Poisson-Mannigfaltigkeit

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Als Poisson-Mannigfaltigkeit bezeichnet man in der Mathematik eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die mit einer Poisson-Struktur versehen ist. Eine Poisson-Struktur ist eine bilineare Abbildung auf der Algebra der glatten Funktionen, welche die Eigenschaften einer Poisson-Klammer erfüllt. Benannt sind die Poisson-Mannigfaltigkeit, -Struktur und -Klammer nach dem Physiker und Mathematiker Siméon Denis Poisson.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Poisson-Struktur auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist eine bilineare Abbildung

,

so dass die Klammer antisymmetrisch

,

ist, der Jacobi-Identität

genügt und für alle eine Derivation darstellt

.

Die bilineare Abbildung der Poisson-Struktur heißt Poisson-Klammer und eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Poisson-Struktur wird Poisson-Mannigfaltigkeit genannt.[1]

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Lie-Algebra mit Lie-Klammer und ihr Dualraum mit der Paarung . Auf kann für durch

mit eine Poisson-Klammer erklärt werden. Mit wird hier die funktionale Ableitung von nach bezeichnet. Die Klammer wird Lie-Poisson-Klammer genannt. Zusammen mit dieser Poisson-Klammer wird zu einer Poisson-Mannigfaltigkeit. Diese Aussage heißt Satz von Lie-Poisson.[2]

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Insbesondere ist jede symplektische Mannigfaltigkeit auch eine Poisson-Mannigfaltigkeit. In diesem Fall ist dann die definierende Struktur

durch eine 2-Form , beziehungsweise deren Komponenten in lokalen Koordinaten gegeben.

Poisson-Mannigfaltigkeiten können als algebraische Abstraktion von symplektischen Mannigfaltigkeit angesehen werden. Unterschiede bestehen neben einer viel größeren Klasse von Morphismen dann auch zum Beispiel darin, dass die Bedingung fallengelassen wird, die Poissonklammer solle nirgends singulär sein, also vollen Rang haben.

Anwendung findet dieser Kalkül beispielsweise in der Deformationstheorie. Er bietet dort Zugänge zur nichtkommutativen Geometrie und geometrischen Quantisierung.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 609–610.
  2. R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 613.