Elementzeichen

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Das Elementzeichen (∈) ist ein mathematisches Zeichen, mit dem angegeben wird, dass ein Objekt ein Element einer Menge ist. Es geht auf Giuseppe Peano zurück und entstand durch Stilisierung aus dem griechischen Kleinbuchstaben Epsilon. Für das Elementzeichen existieren eine Reihe von Abwandlungen; häufig wird es in durchgestrichener Form (∉) oder umgedrehter Form (∋) verwendet.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begründer der Mengenlehre Georg Cantor verwendete noch keine Abkürzung für den Ausdruck a ist ein Element von b. Das Elementzeichen geht auf den italienischen Mathematiker Giuseppe Peano zurück, der es in Form eines griechischen Kleinbuchstabens ϵ (Epsilon) erstmals 1889 in einer in lateinischer Sprache geschriebenen Arbeit zu den Peano-Axiomen einsetzte:[1]

„Signum ϵ significat est. Ita a ϵ b legitur a est quoddam b

„Das Zeichen ϵ bedeutet ist. Also wird a ϵ b als a ist ein b gelesen“

Giuseppe Peano: Arithmetices principia nova methodo exposita, 1889, S. X[2]

Das Epsilon ϵ, das Peano ab 1890 in der Form ε schrieb, ist die Initiale des griechischen Worts ἐστί (esti) mit der Bedeutung ist.[3] In der Form ε und der heute gängigen Verbalisierung ist ein Element von wurde das Elementzeichen 1907 von Ernst Zermelo in seiner Arbeit zur Zermelo-Mengenlehre verwendet.[4] In der ursprünglichen Form ϵ verbreitete sich das Elementzeichen ab 1910 über die Principia Mathematica von Bertrand Russell und Alfred North Whitehead weiter.[5] Im Laufe der Zeit wurde es dann zu ∈ stilisiert.[1]

Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Objekt Element einer Menge , so notiert man diesen Sachverhalt durch

und spricht „x ist Element von M“.

Gelegentlich ist es sinnvoll, die Reihenfolge umzudrehen, und man notiert dann

und spricht „M enthält als Element x“.

Ist kein Element der Menge , so schreibt man entsprechend

  bzw.   .

Formal steht das Elementzeichen für eine Relation, die sogenannte Elementrelation.

Kodierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Elementzeichen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Elementzeichen wird in Computersystemen folgendermaßen kodiert.

Kodierung in Unicode, HTML und LaTeX
Zeichen Unicode Bezeichnung HTML LaTeX
Position Bezeichnung hexadezimal dezimal benannt
U+2208 element of Element von &#x2208; &#8712; &isin; \in
U+2209 not an element of kein Element von &#x2209; &#8713; &notin; \notin
U+220A small element of kleines Element von &#x220A; &#8714;
U+220B contains as member enthält als Element &#x220B; &#8715; &ni; \ni
U+220C does not contain as member enthält nicht als Element &#x220C; &#8716; \not\ni
U+220D small contains as member kleines enthält als Element &#x220D; &#8717;
U+27D2 element of opening upwards Element von nach oben geöffnet &#x27D2; &#10194;
U+2AD9 element of opening downwards Element von nach unten geöffnet &#x2AD9; &#10969;

Epsilon[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gelegentlich wird auch der griechische Kleinbuchstabe Epsilon als Elementzeichen verwendet.

Kodierung in Unicode, HTML und LaTeX
Zeichen Unicode Bezeichnung HTML LaTeX
Position Bezeichnung hexadezimal dezimal benannt
ε U+03B5 Greek small letter epsilon griechischer Kleinbuchstabe epsilon &#x03B5; &#949; &epsilon; \varepsilon
ϵ U+03F5 Greek lunate epsilon symbol griechisches halbmondförmiges Epsilon-Symbol &#x03F5; &#1013; \epsilon
϶ U+03F6 Greek reversed lunate epsilon symbol griechisches umgedrehtes halbmondförmiges Epsilon-Symbol &#x03F6; &#1014;

Abwandlungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zudem existieren folgende Abwandlungen des Elementzeichens.

Kodierung in Unicode und HTML
Zeichen Unicode Bezeichnung HTML
Position Bezeichnung hexadezimal dezimal
U+22F2 element of with long horizontal stroke Element von mit langem horizontalen Strich &#x22F2; &#8946;
U+22F3 element of with vertical bar at end of horizontal stroke Element von mit vertikalem Balken am Ende des horizontalen Strichs &#x22F3; &#8947;
U+22F4 small element of with vertical bar at end of horizontal stroke kleines Element von mit vertikalem Balken am Ende des horizontalen Strichs &#x22F4; &#8948;
U+22F5 element of with dot above Element von mit Punkt darüber &#x22F5; &#8949;
U+22F6 element of with overbar Element von mit Überstrich &#x22F6; &#8950;
U+22F7 small element of with overbar kleines Element von mit Überstrich &#x22F7; &#8951;
U+22F8 element of with underbar Element von mit Unterstrich &#x22F8; &#8952;
U+22F9 element of with two horizontal strokes Element von mit zwei horizontalen Strichen &#x22F9; &#8953;
U+22FA contains with long horizontal stroke enthält mit langem horizontalen Strich &#x22FA; &#8954;
U+22FB contains with vertical bar at end of horizontal stroke enthält mit vertikalem Balken am Ende des horizontalen Strichs &#x22FB; &#8955;
U+22FC small contains with vertical bar at end of horizontal stroke kleines enthält mit vertikalem Balken am Ende des horizontalen Strichs &#x22FC; &#8956;
U+22FD contains with overbar enthält mit Überstrich &#x22FD; &#8957;
U+22FE small contains with overbar kleines enthält mit Überstrich &#x22FE; &#8958;

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2009, S. 21.
  2. Siehe https://archive.org/details/arithmeticespri00peangoog für einen Link auf die Originalarbeit. Datei:First usage of the symbol ∈.png enthält ein Bild auf die entsprechende Textstelle.
  3. Giuseppe Peano: Démonstration de l‘intégrabilité des équations différentielles ordinaires. In: Mathematische Annalen. Band 37, 1890, S. 183.
  4. Ernst Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. In: Mathematische Annalen. Band 65, 1908, S. 262.
  5. Bertrand Russell, Alfred North Whitehead: Principia Mathematica. Volume 1. Cambridge University Press, 1910, S. 26.