Frobenius-Skalarprodukt

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Das Frobenius-Skalarprodukt ist in der linearen Algebra ein Skalarprodukt auf dem Vektorraum der reellen oder komplexen Matrizen. Es berechnet sich durch komponentenweise Multiplikation der Einträge zweier Matrizen und nachfolgende Summation über all diese Produkte. Im komplexen Fall wird dabei immer ein Element komplex konjugiert. Das Frobenius-Skalarprodukt kann auch als Spur des Matrizenprodukts der beiden Matrizen berechnet werden, wobei eine der Matrizen transponiert beziehungsweise adjungiert wird.

Mit dem Frobenius-Skalarprodukt wird der Matrizenraum zu einem Skalarproduktraum. Die von dem Frobenius-Skalarprodukt abgeleitete Norm heißt Frobeniusnorm. Eine Verallgemeinerung des Frobenius-Skalarprodukts auf unendlichdimensionale Vektorräume ist das Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt. Das Frobenius-Skalarprodukt wird unter anderem in der Kontinuumsmechanik bei der tensoriellen Beschreibung der Deformation von Vektorfeldern verwendet. Es ist nach dem deutschen Mathematiker Ferdinand Georg Frobenius benannt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Frobenius-Skalarprodukt zweier, nicht notwendigerweise quadratischer, reeller Matrizen und ist definiert als[1]

.

Das Frobenius-Skalarprodukt entsteht also durch komponentenweise Multiplikation der Einträge der beiden Ausgangsmatrizen und nachfolgende Summation über all diese Produkte.

Entsprechend dazu ist das Frobenius-Skalarprodukt zweier komplexer Matrizen und durch

definiert, wobei der Überstrich die Konjugierte einer komplexen Zahl darstellt. Als alternative Definition kann auch jeweils die zweite statt der ersten Komponente komplex konjugiert werden.

In der Physik wird das Frobenius-Skalarprodukt zweier Matrizen und auch durch notiert.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Frobenius-Skalarprodukt der beiden reellen (2 × 2)-Matrizen

  und  

ist gegeben durch

.

Das Frobenius-Skalarprodukt der beiden komplexen (2 × 2)-Matrizen

  und  

ist entsprechend dazu

.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Skalarprodukt-Axiome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Axiome eines komplexen Skalarprodukts werden für die erste Variante aufgeführt, für die zweite Variante gelten sie analog durch Verschieben der Konjugation. Aus dem komplexen Fall erhält man den reellen Fall durch Weglassen der Konjugation. Das komplexe Frobenius-Skalarprodukt ist sesquilinear, das heißt semilinear im ersten Argument, das heißt

  und  

sowie linear im zweiten Argument, also

  und  

Weiter ist es hermitesch, das heißt

,

und positiv definit, also

  und   .

Diese Eigenschaften folgen direkt aus den Kommutativ- und Distributivgesetzen der Addition und Multiplikation, sowie der positiven Definitheit der komplexen Betragsfunktion . In der zweiten komplexen Variante ist das Frobenius-Skalarprodukt linear im ersten und semilinear im zweiten Argument. Im Spezialfall zweier einzeiliger oder einspaltiger Matrizen entspricht das Frobenius-Skalarprodukt dem Standardskalarprodukt der beiden Zeilen- oder Spaltenvektoren. Mit dem Frobenius-Skalarprodukt wird der Matrizenraum zu einem Skalarproduktraum, sogar zu einem Hilbertraum.

Darstellung als Spur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das reelle Frobenius-Skalarprodukt hat die folgende Darstellung als Spur

,

wobei die transponierte Matrix von ist. Entsprechend dazu hat das komplexe Frobenius-Skalarprodukt die Darstellung

,

wobei die adjungierte Matrix von ist.

Verschiebungseigenschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das reelle Frobenius-Skalarprodukt besitzt folgende Verschiebungseigenschaft für alle und :

.

Entsprechend gilt für das komplexe Frobenius-Skalarprodukt für alle und

.

Beide Eigenschaften folgen aus der zyklischen Vertauschbarkeit von Matrizen unter der Spur.

Invarianzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aufgrund der Spurdarstellung und der Verschiebungseigenschaft gilt für das reelle Frobenius-Skalarprodukt zweier Matrizen

.

Für das komplexe Frobenius-Skalarprodukt zweier Matrizen gilt entsprechend

.

Induzierte Norm[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die von dem Frobenius-Skalarprodukt abgeleitete Norm ist die Frobeniusnorm

.

Die Frobeniusnorm ist damit insbesondere invariant unter unitären Transformationen und es gilt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

.

Daraus folgt dann die Abschätzung

,

wobei im Fall reeller Matrizen die Adjungierte durch die Transponierte ersetzt wird.

Abschätzung über die Singulärwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind die Singulärwerte von und diejenigen von mit , dann gilt für das Frobenius-Skalarprodukt die Abschätzung

,

Diese Abschätzung stellt eine Verschärfung der obigen Cauchy-Schwarz-Ungleichung dar.[2]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2012, ISBN 0-521-46713-6.
  • Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-46713-6.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Horn, Johnson: Matrix Analysis. S. 321.
  2. Horn, Johnson: Topics in Matrix Analysis. S. 186.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]