Poincaré-Lemma

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Das Poincaré-Lemma ist ein Satz aus der Mathematik und wurde nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré benannt.

Exakte und geschlossene Differentialformen[Bearbeiten]

Die Potentialform ist nicht eindeutig bestimmt, sondern nur "bis auf Umeichung" (siehe unten).

Wegen \mathrm{d} \circ \mathrm{d} \equiv 0 ist jede exakte Differentialform auch geschlossen. Das Poincaré-Lemma gibt Voraussetzungen an, unter denen auch die umgekehrte Aussage gilt. Beim Beweis ergibt sich darüber hinaus eine Verallgemeinerung des Lemmas: Von jeder Differentialform läßt sich „per Konstruktion“ ein exakter Anteil abspalten.

Aussage[Bearbeiten]

Das Poincaré-Lemma besagt, dass in jede auf einer sternförmigen offenen Menge U \subseteq \R^d definierte geschlossene Differentialform exakt ist.

Die Aussage lässt sich abstrakter auch so formulieren: Für eine sternförmige offene Menge U \subseteq \R^d verschwindet die k-te de-Rham-Kohomologie für alle k > 0 :

 \mathrm{H}_{\mathrm{dR}}^k(U) = 0

Im dreidimensionalen Spezialfall besagt das Poincaré-Lemma, in die Sprache der Vektoranalysis überführt, dass ein auf einem einfach-zusammenhängenden Gebiet definiertes wirbelfreies Vektorfeld – beispielsweise das elektrostatische Feld \vec E(\mathbf r) – als Gradient eines Potentialfeldes \Phi(\mathbf r) (k=1), ein quellfreies Vektorfeld auf einem konvexen Gebiet– beispielsweise die magnetische Induktion \vec B(\mathbf r, t) – durch Rotation eines Vektorpotentials \vec A(\mathbf r, t) (k=2), und eine skalare Felddichte („Quellendichte“) als Divergenz eines Vektorfeldes (k=3) dargestellt werden können.

Beweis (konstruktiv)[Bearbeiten]

Das Poincaré-Lemma gibt eine solche (k-1)-Form explizit an, und zwar mit folgender Formel: Einer beliebigen k-Form, \textstyle \psi^k = \sum \omega_{I} {\rm d}x_{I}\,, lässt sich, Geschlossenheit nicht notwendig vorausgesetzt, eine (k-1)-Form P^{k-1}(\psi^k) zuordnen, aus der sich bei Geschlossenheit die gesuchte Potentialform ergibt: Diese zugeordnete Form läßt sich durch folgende Abbildung definieren:

P^{k-1}(\psi^k)\,:\,=\, \sum_{i_1< \cdots < i_k} \sum_{\alpha = 1}^k (-1)^{\alpha - 1} \Big( \int_0^1 t^{k-1} \omega_{i_1 \cdots i_k} (tx) dt \Big) x^{i_\alpha}{\rm d}x^{i_1} \wedge \cdots \wedge \widehat{{\rm d}x^{i_\alpha}} \wedge \cdots \wedge{\rm d}x^{i_k}\,. (Das Dachsymbol in der iα-ten Spalte der rechten Seite bedeutet, dass das entsprechende Differential ausgelassen wird.)

Nun zeigt man direkt, dass folgende Identität gilt:  \omega^k\equiv \mathrm P^{{k}}({\rm d}\omega^k) + {\rm d}{\mathrm P^{k-1}(}\omega^k \mathrm )\,, was formal der Produktregel der Differentiation entspricht und die durch \omega^k repräsentierten Eigenschaften in zwei Anteile zerlegt, von denen der zweite die gesuchte Eigenschaft besitzt.

