Die Lerchsche Zeta-Funktion (nach Mathias Lerch) ist eine sehr allgemeine Zeta-Funktion. Sehr viele Reihen reziproker Potenzen (einschließlich der hurwitzschen Zeta-Funktion und des Polylogarithmus) können als Spezialfall dieser Funktion dargestellt werden.
Die komplexe Lerchsche Zetafunktion hat diese Definition:
![{\displaystyle L(\lambda ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\exp(2\,\pi \,i\,\lambda \,n)}{(n+\alpha )^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ce23259c79c293e78218c4beb5f9fd117683f2)
Und die sogenannte Lerchsche Transzendente ist so definiert:
![{\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ce334a553e1d950a0235b2aa2290236bbdf3ed4)
Beide Funktionen werden als Lerchsche Zeta-Funktionen bezeichnet.
Die Verwandtschaft der beiden ist durch folgende Formel gegeben:
![{\displaystyle \,\Phi (\exp(2\,\pi \,\,i\,\lambda ),s,\alpha )=L(\lambda ,s,\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31c2a685c16e4344389c8846dc94b4da20d851c1)
![{\displaystyle \,\zeta (s,n)=L(0,s,n)=\Phi (1,s,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02eec76cd6562c88bd529f497c6b11847485a3c8)
![{\displaystyle \,{\textrm {Li}}_{s}(z)=z\,\Phi (z,s,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d4d072337cba1aea66389b7078d975a1215a5e)
![{\displaystyle \,\chi _{n}(z)=2^{-n}\,z\,\Phi (z^{2},n,{\tfrac {1}{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ebcecbf0b67351d59d976f55971b5c432587b03)
![{\displaystyle \,\zeta (s)=\Phi (1,s,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec7bf617e150b9733cb68d8db1641b34e7430ae)
![{\displaystyle \,\eta (s)=\Phi (-1,s,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52490a89d2d35e5eda7d413c61fc9a8db626f359)
![{\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\,\Phi (-1,s,{\tfrac {1}{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6702f88fedecf2e84c0ad4d781eba0ea75e556c1)
Außerdem gelten folgende Spezialfälle (Auswahl):[1]
![{\displaystyle \Phi (z,s,1)={\frac {\mathrm {Li} _{s}(z)}{z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c137b82dfac8ffe2d821461b418de2dce6d9032)
![{\displaystyle \Phi (z,0,a)={\frac {1}{1-z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ac2389c0c3e19ce72df9629adbc6a16e2c494e0)
![{\displaystyle \Phi (0,s,a)=\left(a^{2}\right)^{-{\frac {s}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac5658adb6e7ab8c9a6d0f04972b50e2669486e3)
![{\displaystyle \Phi (0,s,a)=a^{-s}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1626de5c322f1f037c82d696921c379aff874d58)
![{\displaystyle \Phi (z,1,1)=-{\frac {\log(1-z)}{z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3628ca0b692ea82c07479667b3c8a6c5834f4db1)
![{\displaystyle \Phi (1,s,{\tfrac {1}{2}})=(2^{s}-1)\zeta (s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73826f7f7b75d5ced9628042bd7956ef659cbc6)
![{\displaystyle \Phi (-1,s,1)=(1-2^{1-s})\zeta (s)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e32ba89a7bfb7f32f992a6e47572ef0fd8c0632)
![{\displaystyle \Phi (0,1,a)={\frac {1}{\sqrt {a^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4092e6d8070c3971d0d1ad516ccd85e91d1be54d)
Ferner ist
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Phi (-1,2,{\tfrac {1}{2}})&=&\;4\,G\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-1,1)&=&\;\log \left({\frac {A^{3}}{{\sqrt[{3}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{\mathrm {e} }}}}\right)\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-2,1)&=&\;{\frac {7\,\zeta (3)}{4\,\pi ^{2}}}\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-1,{\tfrac {1}{2}})&=&\;{\frac {G}{\pi }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/604103b7e47a2180ac4304d0b2d034077e64001f)
mit der catalanschen Konstanten
, der Glaisher-Kinkelin-Konstanten
und der Apéry-Konstanten
der Riemannschen Zeta-Funktion.
Eine mögliche Integraldarstellung lautet
für ![{\displaystyle {\begin{cases}&\mathrm {Re} \;a>0{\text{ und }}\mathrm {Re} \;s>0{\text{ und }}z<1\\{\text{oder }}&\mathrm {Re} \;a>0{\text{ und }}\mathrm {Re} \;s>1{\text{ und }}z=1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2545db257a68446acf75fc7387dcf00643e95f34)
Das Kurvenintegral
![{\displaystyle \Phi (z,s,a)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\,\pi \,i}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {(-t)^{s-1}\mathrm {e} ^{-a\,t}}{1-z\,\mathrm {e} ^{-t}}}\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/146c75ac94912207dfeed110a9207b070f52cc78)
mit
darf die Punkte
nicht enthalten.
