Dirichletsche η-Funktion

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Die Dirichletsche -Funktion in der komplexen Zahlenebene.

In der analytischen Zahlentheorie ist die Dirichletsche η-Funktion eine spezielle Funktion, die nach dem deutschen Mathematiker Dirichlet (1805–1859) benannt ist. Sie ist verwandt mit der Riemannschen -Funktion.

Sie wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben eta () notiert; die Dedekindsche η-Funktion, eine Modulform, wird ebenfalls so bezeichnet.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Dirichletsche -Funktion ist für alle komplexen mit Realteil größer als 0 definiert über die Dirichletreihe:

Obwohl die Gültigkeit dieses Ausdrucks auf komplexe Zahlen mit positivem Realteil beschränkt ist, bildet er die Ausgangsbasis für alle Darstellungen der -Funktion. Sie kann auf die ganze komplexe Zahlenebene analytisch fortgesetzt werden, was eine Berechnung der -Funktion für alle beliebigen gewährleistet.

Euler-Produkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ihre zahlentheoretische Bedeutung erhält die -Funktion durch ihre Verbindung zu den Primzahlen, die sich für formelhaft durch das Euler-Produkt

ausdrücken lässt.

Funktionalgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In ganz gilt die Identität:

Verbindung zur Riemannschen ζ-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktionalgleichung zwischen Dirichletscher und Riemannscher -Funktion lässt sich aus den Dirichletreihendarstellungen beider Funktionen gewinnen. Der -Ausdruck wird durch Addition weiterer Dirichletreihen transformiert zu:

Wir folgern den Zusammenhang:

der in ganz Gültigkeit behält.

Weitere Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Integraldarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Integraldarstellung für alle enthält die Gammafunktion und lautet:

Gültig für alle ist:

Reihendarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine in ganz konvergente Reihe ergibt sich mit Hilfe der eulerschen Reihentransformation:

Produktdarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für alle konvergiert das Hadamard-Produkt[1], benannt nach seinem Entdecker Jacques Hadamard:

Es erstreckt sich über alle nicht-trivialen Nullstellen der -Funktion und leitet sich einfach aus dem Hadamard-Produkt der Zeta-Funktion ab.

Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt:

Für natürliche gilt mit den Bernoulli-Zahlen

Für gerade Argumente gilt die allgemeine Formel:

Somit lässt sich der Zahlenwert von stets in der Form

schreiben, wobei und zwei positive ganze Zahlen bezeichnen.

2n pn qn
2 1 12 0,82246703342411321823...
4 7 720 0,94703282949724591757...
6 31 30240 0,98555109129743510409 ...
8 127 1209600 0,99623300185264789922 ...
10 73 6842880 0,99903950759827156563 ...
12 1414477 1307674368000 0,99975768514385819085 ...
14 8191 74724249600 0,99993917034597971817 ...
16 16931177 1524374691840000 0,99998476421490610644 ...
18 5749691557 5109094217170944000 0,99999618786961011347 ...
20 91546277357 802857662698291200000 0,99999904661158152211 ...

Die ersten Werte für ungerade Argumente sind

(die alternierende harmonische Reihe)

Nullstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Relation

ist leicht zu folgern, dass sowohl für alle bei , als auch zusätzlich an denselben Stellen wie verschwindet. Dazu gehören sowohl die sogenannten „trivialen“ Nullstellen bei , also

als auch die „nicht-trivialen“ Nullstellen im Streifen .

Die berühmte und bis heute unbewiesene Riemannsche Vermutung besagt, dass alle nicht-trivialen Nullstellen den Realteil 1/2 besitzen.

Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ableitung der -Funktion ist für wieder eine Dirichletreihe.

Ein geschlossener Ausdruck kann über

und unter Anwendung der Produktregel gewonnen werden.

Weiteres[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Verwandtschaften von zu der Dirichletschen -Funktion[2] und der riemannschen -Funktion werden durch folgende Formel zum Ausdruck gebracht:[3]

bzw.

Die Dirichletsche eta-Funktion ist ein Spezialfall des Polylogarithmus, denn es gilt:

Damit ist sie auch ein Spezialfall der Lerchschen Zeta-Funktion:

Außerdem gilt

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. André Voros: More Zeta Functions for the Riemann Zeros (PDF; 182 kB), CEA, Service de Physique Théorique de Saclay (CNRS URA 2306), Seite 6.
  2. Eric W. Weisstein: Dirichlet Lambda Function. In: MathWorld (englisch).
  3. J. Spanier, K. B. Oldham: The Zeta Numbers and Related Functions. In: An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, S. 25–33, 1987.