Helmholtz-Theorem

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Das Helmholtz-Theorem, auch Helmholtz-Zerlegung, Stokes-Helmholtz-Zerlegung[1] oder Fundamentalsatz der Vektoranalysis, (nach Hermann von Helmholtz) besagt, dass für gewisse Gebiete der -Raum als direkte Summe von divergenzfreien Funktionen und Gradientenfeldern geschrieben werden kann.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ein Gebiet wird der Raum der divergenzfreien Funktionen genannt, wobei der Raum der Testfunktionen ist und die -Norm bezeichnet. Die Zerlegung

mit wird Helmholtz-Zerlegung genannt, insofern die Zerlegung existiert. In diesem Fall gibt es eine Projektion mit , die sog. Helmholtz-Projektion.

Ist der Halbraum, ein beschränktes Gebiet mit -Rand oder ein Außenraum mit -Rand, so existiert die Zerlegung. Für existiert die Zerlegung für beliebige Gebiete mit -Rand.[2]

Hat einen -Rand, gilt , wobei die äußere Normale ist.

Mathematische Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Lösbarkeitstheorie der Navier-Stokes-Gleichungen spielt die Helmholtz-Projektion eine wichtige Rolle. Wird die Helmholtz-Projektion auf die linearisierte inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen angewandt, erhält man die Stokes-Gleichung

für . Gab es zuvor zwei Unbekannte, nämlich und , gibt es jetzt nur noch eine Unbekannte. Beide Gleichungen, die Stokes- und die linearisierte Gleichung, sind jedoch äquivalent.

Der Operator wird Stokes-Operator genannt.

Physikalische Betrachtung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Helmholtz-Theorem besagt, dass es möglich ist, ein (fast) beliebiges Vektorfeld als Superposition eines rotationsfreien (wirbelfreien) Feldes und eines divergenzfreien (quellenfreien) Feldes darzustellen. Ein rotationsfreies Feld lässt sich jedoch wiederum durch ein skalares Potential darstellen, ein divergenzfreies Feld durch ein Vektorpotential .

und

dann folgt

und

Es ist also möglich das Vektorfeld durch Superposition (Addition) zweier unterschiedlicher Potentiale und auszudrücken (das Helmholtz-Theorem).

Die beiden einander ergänzenden Potentiale lassen sich durch die folgenden Integrale aus dem Feld gewinnen:

Wobei das die Felder enthaltende Volumen ist.

Die mathematische Voraussetzung für die Anwendung des Helmholtzschen Theorems ist neben der Differenzierbarkeit des Vektorfelds dass es für schneller als gegen geht, also . Ansonsten divergieren die obigen Integrale, lassen sich also nicht mehr berechnen.

Dieses Theorem ist besonders in der Elektrodynamik von Interesse, da sich mit seiner Hilfe die Maxwell-Gleichungen im Potentialbild schreiben und einfacher lösen lassen. Für alle physikalisch relevanten Probleme sind dabei die mathematischen Voraussetzungen erfüllt.

Redundanz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Während das ursprüngliche Vektorfeld an jedem Punkt von durch Komponenten zu beschreiben ist, sind für das skalare und das Vektorpotential zusammen Komponenten nötig. Diese Redundanz lässt sich für beseitigen, indem der quellfreie Anteil des Vektorfeldes der toroidal-poloidalen Zerlegung unterworfen wird, wodurch letztlich insgesamt drei Skalarpotentiale zur Beschreibung ausreichen.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Tribikram Kundu: Ultrasonic and Electromagnetic NDE for Structure and Material Characterization. CRC Press, 2012, ISBN 1-4398-3663-9, S. 37 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. G. P. Galdi, An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations. Vol. I, Springer Tracts in Natural Philosophy, vol. 38, Springer-Verlag, New York, 1994, ISBN 0-387-94172-X