Elliptische partielle Differentialgleichung

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Elliptische partielle Differentialgleichungen sind eine spezielle Klasse partieller Differentialgleichungen (PDG). Sie werden mit Hilfe von elliptischen Differentialoperatoren formuliert. Die Lösungen einer elliptischen partiellen Differentialgleichung haben bestimmte Eigenschaften, welche hier näher erläutert werden. Der Laplace-Operator ist der wohl bekannteste elliptische Differentialoperator, und die Poisson-Gleichung ist die dazugehörige partielle Differentialgleichung.

Physikalische Interpretation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die elliptische Differentialgleichung ist eine Verallgemeinerung der Laplace-Gleichung und der Poisson-Gleichung. Eine elliptische Differentialgleichung zweiter Ordnung hat die Form

,

worin die Koeffizientenfunktionen , und geeigneten Bedingungen genügen müssen.

Solche Differentialgleichungen treten typischerweise im Zusammenhang mit stationären (zeitunabhängigen) Problemen auf. Sie beschreiben oftmals einen Zustand minimaler Energie. Die erwähnten Laplace- und Poisson-Gleichungen beschreiben etwa die Temperaturverteilung in einem Körper oder auch die elektrostatische Ladungsverteilung in einem Körper. Andere elliptische Differentialgleichungen werden zum Beispiel zur Untersuchung der Konzentration von bestimmten chemischen Stoffen verwendet. Die Terme der Ordnung zwei beschreiben dabei die Diffusion. Die Terme erster Ordnung beschreiben den Transport, und der Term der Ordnung null beschreibt die lokale Ab- und Zunahme.

Nicht-lineare elliptische Differentialgleichungen treten außerdem in der Variationsrechnung und der Differentialgeometrie auf.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Elliptischer Differentialoperator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Differentialoperator , notiert in Multiindexschreibweise, der Ordnung auf einem Gebiet heißt im Punkt elliptisch, falls

für alle erfüllt ist. Man nennt das Hauptsymbol von . Ein Differentialoperator heißt elliptisch, falls er für alle elliptisch ist.

Elliptische Differentialgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein elliptischer Differentialoperator und eine Funktion, dann heißt die Gleichung

elliptische Differentialgleichung und ist die gesuchte Funktion in dieser Differentialgleichung.

Gleichmäßig elliptischer Differentialoperator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Differentialoperator heißt gleichmäßig elliptisch in , wenn es ein gibt, so dass

für alle gilt.

Hypo–elliptischer Differentialoperator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Operator mit konstanten Koeffizienten heißt hypo-elliptisch, wenn es ein gibt, so dass für alle mit und alle gilt:

  • und
  • .

Allgemeiner heißt ein Differentialoperator auf einer offenen Menge mit nicht notwendigerweise konstanten Koeffizienten hypo-elliptisch, falls für jede Menge offen, beschränkt und jede Distribution die Implikation

gilt. In Worten: Ist das Bild im Distributionensinne des Differentialoperators unendlich oft differenzierbar, so gilt dies bereits für die Urbilder.

Im Gegensatz zum gleichmäßig elliptischen Differentialoperator ist der hypo-elliptische Differentialoperator eine Verallgemeinerung des elliptischen Differentialoperators. Diese Forderung an den Differentialoperator ist also schwächer. Siehe hierzu die Regularitätstheorie elliptischer Operatoren weiter unten.

Namensherkunft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Adjektiv elliptisch in der Bezeichnung elliptische partielle Differentialgleichung stammt aus der Theorie der Kegelschnitte. In dieser Theorie wird im Fall die Lösungsmenge, der Gleichung

Ellipse genannt. Betrachtet man nun die homogene Differentialgleichung

zweiter Ordnung in zwei Dimensionen mit konstanten Koeffizienten, so ist diese genau dann gleichmäßig elliptisch, wenn gilt.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Das wohl wichtigste Beispiel eines gleichmäßig elliptischen Differentialoperators ist der Laplace-Operator
dessen Hauptsymbol ist. Funktionen, welche die Laplace-Gleichung erfüllen, heißen harmonisch und haben einige besondere Eigenschaften, so zum Beispiel, dass sie beliebig oft differenzierbar sind. Man hat nun die Hoffnung, dass sich diese Eigenschaften auf „ähnliche“ Differentialoperatoren übertragen lassen.
ist gleichmäßig elliptisch, denn sein Hauptsymbol lautet .

