Sechzehneck

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Ein regelmäßiges Sechzehneck

Ein Sechzehneck oder Hexadekagon ist ein Polygon mit 16 Seiten und 16 Ecken. Die Sechzehnecke können wie alle Polygone mit mind. vier Seiten in überschlagene und nicht überschlagene (einfache) Sechzehnecke unterteilt werden. Die einfachen wiederum in konkave und konvexe Sechzehnecke. Letztere lassen sich nach weiteren Kriterien wie Seitenlängen, Symmetrien oder Lage der Ecken unterscheiden.

Dieser Artikel behandelt im Folgenden das regelmäßige Sechzehneck – das konvex ist, sechzehn gleich lange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen – sowie regelmäßige überschlagene Sechzehnecke.

Regelmäßiges Sechzehneck[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schon bei den griechischen Mathematikern der Antike war bekannt, dass ein regelmäßiges Sechzehneck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Dies wird deshalb möglich, weil es auch aus einem Quadrat bzw. Achteck durch (fortgesetzte) Verdoppelung der Eckenzahl generiert werden kann.

Größen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Größen eines regelmäßigen Sechzehnecks
Innenwinkel

Größen des Sechzehnecks

Mittelpunktswinkel

(Zentriwinkel)

Seitenlänge
Umkreisradius
Inkreisradius
Höhe
Flächeninhalt

Mathematische Zusammenhänge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Innenwinkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die allgemeine Formel für Polygone liefert

Mittelpunktswinkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Mittelpunktswinkel oder Zentriwinkel wird von zwei benachbarten Umkreisradien eingeschlossen. In der allgemeinen Formel ist für die Variable die Zahl einzusetzen:

Seitenlänge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Berechnung der Seitenlänge denkt man sich das Sechzehneck in 16 kongruente Dreiecke (Bestimmungsdreiecke) zerlegt. Nimmt man die Hälfte eines solchen Dreiecks, also ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten , und sowie mit dem halben Zentriwinkel so gilt

durch Multiplikation mit erhält man

Algebraischer Ausdruck:

Umkreisradius[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Umkreisradius bei gegebener Seitenlänge beträgt

Algebraischer Ausdruck:

Inkreisradius[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch der Inkreisradius lässt sich mithilfe eines halbierten Bestimmungsdreiecks ermitteln. Es ergibt sich

durch Multiplikation mit erhält man

und weiter

wegen

gilt auch

Algebraischer Ausdruck:

Höhe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Höhe eines regelmäßigen Sechzehnecks ist das Doppelte des Inkreisradius.

Flächeninhalt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich aus In einem Bestimmungsdreieck ist die Höhe gleich dem Inkreisradius . Der Flächeninhalt des gesamten Sechzehnecks, d. h. 16 Bestimmungsdreiecke, beträgt also

Mit dem in Inkreisradius hergeleiteten Ausdruck für folgt daraus

Algebraischer Ausdruck:

Da die Anzahl der Seiten eines Sechzehnecks eine Zweierpotenz ist, kann die Fläche auch über den Umkreis mit dem Radius durch eine abgeleitete Formel aus Vietas Produktdarstellung der Kreiszahl Pi berechnet werden:

Geometrische Konstruktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei gegebenem Umkreis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im ersten Moment scheint es naheliegend, zuerst eine Seitenlänge des Achtecks mit dessen Umkreis zu zeichnen und anschließend den Mittelpunktswinkel zu halbieren, um die Seitenlänge des Sechzehnecks zu erhalten. Es ist jedoch auch möglich den Mittelpunktswinkel in weniger Konstruktionsschritten zu bestimmen.

Bild 1: Sechzehneck bei gegebenem Umkreis
  • ES beginnt (Bild 1) mit dem Einzeichnen des Durchmessers anschließend folgen um Punkt und je ein Kreisbogen mit Radius die sich in und schneiden. Die Verbindungslinie halbiert den Durchmesser in Nach dem Ziehen des Umkreises wird der so entstandene Schnittpunkt mit verbunden. Nun zieht man einen Kreisbogen um mit dem Radius der die Verbindungslinie in schneidet. Schließlich folgt eine Halbgerade ab dem Mittelpunkt durch bis sie den Umkreis im Eckpunkt schneidet. Somit ist die erste Seite des entstehenden Sechzehnecks gefunden. Nach dem Einzeichnen der restlichen fünfzehn Seiten ist das Sechzehneck fertiggestellt.
Der Mittelpunktswinkel mit der Winkelweite ergibt sich mithilfe der Innenwinkel des gleichschenkligen Dreiecks
daraus folgt
  • Eine alternative Konstruktion (Bild 2) halbiert den Umkreisradius und einen -Winkel.
Bild 2: Alternative Konstruktion eines regelmäßigen Sechzehnecks bei gegebenem Umkreis, Animation