Ferner ist
![{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2\,a^{s}}}+\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {z^{t}}{(a+t)^{s}}}\,\mathrm {d} t+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t-a\,t\log z)}{(1+t^{2})^{s/2}\cdot (\mathrm {e} ^{2\,\pi \,a\,t}-1)}}\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c2a3176ebe513624adf0113539f439d153991cc)
für
und
.
Ebenso ist
![{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2\,a^{s}}}+{\frac {\log ^{s-1}{\dfrac {1}{z}}}{z^{a}}}\,\Gamma (1-s,a\log {\dfrac {1}{z}})+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t-a\,t\log z)}{(1+t^{2})^{s/2}\cdot (\mathrm {e} ^{2\,\pi \,a\,t}-1)}}\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cea76e6c6e67246d797efdb141219a07119d6f7d)
für
.
Eine Reihendarstellung für die Lerchsche Zeta-Funktion ist
![{\displaystyle \Phi (z,s,q)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {-z}{1-z}}\right)^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{-s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6313c18504dc30909aedec8b3a86d16d83c145c)
Sie gilt für alle
und komplexe
mit
; man vergleiche dazu die Reihendarstellung der hurwitzschen Zeta-Funktion.
Falls
positiv und ganz ist, gilt
![{\displaystyle \Phi (z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum _{{k=0} \atop k\neq n-1}^{\infty }\zeta (n-k,a){\frac {\log ^{k}z}{k!}}+\left[\Psi (n)-\Psi (a)-\log(-\log z)\right]{\frac {\log ^{n-1}z}{(n-1)!}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b54a52635ff1519524a9ae99a5060e01582e8f1)
Eine Taylorreihe der dritten Variablen ist durch
![{\displaystyle \Phi (z,s,a+x)=\sum _{k=0}^{\infty }\Phi (z,s+k,a)(s,k){\frac {(-x)^{k}}{k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0180fc818c66843043ded164591974bbc1ba577c)
für
unter Verwendung des Pochhammer-Symbol
gegeben.
Im Grenzwert
gilt
.
Der Spezialfall
hat folgende Reihe:
![{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s,m)\,\mathrm {Li} _{s+m}(z){\frac {a^{m}}{m!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc4d81898a4d5c14cc01f2dd2225293912a8b1e7)
für
.
Die asymptotische Entwicklung für
ist gegeben durch
![{\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\,\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[2\,k\,\pi \,i-\log z\right]^{s-1}\mathrm {e} ^{2\,k\,\pi \,a\,i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb3db0d7fc935e69ada0183b6c210d447063a525)
für
und
![{\displaystyle \Phi (-z,s,a)=z^{-a}\,\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[(2\,k+1)\pi \,i-\log z\right]^{s-1}\mathrm {e} ^{(2\,k+1)\pi \,a\,i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9b2d27d83c654da931d25e9d408a9edc0617f42)
wenn
.
Unter Verwendung der unvollständigen Gammafunktion gilt
![{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2\,a^{s}}}+{\frac {1}{z^{a}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-2\,\pi \,i\,(k-1)a}\,\Gamma (1-s,a\,(-2\,\pi \,i\,(k-1)-\log z))}{(-2\,\pi \,i\,(k-1)-\log z)^{1-s}}}+{\frac {\mathrm {e} ^{2\,\pi \,i\,k\,a}\,\Gamma (1-s,a\,(2\,\pi \,i\,k-\log z))}{(2\,\pi \,i\,k-\log z)^{1-s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2d9b99600994857bef01ee17a4a7ce89595fc6d)
mit
und
.
![{\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{n}\,\Phi (z,s,a+n)+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {z^{k}}{(k+a)^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93319ac7fca570bcd3b5ac8b649c0cde4060c7e8)
![{\displaystyle \Phi (z,s-1,a)=\left(a+z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\Phi (z,s,a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f8e616ebacd2f4d44c5455d1df281fc708d4a66)
![{\displaystyle \Phi (z,s+1,a)=-\,{\frac {1}{s}}\,{\frac {\partial }{\partial a}}\Phi (z,s,a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f06f9910274a73c0a38baf0120d1f5a1e25b436)
Ferner gilt für die Integraldarstellung mit
oder
[2]
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{u-1}\cdot y^{v-1}}{1-x\,y\,z}}(-\log(x\,y))^{s}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\Gamma (s+1)\,{\frac {\Phi (z,s+1,v)-\Phi (z,s+1,u)}{u-v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ede3bc449e3cdf8a93d14dff58e45b6bfb177658)
und
.
- Mathias Lerch: Démonstration élémentaire de la formule:
, L'Enseignement Mathématique 5(1903): S. 450–453
- M. Jackson: On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series
, J. London Math. Soc. 25 (3), 1950: S. 189–196
- Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. In: Ramanujan J. Band 16, Nummer 3, 2008, Seiten 247–270; vgl. in arxiv
- Antanas Laurinčikas und Ramūnas Garunkštis: The Lerch zeta-function, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002, ISBN 978-1-4020-1014-9 online
- ↑ http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/LerchPhi/03/ShowAll.html
- ↑ Guillera, Sondow 2008, Theorem 3.1 (siehe Lit.)