Theorie elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden werden die wichtigsten Aussagen für elliptische Differentialoperatoren der Ordnung zwei in n Dimensionen aufgezeigt. Sei deshalb

ein elliptischer Differentialoperator der Ordnung zwei. Außerdem sei eine offene, zusammenhängende, beschränkte Teilmenge mit Lipschitz-regulärem Rand.

Existenzaussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien die Koeffizientenfunktionen allesamt messbare und beschränkte Funktionen. Dann existiert für jedes eine eindeutige schwache Lösung des Dirichlet-Randwertproblems

falls die zum Differentialoperator assoziierte Bilinearform koerziv ist. Hierbei ist definiert vermöge

.

Mit dem Lemma von Lax-Milgram folgert man die Existenz und die Eindeutigkeit der Lösung aus der Bilinearform . Ist gleichmäßig elliptisch, so ist die assoziierte Bilinearform immer koerziv. Verwendet man statt einer Dirichlet-Randbedingung eine Neumann-Randbedingung, so existiert, falls die assoziierte Bilinearform wieder koerziv ist, genau eine Lösung der partiellen Differentialgleichung, was sich fast genauso beweisen lässt.

Regularität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien für alle , und sei außerdem und eine schwache Lösung der elliptischen Differentialgleichung

.

Dann gilt .

Maximumprinzip[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für elliptische Differentialoperatoren zweiter Ordnung gilt ein Maximumsprinzip. Sei in und sei .

1. Falls

gilt und ein nichtnegatives Maximum in einem inneren Punkt von annimmt, dann ist konstant.

2. Falls

gilt und ein nichtpositives Minimum in einem inneren Punkt von annimmt, dann ist konstant.

Eigenwertprobleme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man betrachte das Randwertproblem

wobei ein Eigenwert des Differentialoperators ist. Außerdem sei symmetrischer Differentialoperator.

1. Dann sind alle Eigenwerte reell.

2. Außerdem haben alle Eigenwerte dasselbe Vorzeichen und haben nur endliche Vielfachheit.

3. Schlussendlich existiert eine Orthonormalbasis von mit als Eigenfunktion zum Eigenwert .

Theorie der elliptischen Pseudodifferentialoperatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Pseudodifferentialoperator heißt elliptisch, falls sein Symbol eigentlich getragen und das homogene Hauptsymbol gleichmäßig elliptisch ist - oder äquivalent dazu, falls in einer konischen Umgebung von für das echte Symbol die Ungleichung für eine Konstante für und gilt.[1]

Invertierbarkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein elliptischer Pseudodifferentialoperator und , dann existiert ein eigentlich getragener Pseudodifferentialoperator , so dass

gilt. Dabei ist der Identitätsoperator, und ist ein Operator, welcher jede Distribution auf eine glatte Funktion abbildet. Diesen Operator nennt man Parametrix. Der Operator kann also modulo invertiert werden. Diese Eigenschaft macht den elliptischen Pseudodifferentialoperator und damit als Spezialfall den elliptischen Differentialoperator zu einem Fredholm-Operator.

Singulärer Träger[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei wieder ein elliptischer Pseudodifferentialoperator und . Dann gilt für jede Distribution

Der singuläre Träger einer Distribution verändert sich also nicht.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Gerhard Dziuk: Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen. de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-014843-5, Seite 151-181.
  • Lawrence Craig Evans: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence 2002, ISBN 0-8218-0772-2.
  • Alain Grigis & Johannes Sjöstrand - Microlocal Analysis for Differential Operators, Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-44986-3.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Alain Grigis, Johannes Sjöstrand - Microlocal Analysis for Differential Operators. Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-44986-3, S. 41.