Wegen der Voraussetzung {\rm d}\omega^k \equiv 0 und wegen \mathrm{d} \circ \mathrm{d} = 0 ergibt sich zunächst 0\equiv {\mathrm d}P^{k} ({\mathrm{d}{\omega}^k}\to 0). Dies gilt ohne Einschränkung der Allgemeinheit auch ohne das vorderste \mathrm d der rechten Seite, und zwar deshalb, weil durch die Forderung \mathrm d\omega^k\to 0 die Form \mathrm dP^k nur am Nullpunkt betrachtet wird, sodass wie beim Totalen Differential einer Funktion aus \mathrm dP^k=0 bis auf sog. Eichtransformationen (siehe unten) auch \mathrm P^k=0 gefolgert werden kann.

Somit bleibt nur der letzte Term der obigen Identität, und es folgt die gesuchte Aussage: \omega^k\equiv\mathrm{d}\eta^{k-1}, mit \eta^{k-1}\,:=\,\mathrm P^{k-1}(\omega^k )\,.

Die angegebene Identität verallgemeinert zugleich das Poincarésche Lemma durch Zerlegung einer beliebigen Differentialform ω in einen nicht-exakten („anholonomen“) und einen exakten („holonomen“) Anteil (die eingeklammerten Bezeichnungen entsprechen den sog. Zwangskräften in der analytischen Mechanik). Es entspricht zugleich der Zerlegung eines beliebigen Vektorfeldes in einen Wirbel- und einen Quellen-Anteil.

In der Sprache der homologischen Algebra ist P eine kontrahierende Homotopie, die z. B. auf den zentralen Punkt des hier betrachteten sternförmigen Gebietes kontrahiert.

Umeichung[Bearbeiten]

Das so definierte \eta^{k-1} ist nicht die einzige (k-1)-Form, deren äußeres Differential {\omega}^k ist. Alle anderen unterscheiden sich aber höchstens um das Differential einer (k-2)-Form voneinander: Sind \eta^{k-1}_2 und \eta^{k-1}_1 zwei solche (k-1)-Formen, so existiert eine (k-2)-Form \xi^{k-2} derart, dass  \eta_2^{k-1} = \eta_1^{k-1} + \mathrm d \xi^{k-2} gilt.

Der Zusatz +\, \mathrm d \xi^{k-2} wird auch als Eichtransformation bzw. Umeichung von \eta_1^{k-1} bezeichnet.

Anwendung in der Elektrodynamik[Bearbeiten]

Aus der Elektrodynamik ist der Fall eines von einem stationären Strom erzeugten Magnetfeldes bekannt, mit dem sog. Vektorpotential \vec A(\mathbf r )\,. Dieser Fall entspricht k=2, wobei das sternförmige Gebiet der \mathbb R^3 ist. Der Vektor der Stromdichte ist \vec j und entspricht der Stromform \mathbf I :=j_1(x,y,z){\rm d}x_2\wedge {\rm d}x_3+j_2(x,y,z){\rm d}x_3\wedge {\rm d}x_1+j_3(x,y,z){\rm d}x_1\wedge {\rm d}x_2\,. Für das Magnetfeld \vec B gilt Analoges: es entspricht der Magnetflussform \Phi_B:=B_1{\rm d}x_2\wedge {\rm d}x_3 +\dots und lässt sich aus dem Vektorpotential ableiten: \textstyle \vec B = \operatorname{rot} \vec A = \left( \tfrac{\partial A_3}{\partial x_2}-\tfrac{\partial A_2}{\partial x_3} , \tfrac{\partial A_1}{\partial x_3}-\tfrac{\partial A_3}{\partial x_1} ,\tfrac{\partial A_2}{\partial x_1}-\tfrac{\partial A_1}{\partial x_2}\right)^t, oder \Phi_B={\rm d}\mathbf A. Dabei entspricht das Vektorpotential \vec A der Potentialform \mathbf A:=A_1{\rm d}x_1+A_2{\rm d}x_2+A_3{\rm d}x_3\,. Die Geschlossenheit der Magnetflussform entspricht der Quellenfreiheit des Magnetfeldes (\operatorname{div} \vec B \equiv 0\,).

