Parkettierung

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In der Mathematik bezeichnet Parkettierung (auch Kachelung, Pflasterung, oder Flächenschluss[1]) die lückenlose und überlappungsfreie Überdeckung der (euklidischen) Ebene durch gleichförmige Teilflächen. Das Konzept kann auch auf höhere Dimensionen erweitert werden.

Bei praktischen Anwendungen wird die Überdeckung mit Hilfe von Primitiven („primitiven“ Flächen-Formen, möglichst mit einem einfachen Polygon) bevorzugt, wofür der entsprechend einschränkende Begriff Tessellation (englisch für „Mosaik“) verwendet wird. Wenn in einer technischen Anwendung ein großes Blech in nicht-primitive Teilflächen (Werkstücke) aufzuteilen ist, wird versucht diese so zu gestalten, dass eine Parkettierung durch ungleiche Teilflächen vorliegt und kein Abfall entsteht.[1]

Die „zyklische Aufteilung von Flächen“ mit ungleichförmigen Teilflächen (keine Polygone) in der Kunst kommt sehr ausgeprägt bei M. C. Escher vor.[2]

Analog zur Parkettierung beziehungsweise zur Tessellation der Ebene (2D) kann auch der drei- oder höherdimensionale Raum unterteilt werden.

Definitionen[Bearbeiten]

Eine Kachel (Parkettstein, Pflasterstein) ist eine abgeschlossene topologische Scheibe in der Ebene. (Dadurch werden u. a. Steine mit Löchern und nicht-zusammenhängenden Teilen ausgeschlossen. Gelegentlich werden aber auch solche und allgemeinere Steine zugelassen.)

Eine Parkettierung (Pflasterung, Kachelung, manchmal auch Mosaik) ist eine (abzählbare) Menge von Kacheln, welche sowohl eine Packung (d. h., „kein Punkt der Ebene liegt im Inneren von zwei oder mehr Kacheln“, oder, anders ausgedrückt, „verschiedene Kacheln haben höchstens Randpunkte gemeinsam“) als auch eine Überdeckung (d. h., „jeder Punkt der Ebene gehört zu mindestens einer Kachel“) ist.

Häufig schränkt man den Begriff noch weiter ein, indem man z. B. fordert, dass alle Kacheln homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe sind (damit insbesondere kompakt und einfach zusammenhängend), oder aber, dass jede Kachel kongruent zu einem Element einer endlichen Auswahl von Kacheln (den sogenannten „Proto-Kacheln“) ist, dass also nur endlich viele verschiedene Kacheln auftreten.

Analog dazu werden auch Parkettierungen in höheren Dimensionen und allgemeineren Räumen betrachtet.

Parkettierungen der Ebene[Bearbeiten]

Symmetrien einer Parkettierung[Bearbeiten]

Eine Kongruenzabbildung (euklidische Bewegung) der Ebene, welche jede Kachel einer Parkettierung wieder auf eine Kachel abbildet, heißt „Symmetrie“ der Parkettierung. Die Menge aller Symmetrien heißt Symmetriegruppe und ist eine Gruppe. Enthält die Symmetriegruppe einer Parkettierung zwei linear unabhängige Verschiebungen, so heißt die Parkettierung „periodisch“ und die entstehende Symmetriegruppe ebene kristallographische Gruppe von denen es genau 17, die sogenannten Tapetenmustergruppen, gibt – anderenfalls heißt die Parkettierung „nichtperiodisch“.

Aperiodische Parkettierungen[Bearbeiten]

Sätze von Proto-Kacheln (s. o.), die ausschließlich nichtperiodische Überdeckungen der Ebene zulassen, heißen „aperiodisch“. Parkettierungen können quasiperiodisch sein, das heißt, dass sich beliebig große Ausschnitte wiederholen, ohne dass das Parkett insgesamt periodisch ist. Ein interessantes und schönes Beispiel für eine quasiperiodische Parkettierung ist die Penrose-Parkettierung, benannt nach ihrem Entdecker Roger Penrose.

Periodische Parkettierungen[Bearbeiten]

Bienenwaben bilden ein Sechseckgitter

Wenn man gewisse Anforderungen an die in einer Parkettierung verwendeten Grundformen und ihre Anordnung stellt, ergeben sich Spezialfälle, für die man dann alle möglichen Parkettierungen angeben kann.