Bei gegebener Seitenlänge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bild 3: Sechzehneck bei gegebener Seitenlänge, siehe Animation

Die Konstruktion eines regelmäßigen Sechzehnecks bei gegebener Seitenlänge (Bild 3) ist sehr ähnlich der des Achtecks bei gegebener Seitenlänge.)

Zuerst bezeichnet man die Endpunkte der Seitenlänge mit und Es folgen ein Kreisbogen mit dem Radius um den Punkt und ein zweiter mit gleichem Radius um ; es ergeben sich die Schnittpunkte und . Es geht weiter mit der Halbgeraden ab durch und der Parallelen zu ab dem Punkt , die den Kreisbogen um in schneidet. Nun wird der Punkt mit verbunden; es entsteht der Schnittpunkt . Anschließend halbiert eine Winkelhalbierende den Winkel ; sie schneidet die Halbgerade in . Somit ist der Mittelpunkt des entstehenden Sechzehnecks bestimmt. Den Mittelpunktswinkel liefert die zweite Halbgerade ab durch Nach dem Einzeichnen des Umkreises um und durch ergeben sich die Ecken und des Sechzehnecks. Jetzt, die noch fehlende Seitenlängen auf den Umkreis abtragen und abschließend die benachbarten Ecken zu einem fertigen Sechzehneck miteinander verbinden.

Der Mittelpunktswinkel mit der Winkelweite ergibt sich mithilfe der Innenwinkel des gleichschenkligen Dreiecks

daraus folgt

Regelmäßige überschlagene Sechzehnecke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein regelmäßiges überschlagenes Sechzehneck ergibt sich, wenn beim Verbinden der sechzehn Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßige Sterne mit Schläfli-Symbolen , wobei die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder -te Punkt verbunden wird.

Es gibt nur drei regelmäßige Sechzehnstrahlsterne, auch Hexadekagramme genannt.

Die „Sterne“ mit den Schläfli-Symbolen {16/2} und {16/14} sind regelmäßige Achtecke bzw. die mit den Schläfli-Symbolen {16/4} und {16/12} sind Quadrate. Die Sterne mit den Schläfli-Symbolen {16/6} und {16/10} sind Achtersterne, auch Oktogramme genannt.

Vorkommen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kunst[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der sechzehneckige Turm in Raffaels Vermählung Mariä
Ein sechzehneckiges Kachelmuster der Alhambra,
im Zentrum der Stern {16/7}, {16/9}


Im Girih Kachelmuster in der Alhambra treten unter anderem auch sechzehneckige Symmetrien auf.

Im frühen 16. Jahrhundert war Raffael der erste Maler, der eine perspektivische Darstellung eines regelmäßigen sechzehneckigen Gebäudes darstellte und zwar in dem Bild Vermählung Mariä.[1]

Architektur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sechzehneckig strukturierte Bauwerke sind z. B. das englische A La Ronde aus dem 18. Jahrhundert, der niederländische Leuchtturm Huisduinen des späten 19. Jahrhunderts und der ehemalige Panorama-Bau in Leipzig. Ebenso weisen sakrale Zentralbauten, wie insbesondere der Aachener Dom in der geometrischen Konzeption seines karolingischen Oktogons zusammen mit dem dieses umgebenden Umgang sowie die sechzehneckige Kapelle im Inneren des Magdeburger Doms[2], eine solche Struktur auf.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Commons: Sechzehnecke – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Veröffentlicht in Nexus III: Architecture and Mathematics, Kim Williams (Hrsg.): Ospedaletto, Pisa: Pacini Editore, 2000, S. 147–156.
  2. ottostadt magdeburg: Die sechzehneckige Kapelle. Otto der Große im Magdeburger Dom. Tourist Information Magdeburg, 12. September 2019, abgerufen am 23. September 2019.