Satz von Ramsey

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Dieser Artikel behandelt den Satz von Ramsey in der Kombinatorik. Über den entsprechenden ramseyschen Satz in der Mengenlehre gibt es einen eigenen Artikel; siehe hier. Eine Einführung in das zugehörige mathematische Gebiet gibt der Artikel Ramseytheorie.

Der Satz von Ramsey geht auf Frank Plumpton Ramsey und dessen Veröffentlichung aus dem Jahr 1930 zurück. Er zählt zu den klassischen Theoremen der Kombinatorik und stellt eine Verallgemeinerung des dirichletschen Schubfachprinzips dar. Der Satz behandelt die Frage, ob und unter welchen Bedingungen bei Kantenfärbungen von vollständigen Graphen und Hypergraphen mit zwei (oder mehr) Farben einfarbige Teilgraphen auftreten. Es ergibt sich, dass solche Teilgraphen für hinreichend große vollständige Graphen und Hypergraphen stets auftreten müssen.

Neben der reinen Existenzfrage wird in der Diskreten Mathematik auch ein damit zusammenhängendes Quantifizierungsproblem untersucht. Es handelt sich hier um die Frage, ab welcher Größe ein vollständiger Graph bzw. Hypergraph im genannten Sinne als „hinreichend groß“ zu betrachten ist, und weiter darum, wie die in diesem Sinne zu bestimmenden Ramsey-Zahlen zu berechnen oder wenigstens abzuschätzen sind. Diese Quantifizierungsfrage zu klären oder gar zu lösen, hat sich als außerordentlich schwierig herausgestellt.

Mit dem Satz von Ramsey lassen sich Existenzsätze der Diskreten Mathematik ableiten und insbesondere kombinatorische Probleme der Geometrie und Zahlentheorie lösen. Eine praktische Anwendung findet er auch beim Spiel Sim.

Aussage des Satzes (Version für vollständige Graphen)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir betrachten endliche vollständige Graphen mit Knoten und Kantenfärbungen, bei denen jede Kante von mit einer von zwei Farben, etwa rot und blau, gefärbt ist.[1] Gibt es hierin Knoten, so dass alle zwischen diesen verlaufenden Kanten rot sind, so sagen wir, der Graph enthalte einen roten -Teilgraphen. Eine entsprechende Sprechweise gelte für blaue Teilgraphen.

Mit dieser Sprechweise lässt sich der Satz von Ramsey (in der Version für Graphen) angeben wie folgt:

Zu je zwei natürlichen Zahlen gibt es stets eine (von und abhängige) natürliche Zahl dergestalt, dass jeder vollständige Graph mit Knoten, dessen Kanten entweder rot oder blau gefärbt sind, mindestens einen roten -Teilgraphen oder einen blauen -Teilgraphen enthält.

Ramsey-Zahlen für vollständige Graphen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kleinste natürliche Zahl, die als ein solches bei gegebenen gewählt werden kann, heißt die zu und gehörige Ramsey-Zahl und wird mit bezeichnet.

Charakteristisch für die Ramsey-Zahl ist die Eigenschaft, dass der größte vollständige Graph ist, welcher eine Rot-Blau-Kantenfärbung gestattet, zu der weder ein roter -Teilgraph noch ein blauer -Teilgraph in existiert.

Der Satz von Ramsey für vollständige Graphen lässt sich von Kantenfärbungen mit zwei auf solche mit beliebig vielen Farben verallgemeinern. Entsprechend gibt es zu beliebigen Kantenfärbungen mit Farben     und   Anzahlen die zugehörige Ramsey-Zahl .

Einfache Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Allgemein gilt , wie man durch Vertauschen der Farben erkennt.
  • : Jeder Teilgraph mit nur einer Ecke ist automatisch einfarbig.
  • : Entweder sind alle Kanten rot oder es gibt eine blaue Kante.

Zur Berechnung von R(3,3)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine 2-Färbung des K5 ohne monochromatisches K3

Das nebenstehende Bild zeigt, dass es möglich ist, den , also den vollständigen Graphen mit fünf Ecken, so mit zwei Farben rot und blau zu färben, dass weder ein rotes noch ein blaues Dreieck auftritt. Folglich gilt gewiss: bzw. .

