Schiefsymmetrische Matrix

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Eine schiefsymmetrische Matrix (auch antisymmetrische Matrix) ist eine Matrix, die gleich dem Negativen ihrer Transponierten ist. In einem Körper mit Charakteristik ungleich zwei sind die schiefsymmetrischen Matrizen genau die alternierenden Matrizen und werden daher häufig mit ihnen gleichgesetzt. Schiefsymmetrische Matrizen werden in der linearen Algebra unter anderem zur Charakterisierung antisymmetrischer Bilinearformen verwendet.

Definition[Bearbeiten]

Eine Matrix A heißt schiefsymmetrisch, wenn

A^T=-A

gilt. Anders ausgedrückt: Die Matrix A ist schiefsymmetrisch, wenn für ihre Einträge gilt:


a_{ij} = - a_{ji} \qquad\forall i,j\in\{1,\ldots,n\}

Beispiel[Bearbeiten]

Die Matrix 
A=
\begin{pmatrix}
0   & 7 & 23 \\
-7  & 0 & -4 \\
-23 & 4 & 0
\end{pmatrix}
ist schiefsymmetrisch, da 
A^T=
\begin{pmatrix}
0   & -7 & -23 \\
7  & 0 & 4 \\
23 & -4 & 0
\end{pmatrix}
=-A

Eigenschaften[Bearbeiten]

Reelle schiefsymmetrisch Matrizen[Bearbeiten]

Ist  A \in \mathbb{R}^{n\times n} schiefsymmetrisch mit reellen Einträgen, so sind alle Diagonaleinträge notwendigerweise gleich 0. Des Weiteren sind alle Eigenwerte rein imaginär oder gleich 0.

Körpercharakteristik ungleich 2[Bearbeiten]

Eigenschaften für Körper K der Charakteristik ungleich 2:

  • Die Einträge auf der Hauptdiagonalen sind null.
  • Die Determinante schiefsymmetrischer Matrizen mit ungerader Dimension n ist wegen A^T=-A\, und daher
\det(A)=\det(A^T)=\det(-A)=(-1)^n\,\det(A)=-\det(A)
gleich null.
Für Matrizen gerader Dimension gilt dies im Allgemeinen nicht, wie das Gegenbeispiel

A = \begin{pmatrix}
0 & 1\\
 -1 & 0
\end{pmatrix}
zeigt. Die Matrix ist offensichtlich schiefsymmetrisch, jedoch gilt \det(A) = 1.
  • In einem Körper mit Charakteristik ungleich zwei sind die schiefsymmetrischen Matrizen gerade die alternierenden Matrizen. In einem Körper mit Charakteristik zwei gibt es jedoch schiefsymmetrische Matrizen, die nicht alternierend sind.

Vektorraum[Bearbeiten]

Die schiefsymmetrischen Matrizen bilden einen Vektorraum der Dimension \tfrac{n(n-1)}{2}. Ist der Körper K=\R, so bezeichnet man diesen Vektorraum mit \mathfrak{so}(n). Die Bezeichnung rührt daher, dass dieser Vektorraum die Lie-Algebra der Lie-Gruppe \operatorname{SO}(n) (Spezielle orthogonale Gruppe) ist.

Die orthogonale Projektion vom Raum der Matrizen in den Raum der schiefsymmetrischen Matrizen ist bezüglich des Frobenius-Skalarprodukts gerade

\begin{matrix}
\operatorname{Pr}:& \R^{n\times n}&\to& \mathfrak s\mathfrak o(n)\\
& A & \mapsto & \frac12(A-A^T)
\end{matrix}

Das orthogonale Komplement ist die symmetrische Matrix

A-\operatorname{Pr}(A)=\frac12(A+A^T).

Bilinearformen[Bearbeiten]

Die Bilinearform B_A(x,y) = x^T A y zu einer schiefsymmetrischen Matrix A \in K^{n \times n} ist antisymmetrisch, das heißt,

B_A(x,y) = -B_A(y,x)

für alle x,y \in K^n. Falls die Hauptdiagonaleinträge einer schiefsymmetrischen Matrix A alle gleich null sind (wenn die Matrix also alternierend ist), dann ist die zugehörige Bilinearform B_A alternierend, das heißt,

B_A(x,x) = 0

für alle x \in K^n. Umgekehrt ist in einem endlichdimensionalen Vektorraum V die Darstellungsmatrix A_B = (B( b_i, b_j )) einer antisymmetrischen oder alternierenden Bilinearform B \colon V \times V \to K bezüglich einer beliebigen Basis \{ b_1, \ldots , b_n \} stets schiefsymmetrisch, also

(A_B)^T = -A_B,

wobei die Hauptdiagonaleinträge von A_B alle gleich null sind.

Exponentialabbildung[Bearbeiten]

Die durch das Matrixexponential definierte Abbildung

\begin{matrix}
\exp:& \mathfrak s\mathfrak o(n) & \to & \operatorname{SO}(n)\\
& A & \mapsto & \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac1{n!}A^n
\end{matrix}

ist surjektiv und beschreibt gerade die Exponentialabbildung an der Einheitsmatrix I_n (siehe auch Spezielle orthogonale Gruppe).

Kreuzprodukt[Bearbeiten]

Für den Spezialfall n=3 können schiefsymmetrische Matrizen benutzt werden, um das Kreuzprodukt als Matrixmultiplikation auszudrücken. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a\in\mathbb{R}^3 und b\in\mathbb{R}^3 kann als Matrixmultiplikation der schiefsymmetrischen Kreuzproduktmatrix


[a]_{\times} = \begin{pmatrix}
    0  & -a_3 &  a_2\\
    a_3 & 0 & -a_1 \\
    -a_2 & a_1 & 0 
  \end{pmatrix}

mit dem Vektor b ausgedrückt werden:


a\times b = [a]_{\times}\cdot b.

Auf diese Weise kann eine Formel mit Kreuzprodukt differenziert werden:


\frac{\partial}{\partial b}(a\times b)=[a]_{\times}


Das Exponential der Matrix [a]_{\times} kann mittels der Rodrigues-Formel wie folgt dargestellt werden


\begin{align}
\exp(t[a]_{\times})v & = \tfrac{\langle a,v\rangle}{\|a\|^2}a
+\left(v-\frac{\langle a,v\rangle}{\|a\|^2}a\right)\cos(\|a\|\,t)
+\left(\frac1{\|a\|}a\times v\right)\sin(\|a\|\,t) \\
&= v_a + v_0\cdot\cos(\|a\|\,t)+v_1\cdot\sin(\|a\|\,t).
\end{align}

Hierbei ist

v_a:=\frac{\langle a,v\rangle}{\|a\|^2}a die orthogonale Projektion von v auf die durch a aufgespannte Gerade L_a,
v_0:=v-v_a das dazu senkrechte Lot von v auf die Achse L_a,
v_1:=\frac1{\|a\|}a\times v_0  der Vektor, der aus v_0 durch Rotation um 90° um die Achse L_a entsteht.

Insgesamt zeigt die Formel, dass durch das Exponential des Kreuzproduktes der Vektor v um die durch a definierte Achse rotiert wird, mit der Norm von a als Winkelgeschwindigkeit.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]