Parkettierung

In der Mathematik bezeichnet Parkettierung (auch Kachelung, Pflasterung, oder Flächenschluss) die lückenlose und überlappungsfreie Überkung der (euklidischen) Ebene durch gleichförmige Teilflächen.

Bei praktischen Anwendungen wird die Überdeckung mit Hilfe von Primitiven („primitiven“ Flächen-Formen, möglichst mit einem einfachen Polygon) bevorzugt, wofür der entsprechend einschränkende Begriff Tessellation (englisch für „Mosaik“) verwendet wird. Wenn in einer technischen Anwendung ein großes Blech in nicht-primitive Teilflächen (Werkstücke) aufzuteilen ist, wird versucht diese so zu gestalten, dass eine Parkettierung durch ungleiche Teilflächen vorliegt und kein Abfall entsteht.

Die „zyklische Aufteilung von Flächen“ mit ungleichförmigen Teilflächen (keine Polygone) in der Kunst kommt sehr ausgeprägt bei M. C. Escher vor.

Analog zur Parkettierung beziehungsweise zur Tessellation der Ebene (2D) kann auch der drei- oder höherdimensionale Raum unterteilt werden.

Definitionen

Eine Kachel (Parkettstein, Pflasterstein) ist eine abgeschlossene topologische Scheibe in der Ebene. (Dadurch werden u. a. Steine mit Löchern und nicht-zusammenhängenden Teilen ausgeschlossen. Gelegentlich werden aber auch solche und allgemeinere Steine zugelassen.)

Eine Parkettierung (Pflasterung, Kachelung, manchmal auch Mosaik) ist eine (abzählbare) Menge von Kacheln, welche sowohl eine Packung (d. h., „kein Punkt der Ebene liegt im Inneren von zwei oder mehr Kacheln“, oder, anders ausgedrückt, „verschiedene Kacheln haben höchstens Randpunkte gemeinsam“) als auch eine Überdeckung (d. h., „jeder Punkt der Ebene gehört zu mindestens einer Kachel“) ist.

Häufig schränkt man den Begriff noch weiter ein, indem man z. B. fordert, dass alle Kacheln homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe sind (damit insbesondere kompakt und einfach zusammenhängend), oder aber, dass jede Kachel kongruent zu einem Element einer endlichen Auswahl von Kacheln (den sogenannten „Proto-Kacheln“) ist, dass also nur endlich viele verschiedene Kacheln auftreten.

Analog dazu werden auch Parkettierungen in höheren Dimensionen und allgemeineren Räumen betrachtet.

Parkettierungen der Ebene

Symmetrien einer Parkettierung

Eine Kongruenzabbildung (euklidische Bewegung) der Ebene, welche jede Kachel einer Parkettierung wieder auf eine Kachel abbildet, heißt „Symmetrie“ der Parkettierung. Die Menge aller Symmetrien heißt Symmetriegruppe und ist eine Gruppe. Enthält die Symmetriegruppe einer Parkettierung zwei linear unabhängige Verschiebungen, so heißt die Parkettierung „periodisch“ und die entstehende Symmetriegruppe ebene kristallographische Gruppe von denen es genau 17, die sogenannten Tapetenmustergruppen, gibt – anderenfalls heißt die Parkettierung „nichtperiodisch“.

Aperiodische Parkettierungen

Sätze von Proto-Kacheln (s. o.), die ausschließlich nichtperiodische Überdeckungen der Ebene zulassen, heißen „aperiodisch“. Parkettierungen können quasiperiodisch sein, das heißt, dass sich beliebig große Ausschnitte wiederholen, ohne dass das Parkett insgesamt periodisch ist. Ein interessantes und schönes Beispiel für eine quasiperiodische Parkettierung ist die Penrose-Parkettierung, benannt nach ihrem Entdecker Roger Penrose.

Periodische Parkettierungen

Bienenwaben bilden ein Sechseckgitter

Wenn man gewisse Anforderungen an die in einer Parkettierung verwendeten Grundformen und ihre Anordnung stellt, ergeben sich Spezialfälle, für die man dann alle möglichen Parkettierungen angeben kann.

Platonische Parkettierungen

Ist nur ein regelmäßiges n-Eck als Kachel zugelassen und wird weiter eingeschränkt, dass die Kacheln Kante an Kante angeordnet werden müssen, ergeben sich genau drei mögliche Parkettierungen der Ebene, die platonischen oder regulären Parkettierungen:

Johannes Kepler war der erste, der diese Parkettierungen untersuchte und erkannte, dass sie ein Analogon zu den regulären Polyedern darstellen.

• 
  Dreieckgitter
• 
  Quadratgitter
• 
  Sechseckgitter – wird auch Bienenwabenmuster genannt

Archimedische Parkettierungen

Dürfen als Grundform beliebige regelmäßige n-Ecke mit gleicher Kantenlänge verwendet werden, so ergeben sich bei Beibehaltung der Kante-an-Kante-Regel und der Einschränkung, dass an jedem Punkt, an dem die Ecken zusammenstoßen, immer die gleiche Kombination von Vielecken (Anzahl und Reihenfolge) zusammenstoßen muss, genau acht weitere mögliche Parkettierungen – die archimedischen oder semiregulären Parkettierungen der Ebene:

• 2 Parkettierungen aus Dreiecken und Quadraten
• 2 Parkettierungen aus Dreiecken und Sechsecken
• 1 Parkettierung aus Dreiecken, Quadraten und Sechsecken
• 1 Parkettierung aus Dreiecken und Zwölfecken
• 1 Parkettierung aus Achtecken und Quadraten
• 1 Parkettierung aus Quadraten, Sechsecken und Zwölfecken