Betrachtet man umgekehrt einen auf beliebige Weise rot-blau gefärbten und hierin eine beliebige Ecke , so tritt bei den fünf in endenden Kanten eine der beiden Farben, oBdA. rot, mindestens dreimal auf (Schubfachprinzip). Ist eine der Kanten zwischen den drei entsprechenden Endpunkten rot, so haben wir ein rotes . Andernfalls sind alle Kanten zwischen diesen drei Endpunkten blau, und wir haben ein blaues . In jedem rot-blau-gefärbten findet man also ein rotes oder ein blaues , d.h., es gilt: .

Insgesamt erhält man also .

Weitere Identitäten, Ungleichungen und Werte zu den Ramsey-Zahlen für vollständige Graphen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Allgemeinen gelten folgende Beziehungen:[2][3][4]

  •   für  
  •   für  
  •   für  
  •   für  
  •   für  

Aus der vorletzten Ungleichung erhält man so die folgende abgeleitete Ungleichung:

  •   für    .

Für den Fall lässt sich diese noch verschärfen:[5]

  •   für    .

Für den allgemeinen Fall   , bei dem beliebige Kantenfärbungen mit zwei, drei oder mehr Farben zugelassen sind, gilt:[6]

  •   für    .

Eine grobe Eingrenzung dieser Ramsey-Zahlen geben die folgenden Ungleichungen, bei deren Herleitung wesentlich auf probabilistische Methoden zurückgegriffen wurde:[7]

  •   für    .

Die exakten Werte für diese Ramsey-Zahlen zu Kantenfärbungen mit zwei Farben sind – von den einfachen Beispielen abgesehen – bislang allein für kleinere Graphen bekannt. Es sind:[8][9][10]

sowie

  •  .

Danach sind nur noch Abschätzungen geläufig wie etwa

oder

  •  .[11]

Über die Ramsey-Zahlen zu Kantenfärbungen mit drei oder mehr Farben ist exaktes Zahlenmaterial nur in sehr geringer Menge vorhanden. Hier kennt man nicht viel mehr als

  • [12]

und dann noch eine obere und untere Schranke zu Kantenfärbungen mit vier Farben:

  •  .[13]

Veranschaulichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Veranschaulichung der Bedeutung einer Ramsey-Zahl ist es hilfreich, diese in Zusammenhang zu bringen mit der Beantwortung der folgenden Frage:

  • Wie viele Gäste müssen zu einer Party zumindest erscheinen, wenn gewährleistet sein soll, dass von ihnen entweder (oder mehr) einander nicht kennen oder (oder mehr) einander kennen.

Setzt man hierbei die Relation des Einander-Kennens, verstanden im Sinne eines zweiseitigen Miteinander-Bekanntseins, gleich mit einer irreflexiven, symmetrischen (aber nicht notwendig transitiven) Relation, so gelangt man zu einem Graphen mit roten und blauen Kanten, indem man in dem Falle, dass sich irgendwelche zwei Gäste nicht kennen, eine rote Kante, jedoch im gegenteiligen Fall, wenn sie sich kennen, eine blaue Kante zeichnet.

Damit lässt sich etwa die Ramsey-Zahl sehr leicht bestimmen. Hier ist also und .

Haben wir dann drei beliebige Gäste, so können wir den vollständigen Graphen zeichnen und folgende mögliche Kantenfärbungen erzielen:

  • Alle Kanten werden rot gefärbt.
  • Alle Kanten werden blau gefärbt.
  • Zwei Kanten werden blau gefärbt und eine rot.
  • Zwei Kanten werden rot gefärbt und eine blau.

Für die drei Gäste bedeutet dies:

  • Keiner der Gäste kennt einen anderen.
  • Alle drei Gäste kennen sich untereinander.
  • Ein Gast kennt die beiden anderen Gäste, die einander jedoch nicht kennen.
  • Zwei Gäste kennen sich, sind aber nicht mit dem dritten Gast bekannt.

Insgesamt heißt dies für die Bestimmung von  :

Für eine Party, bei der von den erschienenen Gästen entweder mindestens drei einander nicht kennen oder mindestens zwei einander kennen, genügt es, wenn drei oder mehr Gäste erscheinen.