Platonische Parkettierungen[Bearbeiten]

Ist nur ein regelmäßiges n-Eck als Kachel zugelassen und wird weiter eingeschränkt, dass die Kacheln Kante an Kante angeordnet werden müssen, ergeben sich genau drei mögliche Parkettierungen der Ebene, die platonischen oder regulären Parkettierungen:

Johannes Kepler war der erste, der diese Parkettierungen untersuchte und erkannte, dass sie ein Analogon zu den regulären Polyedern darstellen.[3]

Archimedische Parkettierungen[Bearbeiten]

Dürfen als Grundform beliebige regelmäßige n-Ecke mit gleicher Kantenlänge verwendet werden, so ergeben sich bei Beibehaltung der Kante-an-Kante-Regel und der Einschränkung, dass an jedem Punkt, an dem die Ecken zusammenstoßen, immer die gleiche Kombination von Vielecken (Anzahl und Reihenfolge) zusammenstoßen muss, genau acht weitere mögliche Parkettierungen – die archimedischen oder semiregulären Parkettierungen der Ebene:


Homogene Parkettierungen[Bearbeiten]

Dürfen als Grundform beliebige regelmäßige n-Ecke mit gleicher Kantenlänge verwendet werden, so gibt es bei Beibehaltung der Kante-an-Kante-Regel und der Einschränkung, dass an jedem Punkt, an dem die Ecken zusammenstoßen, immer die gleiche Anzahl derselben Vielecke (unabhängig von der Reihenfolge) zusammenstoßen muss, weitere Parkettierungen, zum Beispiel:

  • Parkettierung aus Dreiecken und Quadraten (anderes Muster als bei den entsprechenden archimedischen Parketten)
  • Parkettierung aus Dreiecken und Sechsecken (anderes Muster als bei den entsprechenden archimedischen Parketten)
  • Parkettierung aus Dreiecken, Quadraten und Sechsecken (anderes Muster als bei den entsprechenden archimedischen Parketten)

Allgemein nennt man Parkettierungen, für die als Grundform beliebige regelmäßige n-Ecke mit gleicher Kantenlänge verwendet werden, die die Kante-an-Kante-Regel einhalten und die der Einschränkung genügen, dass an jedem Punkt, an dem die Ecken zusammenstoßen, immer die gleiche Anzahl derselben Vielecke (unabhängig von der Reihenfolge) zusammenstoßen, homogene Parkettierungen.

Inhomogene Parkettierungen[Bearbeiten]

inhomogene Parkettierung mit Dreiecken, Quadraten und Zwölfecken

Parkettierungen, für die zwar als Grundform beliebige regelmäßige n-Ecke mit gleicher Kantenlänge verwendet werden und die die Kante-an-Kante-Regel einhalten, bei denen aber an den Punkten, an denen die Ecken zusammenstoßen, unterschiedlich viele Vielecke zusammenstoßen, nennt man inhomogene Parkettierungen, zum Beispiel:

Es gibt unendlich viele inhomogene Parkettierungen. besondere Beispiele sind:


Aperiodische (quasikristalline) Parkettierung[Bearbeiten]

Penrose-Parkettierung

Diese wurde von Roger Penrose entdeckt. Die ist zwar flächendeckend, aber nicht periodisch, daher wird sie quasikristallin genannt

Parkettierungen des dreidimensionalen Raumes[Bearbeiten]

Hauptartikel: Raumfüllung

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Hans-Günther Bigalke, Heinrich Wippermann: Reguläre Parkettierungen, BI-Wissenschafts-Verlag 1994, ISBN 3-411-16711-4
  • Bruno Ernst: Der Zauberspiegel des M. C. Escher, Taschen, 1992, ISBN 3-8228-0442-8
  • Heinrich Heesch, Otto Kienzle: Flächenschluß, Springer, 1963
  • Branko Grünbaum, G. C. Shephard: Tilings and Patterns. WH Freeman & Co., 1986, ISBN 0-7167-1193-1

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Parkettierung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b Heinrich Heesch, Otto Kienzle: Flächenschluß, Springer, 1963
  2. Bruno Ernst: Der Zauberspiegel des M. C. Escher, 7. Die Kunst der Alhambra, Taschen 1978 und 1992, ISBN 3-8228-0442-8
  3. David Wells: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Penguin Books, London 1991. ISBN 0-14-011813-6. S. 213.
  4. ein Fünfeck mit 2 rechten Winkeln und drei mit 120°, siehe Schema El Cairo-Paketierung
  5. Ian Stewart: Fünfeckige Kacheln. In: Spektrum der Wissenschaft, Januar 2000, S. 106–108