla _{i}^{2}$ der auf das i-te Elektron wirkende Laplace-Operator ist.

Im Formalismus der Dichtefunktionaltheorie ist nur vorausgesetzt, dass die Elektronendichte bekannt ist, d.h. dass die Wellenfunktion formal nicht bekannt sein muss. Mit der Elektronendichte $\rho (\mathbf {r} )$ ist das exakte Funktional der kinetischen Energie für N Elektronen unbekannt; falls jedoch im Fall N=1 ein einzelnes Elektron betrachtet wird, so kann die kinetische Energie als

$T[\rho ]=\int {\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d^{3}r$

geschrieben werden, wobei $T[\rho ]$ das Weizsäcker Funktional der kinetischen Energie ist.

Siehe auch

• Energieerhaltungssatz