Der allgemeine Satz von Ramsey (endliche Version für uniforme Hypergraphen)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Version des Satzes von Ramsey für Graphen waren die zwei Farben Rot und Blau vorgegeben. Eine Rot-Blau-Kantenfärbung eines Graphen ist dabei ihrer mathematischen Bedeutung nach eine Abbildung von der Menge der Kanten des Graphen in die Menge . An die Stelle der -Menge lässt sich auch jede andere aus zwei Elementen bestehende Menge zur Markierung der Kanten wählen und insbesondere die -Menge . An die Stelle der Rot-Blau-Kantenfärbung tritt dann die Markierung der Kanten mit den Zahlen und . Auf diese Weise wird klar, dass eine Rot-Blau-Kantenfärbung einer Klasseneinteilung der Kanten in zwei Klassen gleichkommt.

Dieser Ansatz ist in mehrfacher Hinsicht verallgemeinerungsfähig. Dabei werden statt zweier Klassen endlich viele Klassen in beliebiger endlicher Anzahl betrachtet (also Stück), statt der Kanten (welche nichts weiter sind als -elementige Teilmengen der Knotenmenge von Graphen) beliebige -Teilmengen (mit ) von beliebigen endlichen Mengen und statt der zwei Zahlen beliebig vorgelegte natürliche Zahlen .

Dies führt zum allgemeinen Satz von Ramsey, der für den Fall der vollständigen (k-uniformen) Hypergraphen gilt:[14][15][16][17]

Zu jeder natürlichen Zahl   und je     beliebig gegebenen natürliche Zahlen mit gibt es stets eine von abhängende natürliche Zahl mit folgender Eigenschaft:
Ist eine natürliche Zahl mit und eine -elementige Menge und liegt irgendeine Zerlegung
des Mengensystems aller -Teilmengen von     in     Klassen vor,
so gibt es stets mindestens einen Index und eine Teilmenge     dergestalt, dass die Bedingungen:
und
erfüllt sind.

Höhere (klassische) Ramsey-Zahlen für uniforme Hypergraphen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kleinste natürliche Zahl, die als Zahl     im allgemeinen Satz von Ramsey bei gegebenem     und gegebenen     gewählt werden kann, heißt die zu     und     gehörige Ramsey-Zahl oder ähnlich. Eine solche Zahl nennt man auch eine höhere (klassische) Ramsey-Zahl (englisch k-hypergraph Ramsey number oder auch classical hypergraph Ramsey number).[18] Sie wird vielfach mit     oder in ähnlicher Weise bezeichnet.[19]

Identitäten, Ungleichungen und Werte zu den höheren Ramsey-Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit den im obigen Satz genannten Bezeichnungen gelten folgende Identitäten:[20][21][22][23]

  •   sowie   [24]
  •   für

Weiter ist für den Fall     noch die folgende Ungleichung gegeben:[25]

  •   für

Daneben gilt für den Fall     und     :

  •   für    .

Für   und   gibt es noch folgende Verschärfung:

  •   für    .[26]

Exakte Werte für die höheren Ramsey-Zahlen sind, soweit man von den aufgeführten einfachen Beispielen und den obigen Werten der Ramsey-Zahlen für kleine Graphen absieht, weitgehend unbekannt. Eine Ausnahme bildet die Ramsey-Zahl für     . Hier gilt:

  •   .

Die unendliche Version des Satzes von Ramsey[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die unendliche Version des Satzes von Ramsey ist diejenige, welche im Wesentlichen dem ursprünglich von Frank Plumpton Ramsey in 1930 vorgelegten Theorem entspricht. Sie lautet:[27]

Zu beliebig gegebenen natürlichen Zahlen , zu einer beliebig gegebenen unendlichen Menge und irgendeiner Zerlegung
des Mengensystems aller -Teilmengen von
gibt es stets mindestens einen Index und eine unendliche Teilmenge mit
  .

Es lässt sich zeigen, dass die unendliche Version des Satzes von Ramsey die endliche Version nach sich zieht.[28]

Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dieser Satz von Ramsey hat bemerkenswerte Konsequenzen, etwa in der Geometrie und in der Zahlentheorie. Unter anderem ergibt sich aus ihm das berühmte Happy Ending theorem von Erdős und Szekeres aus dem Jahre 1935 und eine erweiterte Version des Satzes von Schur.[29][30][31]

Happy Ending theorem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu jeder beliebig vorgegebenen natürlichen Zahl     existiert stets eine allein von     abhängige natürliche Zahl     mit der Eigenschaft, dass je     oder mehr Punkte der euklidischen Ebene, welche sich in allgemeiner Lage befinden, stets ein konvexes Vieleck mit     Eckpunkten enthalten.

