Hochschild-Homologie und Kohomologie

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Die Hochschild-Homologie und Kohomologie, benannt nach Gerhard Hochschild, ist eine mathematische Theorie, die speziell auf die Untersuchung von Algebren zugeschnitten ist. Es handelt sich um eine Homologie- bzw. Kohomologie-Theorie, die sich aus Kettenkomplexen bzw. Kokettenkomplexen ergibt, die eng mit der Algebrenstruktur zusammenhängen.

Konstruktion der Homologiegruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir betrachten im Folgenden eine assoziative Algebra mit Einselement über einem Körper , kurz eine K-Algebra. Ferner sei ein -Bimodul gegeben, das heißt die Modulelemente können von links und rechts mit Elementen aus der Algebra multipliziert werden, so dass die zugehörigen Links- und Rechtmodulstrukturen verträglich sind, was für alle und bedeutet. Bezeichnet man mit das -fache Tensorprodukt von mit sich selbst, wobei , so lassen sich folgende Abbildungen definieren:

wobei sich die zu K-linearen Abbildungen fortsetzen. Weiter sei , das heißt

und so weiter. Dann gilt für alle , das heißt man erhält einen Kettenkomplex

.

Die Hochschild-Homologie von mit Werten in ist als Homologie dieses Kettenkomplexes definiert, das heißt die -te Hochschild-Homologiegruppe von mit Werten in ist die Faktorgruppe

,

wobei gesetzt wurde. Da die obigen Definitionen der von der Algebren- und Bimodulstruktur Gebrauch machen, können die Hochschild-Homologiegruppen Informationen über die Algebra enthalten.

Konstruktion der Kohomologiegruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hochschild-Kohomologiegruppen erhält man durch eine analoge Konstruktion aus Räumen von -linearen Homomorphismen , wobei wieder die betrachtete -Algebra und ein -Bimodul seien. Für erhält man .

Wir definieren wieder Abbildungen

.

Ist , so müssen wir festlegen, wie auf wirkt und dabei ein Element aus ergibt, und das geht so

Man setzt, diesmal mit einem oberen Index:

,

das heißt

und so weiter. Dann gilt für alle . Man erhält also einen Kokettenkomplex

.

Die Hochschild-Kohomologie von mit Werten in ist als Kohomologie dieses Kokettenkomplexes definiert, das heißt die -te Hochschild-Kohomologiegruppe von mit Werten in ist die Faktorgruppe

,

wobei der Nullmorphismus ist.

Auch hier geht die Algebrenstruktur von in die Definitionen ein, so dass die Hochschild-Kohomologiegruppen Informationen über die Algebra enthalten.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In den folgenden Beispielen, die in den Hochschild-Homomlogie- und Kohomologiegruppen steckende Informationen belegen sollen, seien wieder eine assoziative -Algebra mit Einselement und ein -Bimodul. Die 0-te Hochschild-Homologie und Kohomologiegruppen lassen sich leicht bestimmen:

,

wobei , der Kommutator aus und , das Erzeugnis aus allen ist.

Weiter ist

.

ist auf natürliche Weise ein -Bimodul, wobei die Verträglichkeitsbedingung genau durch das Assoziativgesetz gegeben ist. Als Spezialfall erhält man daher

und ,

wobei das Zentrum von ist.

Eine -Derivation auf mit Werten in ist eine -lineare Abbildung mit der zusätzlichen Eigenschaft , die an die Produktregel für das Ableiten erinnert. Mit sei die Menge aller Derivationen bezeichnet. Für jedes ist durch eine solche Derivation gegeben. Derartige Derivationen nennt man innere Derivationen, bezeichne die Menge aller inneren Derivationen. Eine Inspektion der oben für und angegebenen Formeln zeigt

,

und daher

.

Die erste Hochschild-Kohomologiegruppe gibt also Auskunft über die Reichhaltigkeit der Derivationen, ihr Verschwinden bedeutet, dass alle Derivationen inner sind.

Multilineare Abbildungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hochschild-Kohomologiegruppen können alternativ mittels der Räume der multilinearen Abbildungen eingeführt werden. Man setzt für und :

und man kommt zu einem entsprechenden Kokettenkomplex

,

mit dem man wieder Kohomologiegruppen definieren kann. Man erhält zu den oben definierten isomorphe Gruppen, da sich multilineare Abbildungen und lineare Abbildungen nach Konstruktion des Tensorproduktes 1 zu 1 entsprechen.

Topologische Algebren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die oben vorgestellten Konzepte lassen sich auch für topologische Algebren, insbesondere Banachalgebren, ausführen, wobei man bei der Tensorproduktbildung im Falle von Banachalgebren das projektive Tensorprodukt verwendet und sich bei allen auftretenden Abbildungen auf stetige Abbildungen beschränkt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Henri Cartan, Samuel Eilenberg: Homological Algebra, Princeton University Press (1999), ISBN 978-0-691-04991-5, insbesondere Kapitel X
  • A. Y. Helemskii: The Homology of Banach and Topological Algebras. Kluwer Academic Publishers (1989), ISBN 0-7923-0217-6.
  • G. Hochschild: On the Cohomology Groups of an Associative Algebra, Annals of Mathematics Band 46 (1945), Seiten 58-76