Unter Verwendung der Coulomb-Eichung \operatorname{div} \vec A\stackrel{!}{=}0 bzw. passend zu \operatorname{div} \vec j\stackrel{!}{=}0 gilt dann für i=1,2,3

A_i(\vec r)
=\int \frac{\mu_0 j_i(\vec r^{\,'})\,\, dx_1'dx_2'dx_3'}{4\pi |\vec r -\vec r^{\,'}|}\,,

dabei ist \mu_0 eine Naturkonstante, die sogenannte Magnetische Feldkonstante.

An dieser Gleichung ist u.a. bemerkenswert, dass sie vollständig einer bekannten Formel für das elektrische Feld \vec E entspricht, dem Coulombpotential \,\phi (x_1,x_2, x_3) einer gegebenen Ladungsverteilung mit der Dichte \rho (x_1,x_2,x_3). Man vermutet an dieser Stelle bereits, dass

  • \vec E und \vec B bzw.
  • \rho und \vec j sowie
  • \,\phi und \vec A

zusammengefasst werden können und dass sich die relativistische Invarianz der Maxwellschen Elektrodynamik daraus ergibt, siehe dazu Elektrodynamik.

Wenn man die Bedingung der Stationarität aufgibt, muss auf der linken Seite der obigen Gleichung bei A_i zu den Raumkoordinaten das Zeitargument t hinzugefügt werden, während auf der rechten Seite in j_i' die sog. „retardierte Zeit“ t':=t-\tfrac{|\vec r -\vec r^{\,'}|}{c} zu ergänzen ist. Es wird dabei wie zuvor über die drei Raumkoordinaten  \vec r^{\,'} integriert. Schließlich ist c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.

Anwendung in der Kontinuumsmechanik[Bearbeiten]

In der Kontinuumsmechanik wird das Lemma auf Tensoren angewendet, was z. B. für die Aufstellung der Kompatibilitätsbedingungen gebraucht wird. Ausgangspunkt ist das Lemma in der Formulierung:

\operatorname{rot}(\vec{u})
=\hat{e}_k\times \frac{\partial \vec{u}}{\partial x_k}
= \vec{0}\rightarrow\exists \varphi\colon\vec{u}
=\operatorname{grad}(\varphi) 

 

 (I)

 

Der Operator „grad“ bildet den Gradient, die Vektoren \hat{e}_{1,2,3} sind die Standardbasis des kartesischen Koordinatensystems mit Koordinaten x_{1,2,3} und es wurde die einsteinsche Summenkonvention angewendet, dergemäß über in einem Produkt doppelt vorkommende Indizes, hier k, von eins bis drei zu summieren ist.

Gegeben sei nun ein Tensorfeld \mathbf{T}=\hat{e}_i\otimes\vec{t}_i, dessen Zeilenvektoren \vec{t}_{1,2,3} mit dem dyadischen Produkt\otimes“ zum Tensor zusammengefügt werden. Die Rotation des transponierten Tensors verschwinde:


\operatorname{rot}(\mathbf{T}^\top)
:=\hat{e}_k\times\frac{\partial}{\partial x_k}(\vec{t}_{i}\otimes\hat{e}_i)
=\left(\hat{e}_k\times\frac{\partial\vec{t}_{i}}{\partial x_k}\right)\otimes\hat{e}_i
= \mathbf{0}
\quad\rightarrow\quad
\hat{e}_k\times\frac{\partial\vec{t}_{i}}{\partial x_k} = \vec{0}\,,\quad i=1,2,3\,.

Dann gibt es für jeden Zeilenvektor ein Skalarfeld u_i, dessen Gradient er ist:

\vec{t}_{i}=\operatorname{grad}(u_i)
\quad\rightarrow\quad
\mathbf{T}=\hat{e}_i\otimes\vec{t}_i = \hat{e}_i\otimes\operatorname{grad}(u_i)
= \operatorname{grad}(\vec{u})\,,

denn der Gradient eines Vektors bildet sich gemäß:

\operatorname{grad}(\vec{u}) 
:=\frac{\partial\vec{u}}{\partial x_k}\otimes\hat{e}_k
=\frac{\partial (u_i\hat{e}_i)}{\partial x_k}\otimes\hat{e}_k
=\frac{\partial u_i}{\partial x_k}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_k
=\hat{e}_i\otimes\frac{\partial u_i}{\partial x_k}\hat{e}_k
= \hat{e}_i\otimes\operatorname{grad}(u_i)\,.