Nach Halder und Heise lässt sich dieser Satz sogar noch etwas schärfer fassen:[32]

Zu jeder beliebig vorgegebenen natürlichen Zahl     existiert stets eine natürliche Zahl     mit der Eigenschaft, dass je     oder mehr Punkte der euklidischen Ebene zumindest     kollineare Punkte oder ein konvexes Vieleck mit     Eckpunkten enthalten.

Bezeichnet man die kleinste natürliche Zahl, welche zu vorgegebener natürlicher Zahl     dem Happy Ending theorem (in der ersten etwas schwächeren Version) genügt, mit     , so hat man für     folgenden exakten Wert:[33]

  •   .

Es sind also

  •   .

Darüber hinaus sind keine weiteren exakten Werte bekannt, sondern nur noch ein allgemeines Werteintervall:[34]

  •   für alle   .

Satz von Schur (erweiterte Version)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu je zwei beliebig vorgegebenen natürlichen Zahlen     mit     existiert stets eine kleinste natürliche Zahl     mit folgender Eigenschaft:
Ist     eine natürliche Zahl mit     und liegt für das Anfangsstück     irgendeine Zerlegung
in     Klassen vor,
so enthält mindestens eine der Mengen   ein   -Tupel     von (nicht notwendig verschiedenen) Zahlen, welche die Gleichung:
erfüllen.

Zusatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus dem von Halder und Heise gelieferten Beweis geht hervor, dass die mit dem schurschen Satz definierte Schur-Zahl     stets unterhalb der Ramsey-Zahl       liegt.[35]

Verallgemeinerung des Satzes von Ramsey für endliche einfache Graphen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der ramseysche Satzes behandelt im Fall der Graphen (s. Teil 1) die Frage, ob und wie sich hinreichend große vollständige Graphen finden lassen, so dass sich in solche     bei jeder Kantenfärbung mindestens einer von     vorgegebenen vollständigen Graphen als einfarbiger Teilgraph einbetten lässt.

Dieses Konzept ist dahingehend verallgemeinert worden, dass man nun von den     auf beliebige einfache Graphen     endlicher Ordnung übergeht. Auf diesem Wege erhält man die folgende Verallgemeinerung des Satzes von Ramsey für Graphen:[36][37][38]

Zu jeder natürlichen Zahl     und jeder beliebig vorgegebenen -Familie     von endlichen einfachen Graphen existiert stets eine natürliche Zahl     mit folgender Eigenschaft:
Ist     und     und liegt irgendeine Kantenfärbung von     mit     Farben vor, so existiert in ein einfarbiger Teilgraph, welcher das isomorphe Bild zumindest eines der Graphen   enthält.

Verallgemeinerte Ramsey-Zahlen für endliche einfache Graphen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kleinste natürliche Zahl, die als Zahl     in der Verallgemeinerung des Satzes von Ramsey für Graphen bei gegebenen gewählt werden kann, heißt die zu   gehörige (verallgemeinerte) Ramsey-Zahl (oder ähnlich) und wird mit     bezeichnet.[39]

Für sie gelten folgende allgemeine Beziehungen:[40][41]

  • [42]
  •   , wenn     [43]
  •   für jede Permutation  

Ebenso wie bei obigen Ramsey-Zahlen sind zu den verallgemeinerten Ramsey-Zahlen für einfache Graphen in nur einigen Fällen konkrete Ergebnisse bekannt. Dazu gehören die folgenden:

  • [44]
  •   für     ,     und Baumgraphen     mit   [45]
  •   für     Sterngraphen       , wobei     ist, sofern unter den natürlichen Zahlen     zwei oder mehr gerade Zahlen vorkommen und deren Anzahl ihrerseits eine gerade Zahl ist, und     sonst[46]

Asymptotische Abschätzungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Obwohl die klassischen Ramsey-Zahlen wie auch die verallgemeinerten Ramsey-Zahlen für Graphen nur in wenigen Fällen exakt bestimmt sind, lassen sie sich gewisse asymptotische Abschätzungen angeben. Das folgende Resultat, welches insbesondere auf Arbeiten von Miklós Ajtai, János Komlós und Endre Szemerédi (1980) sowie Jeong Han Kim (1995) zurückgeht, wird häufig genannt:[47][48]

  • Es existieren zwei reelle Konstanten     mit
          .[49]

Vermutungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt zu den klassischen Ramsey-Zahlen ebenso wie zu den verallgemeinerten Ramsey-Zahlen für Graphen eine Reihe von Vermutungen. Diese sind nicht selten mit Namen und Person von Paul Erdős verbunden. Dazu gehören die folgenden:

Vermutung von Erdős[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Paul Erdős äußerte im Jahre 1973 die folgende Vermutung, welche die Ramsey-Zahlen, die verallgemeinerten Ramsey-Zahlen für Graphen und deren chromatische Zahlen in Verbindung bringt:[50]

  • Hat ein endlicher einfacher Graph     die chromatische Zahl         , so gilt     . [51]

Vermutung von Bondy und Erdős[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

John Adrian Bondy und Paul Erdős stellten im Jahre 1973 die folgende Vermutung von Bondy und Erdős zu den Ramsey-Zahlen für Kreisgraphen auf:[52]

  • Es gilt für Kreisgraphen     , sofern     und ungerade ist, stets     .

Bislang gesichert ist, dass für derartige ungeraden Zahlen     immer die Ungleichung

Bestand hat.

Baum-Vermutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Stefan A. Burr und Paul Erdős äußerten in 1976 die sogenannte Baum-Vermutung (englisch Tree Conjecture):[53]

  • Für Baumgraphen     und     mit     ist stets     .

Erdős-Sós-Vermutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verknüpft mit der und dabei weiterreichend als die Baum-Vermutung – da sie diese impliziert – ist die Erdős-Sós-Vermutung, welche von Paul Erdős und Vera Turán Sós im Jahre 1963 aufgestellt wurde:[54][55]

  • In jedem endlichen einfachen Graphen     mit     Knoten und     (oder mehr) Kanten     ist von jedem beliebigen Baumgraphen     mit     Knoten immer ein isomorphes Bild als Teilgraph enthalten.

Vermutung von McKay und Radziszowski[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Vermutung von McKay und Radziszowski aus dem Jahre 1997 besagt:[56]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Originalarbeiten