• 
  3-3-3-4-4
• 
  3-3-4-3-4
• 
  3-6-3-6
• 
  3-3-3-3-6 (zwei gespiegelte Varianten)
• 
  3-4-6-4
• 
  3-12-12
• 
  4-8-8
• 
  4-6-12

Homogene Parkettierungen

Dürfen als Grundform beliebige regelmäßige n-Ecke mit gleicher Kantenlänge verwendet werden, so gibt es bei Beibehaltung der Kante-an-Kante-Regel und der Einschränkung, dass an jedem Punkt, an dem die Ecken zusammenstoßen, immer die gleiche Anzahl derselben Vielecke (unabhängig von der Reihenfolge) zusammenstoßen muss, weitere Parkettierungen, zum Beispiel:

• Parkettierung aus Dreiecken und Quadraten (anderes Muster als bei den entsprechenden archimedischen Parketten)
• Parkettierung aus Dreiecken und Sechsecken (anderes Muster als bei den entsprechenden archimedischen Parketten)
• Parkettierung aus Dreiecken, Quadraten und Sechsecken (anderes Muster als bei den entsprechenden archimedischen Parketten)

Allgemein nennt man Parkettierungen, für die als Grundform beliebige regelmäßige n-Ecke mit gleicher Kantenlänge verwendet werden, die die Kante-an-Kante-Regel einhalten und die der Einschränkung genügen, dass an jedem Punkt, an dem die Ecken zusammenstoßen, immer die gleiche Anzahl derselben Vielecke (unabhängig von der Reihenfolge) zusammenstoßen, homogene Parkettierungen.

Inhomogene Parkettierungen

inhomogene Parkettierung mit Dreiecken, Quadraten und Zwölfecken

Parkettierungen, für die zwar als Grundform beliebige regelmäßige n-Ecke mit gleicher Kantenlänge verwendet werden und die die Kante-an-Kante-Regel einhalten, bei denen aber an den Punkten, an denen die Ecken zusammenstoßen, unterschiedlich viele Vielecke zusammenstoßen, nennt man inhomogene Parkettierungen, zum Beispiel:

• Parkettierung aus Dreiecken und Sechsecken (anderes Muster als bei den entsprechenden archimedischen Parketten)
• Parkettierung aus Dreiecken, Quadraten und Sechsecken (anderes Muster als bei den entsprechenden archimedischen Parketten)
• Parkettierung aus Dreiecken, Quadraten und Zwölfecken
• Parkettierung aus Dreiecken, Quadraten, Sechsecken und Zwölfecken

Es gibt unendlich viele inhomogene Parkettierungen. besondere Beispiele sind:

• Parketierung aus einem Sechseck und einem Fünfeck (welches auch alleine parketiert, Grazebrook-Parkettierung)

Aperiodische (quasikristalline) Parkettierung

Penrose-Parkettierung

Diese wurde von Roger Penrose entdeckt. Die ist zwar flächendeckend, aber nicht periodisch, daher wird sie quasikristallin genannt

• Penrose-Parkettierung zweier Rauten

Parkettierungen des dreidimensionalen Raumes

→ Hauptartikel: Raumfüllung

Kristallographische Restriktion

Bei periodischen Parkettierungen tritt ein interessantes Phänomen auf: Deren Symmetriegruppen können nur Drehungen um 360°, 180°, 120°, 90° und/oder 60° enthalten (also Elemente der Ordnungen 1, 2, 3, 4 und 6), jedoch keine Drehungen um andere Winkel (d. h. keine Elemente der Ordnungen 5, 7 oder höher). Diesen Sachverhalt, der übrigens auch für „reale“ Kristalle gilt, bezeichnet man als „kristallographische Restriktion“. Die Ordnung 5 ist jedoch bei Quasikristallen möglich, die eine „fast“ periodische Teilung haben.

Arten der 3D-Parkettierung

Parkettierung des Raums mittels Hexaederstümpfen und Oktaedern

Nachfolgend Beispiele, wie der dreidimensionale Raum lückenlos mit regulären bzw. semiregulären Polyedern gleicher Kantenlänge ausgefüllt werden kann. Angegeben ist jeweils die Anzahl der Polyeder, die nötig ist, um einen vollen Raumwinkel von 4π zu bilden.

• 8 Tetraeder + 6 Oktaeder (Bild)
• 8 Würfel (Bild)
• 6 Tetraederstümpfe + 2 Tetraeder (Bild)
• 6 Rhombendodekaeder (Bild)
• 4 Kuboktaeder + 2 Oktaeder (Bild)
• 4 Hexaederstümpfe + 1 Oktaeder (s. Abb. rechts)
• 4 Oktaederstümpfe (Bild)
• 4 Rhombendodekaeder (Bild)
• 3 Rhombenkuboktaeder + 1 Würfel + 1 Tetraeder (Bild)
• 2 Rhombenkuboktaeder + 2 Würfel + 1 Kuboktaeder (Bild)
• 2 Oktaederstümpfe + 2 Tetraederstümpfe + 1 Kuboktaeder (Bild)
• 2 Kuboktaederstümpfe + 1 Oktaederstumpf + 1 Würfel (Bild)

Siehe auch

• Voronoi-Diagramm

Literatur

• Hans-Günther Bigalke, Heinrich Wippermann: Reguläre Parkettierungen, BI-Wissenschafts-Verlagg 1994, ISBN 3-411-16711-4
• Bruno Ernst: Der Zauberspiegel des M. C. Escher, Taschen, 1992, ISBN 3-8228-0442-8
• Heinrich Heesch, Otto Kienzle: Flächenschluß, Springer, 1963
• Branko Grünbaum, G. C. Shephard: Tilings and Patterns. WH Freeman & Co., 1986, ISBN 0-7167-1193-1

Weblinks

Commons: Parkettierung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• http://www.mathematische-basteleien.de/parkett.htm