Damit gilt die zweite Form des Lemmas:

\operatorname{rot}(\mathbf{T}^\top)=\mathbf{0}
\quad\rightarrow\quad
\exists \vec{u}\colon\mathbf{T} =\operatorname{grad}(\vec{u})
 

 

 (II)

 

Wenn zusätzlich die Spur des Tensors verschwindet, dann ist das Vektorfeld divergenzfrei:

\operatorname{Sp}(\mathbf{T})
=\operatorname{Sp}(\hat{e}_i\otimes\operatorname{grad}(u_i))
=\hat{e}_i\cdot\frac{\partial u_i}{\partial x_k}\hat{e}_k
=\frac{\partial u_i}{\partial x_i} = \operatorname{div}(\vec{u})
=0\,.

In diesem Fall berechnet sich:

\begin{array}{rcl}
\operatorname{rot}(\vec{u}\times\mathbf{I})
&=&
\hat{e}_k\times\frac{\partial}{\partial x_k}[u_i\hat{e}_i\times(\hat{e}_j\otimes\hat{e}_j)]
=\frac{\partial u_i}{\partial x_k} [\hat{e}_k\times(\hat{e}_i\times\hat{e}_j)]\otimes\hat{e}_j
=\frac{\partial u_i}{\partial x_k} (\delta_{jk}\hat{e}_i - \delta_{ik}\hat{e}_j)\otimes\hat{e}_j
\\
&=& \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \hat{e}_i\otimes\hat{e}_j
-\frac{\partial u_i}{\partial x_i} \hat{e}_j\otimes\hat{e}_j
=\operatorname{grad}(\vec{u})
\\
(\vec{u}\times\mathbf{I})^\top
&=&
[u_i\hat{e}_i\times(\hat{e}_j\otimes\hat{e}_j)]^\top
= [u_i(\hat{e}_i\times\hat{e}_j)\otimes\hat{e}_j]^\top
= u_i\hat{e}_j\otimes(\hat{e}_i\times\hat{e}_j)
\\
&=& \epsilon_{ijk} u_i\hat{e}_j\otimes\hat{e}_k
= -\epsilon_{ikj} u_i\hat{e}_j\otimes\hat{e}_k
= -u_i(\hat{e}_i\times\hat{e}_k)\otimes\hat{e}_k
= -u_i\hat{e}_i\times(\hat{e}_k\otimes\hat{e}_k)
\\
&=&-\vec{u}\times\mathbf{I}\,.
\end{array}

Darin ist \epsilon_{ijk}=(\hat{e}_i\times\hat{e}_j)\cdot\hat{e}_k das Permutationssymbol. Der Tensor \mathbf{W}:=\vec{u}\times\mathbf{I} ist also schiefsymmetrisch. Es folgt die dritte Form des Lemmas:

\operatorname{rot}(\mathbf{T}^\top)
=\mathbf{0}\wedge\operatorname{Sp}(\mathbf{T})
= 0
\quad\rightarrow\quad
\exists \mathbf{W}\colon \mathbf{T} = \operatorname{rot}(\mathbf{W})
\;\wedge\;
\mathbf{W} = -\mathbf{W}^\top
 

 

 (III)

 

Literatur[Bearbeiten]

  • Otto Forster: Analysis. Band 3: Integralrechnung im Rn mit Anwendungen. 4. Auflage. Vieweg + Teubner, Braunschweig u. a. 2007, ISBN 978-3-528-37252-1.
  • John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.
  • C. Truesdell: Festkörpermechanik II in S. Flügge (Hrsg.): Handbuch der Physik, Band VIa/2. Springer-Verlag, 1972, ISBN 3-540-05535-5, ISBN 0-387-05535-5.