Monographien

Handbücher

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise und Fußnoten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Die Wahl der Farben ist unwesentlich.
  2. Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. S. 150 ff.
  3. Die oben gemachten Überlegungen zur Bestimmung von R(3,3) deuten bereits einige der wesentlichen Ideen an, die zu der genannten rekursiven Abschätzung der Ramsey-Zahlen und dann auch zu einem Beweis des Satzes führen. Diese Abschätzung ist jedoch für eine exakte Bestimmung der Ramsey-Zahlen bei weitem nicht ausreichend.
  4. Die Ungleichungen gehen zurück auf die klassische Arbeit von Paul Erdős und George Szekeres aus dem Jahre 1935, mit welchem die beiden Autoren als erste den Satz von Ramsey mit Fragestellungen der Graphentheorie und Geometrie verknüpften. (Vgl. 1) Erdős-Szekeres: A combinatorial problem in geometry. In: Proc. London Math. Soc. 1935, S. 463 ff. 2) Graham-Rothschild-Spencer: S. 24 ff. 3) Handbook of Graph Theory. S. 838 ff.
  5. Volkmann: S. 359.
  6. Diese Ungleichung geht gemäß Lutz Volkmann auf eine Arbeit von E. J. Cockayne aus dem Jahr 1972 zurück. Vgl. Volkmann: S. 363.
  7. Erdős: Some remarks on the theory of graphs. In: Bull. Amer. Math. Soc. 1947, S. 292 ff.
  8. Graham-Rothschild-Spencer: S. 75.
  9. Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. S. 151, 592 ff.
  10. Handbook of Graph Theory. S. 840.
  11. Die untere Schranke von ergibt sich daraus, dass ein vollständiger zweigefärbter Graph mit Knoten gefunden wurde, welcher keinen vollständigen einfarbigen Untergraphen mit Knoten enthält. Vgl. Neunhäuserer: S. 31-32,182-183. Weitere aktuelle Abschätzungen (Stand November 2014) zu Kantenfärbungen mit zwei Farben sind im Artikel Ramsey's theorem des englischsprachigen Wikipedia nachzulesen.
  12. Greenwood-Gleason: Combinatorial relations and chromatic graphs. In: Canad. J. Math. 1955, S. 1 ff.
  13. Bondy-Murty: S. 249.
  14. Jacobs-Jungnickel: S. 105.
  15. Halder-Heise: S. 141–142.
  16. Harzheim: S. 299–301.
  17. Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. S. 150.
  18. Graham-Rothschild-Spencer: S. 90.
  19. Es gibt einige Bezeichnungsvarianten. Insbesondere ist die Wahl des bezeichnenden Buchstabens nicht einheitlich und zugleich kann auch die Position des     im Verhältnis zu den     wechseln. Statt des Großbuchstabens     findet man des Öfteren auch den Kleinbuchstaben     vor, dies vor allem in der Graphentheorie. Hier etwa tritt die Zahl     auch als Index auf. In diesem Sinne gilt also (vgl. Handbook of Graph Theory):
    •   .
    Bei manchen Autoren – zumindest denen der älteren Literatur, etwa bei Halder-Heise – ist als Funktionsbezeichner sogar der griechische Kleinbuchstabe     zu finden und es kommen noch weitere Bezeichnungsvarianten vor. Die hiesige Bezeichnung folgt im Wesentlichen der allgemeinen (nicht allein auf die Graphentheorie ausgerichteten) Bezeichnung bei Jacobs-Jungnickel bzw. der des Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics.
  20. Handbook of Graph Theory. S. 853.
  21. Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. S. 150.
  22. Jacobs-Jungnickel: S. 108.
  23. McKay-Radziszowski: The first classical Ramsey number for hypergraphs is computed. In: Proceedings of the Second Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. 1991, S. 304 ff.
  24. Dies stellt die Verbindung zwischen allgemeinen Ramsey-Zahlen und Ramsey-Zahlen für Graphen her.
  25. Halder-Heise: S. 138.
  26. Die letzten beiden Ungleichungen sind von oben übernommen.
  27. Jacobs-Jungnickel: S. 109–110.
  28. Jacobs-Jungnickel: S. 110.
  29. Jacobs-Jungnickel: S. 108–109.
  30. Siehe auch im englischsprachigen WIKIPEDIA unter: Happy Ending problem!
  31. Halder-Heise: S. 142–143.
  32. Halder-Heise: S. 140–141.
  33. Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. S. 832.
  34. Tóth-Valtr: Note on the Erdős–Szekeres theorem. In: Discrete Comput. Geom. Band 19, 1998, S. 457 ff.
  35. Halder-Heise: S. 143.
  36. Volkmann: S. 362 ff.
  37. Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. S. 592 ff.
  38. Handbook of Graph Theory. S. 838 ff.
  39. Diese Bezeichnung mit dem Kleinbuchstaben statt mit dem Großbuchstaben entspricht der üblichen Konvention der Graphentheorie (s. frühere Fußnote) und wird daher an dieser Stelle benutzt.
  40. Handbook of Graph Theory. S. 842 ff.
  41. Volkmann: S. 362 ff.
  42. Diese Gleichung stellt die Verbindung zu den klassischen Ramsey-Zahlen für vollständige Graphen her und belegt zugleich, dass es sich bei den verallgemeinerten Ramsey-Zahlen für endliche einfache Graphen in der Tat um einer Verallgemeinerung handelt.
  43. Dabei bezeichnet man mit     für eine Graphen     seine Ordnung, also die Anzahl seiner Knoten.
  44.   ist der Kreisgraph mit     Knoten und     Kanten.
  45. Chvátal: Tree-complete graph Ramsey numbers. In: J. Graph Theory. Band 1, 1977, S. 93.
  46. Burr-Roberts: On Ramsey numbers for stars. In: Utilitas Math. Band 4, 1973, S. 217 ff.
  47. Jukna: S. 67.
  48. Handbook of Graph Theory. S. 841 ff.
  49. Weitere Abschätzungen dieser Art finden sich im Artikel des englischsprachigen Wikipedia. Siehe hier!
  50. Bondy-Murty: Graph Theory with Applications. S. 250.
  51. Ob diese Vermutung von Erdős immer offen ist, kann derzeit (Stand Dezember 2014) nicht mit letzter Sicherheit gesagt werden. In ihrer erweiterten Monographie Graph Theory von 2008 haben Bondy und Murty diese Vermutung jedenfalls nicht mehr in die Liste der Unsolved Problems (S. 583 ff) aufgenommen.
  52. Handbook of Graph Theory. S. 843.
  53. Handbook of Graph Theory. S. 842.
  54. Bollobás: S. 135.
  55. Handbook of Graph Theory. S. 843.
  56. Neunhäuserer: S. 182–183.