Moment (Integration)

Als Moment werden in der Mathematik, Naturwissenschaften und Technik zusammenfassend Objekte oder Größen bezeichnet, die sich als Lebesgue-Integral über die Potenz einer Integrationsvariablen schreiben lassen. Die Potenz $n$ ist dabei eine natürliche Zahl und wird Ordnung oder Grad des Momentes $m$ genannt.

$m_{n}=\int _{\mathbb {R}}x^{n}\mathrm {d} \mu (x)$

Die Variable $x$ lässt sich als Abweichung oder Abstand interpretieren und kann anstatt aus ${\mathbb {R}}$ auch aus ${\mathbb {R}}^{d}$ oder ${\mathbb {C}}$ gewählt werden.

Momente verschiedener Art spielen wichtige Rollen in der Stochastik, technischen Mechanik und Bildverarbeitung. Ist $x$ beispielsweise eine Zufallsvariable, so erhält man als erstes Moment über das Wahrscheinlichkeitsmaß $\mu$ den Erwartungswert und als zweites Moment die Varianz einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Ist $x$ dagegen der Abstand zu einer Rotationsachse und $\mu$ eine Massenverteilung, so entspricht das erste Moment dem statischen Moment und das zweite dem Trägheitsmoment eines starren Körpers.

Die Aufgabe, aus vorgegebenen Momenten $m_{n}$ eine Verteilungsfunktion $\mu$ zu ermitteln, heißt Momentenproblem.

Kontinuierliche und diskrete Verteilungen

Besitzt $\mu$ eine Radon-Nikodým-Dichte $\rho$ so lässt sich das Integral schreiben als

$m_{n}=\int _{\mathbb {R}}x^{n}\rho (x)\mathrm {d} x$

wobei die Dichtefunktion $\rho$ eine Distribution ist. Wenn die Dichte keine kontinuierliche Verteilung ist sondern nur diskrete Werte $\alpha _{i}$ annimmt, wird das Integral zu einer Summe. $\rho$ lässt sich dann durch Delta-Distributionen ausdrücken:

$\rho (x)=\sum _{i}\alpha _{i}\delta (x-x_{i})$

Wenn man beispielsweise den Schwerpunkt von Massepunkten ausrechnen möchte, dann ist $x_{i}$ der Abstand und $\alpha _{i}$ die Masse der i-ten Punktmasse. Das n-te Moment wird dann einfach durch die Summe über die n-ten Momente der einzelnen Massenpunkte gewonnen.

$m_{n}=\sum _{i}x_{i}^{n}\alpha _{i}$

Vektorielle Berechnung eines Moments. Die Richtung des Moments zeigt senkrecht aus der Papierebene hinaus.

Momente erster Ordnung in drei Dimensionen

In der Physik lässt sich viele Momente als Vektor darstellen. Wählt man ein kartesisches Koordinatensystem, so ist bei einer solchen Konstruktion das Moment in z-Richtung durch den Abstand in x-Richtung und die "Dichte" in y-Richtung gegeben. Eine solche Größe ist beispielsweise das Drehmoment ($\rho$ ist die Kraft-Verteilung) oder das magnetische Moment ($\rho$ ist die Stromdichte-Verteilung). Möchte man das Moment als Vektor berechnen, lässt sich dies daher durch das Kreuzprodukt ${\vec {r}}\times {\vec {\rho }}$ ausdrücken. Das Gesamtmoment erster Ordnung ergibt sich dann zu:

${\vec {m}}_{1}=\int {\vec {r}}\times {\vec {\rho }}({\vec {r}})\mathrm {d} ^{3}r$

Momente höherer Ordnung in mehreren Dimensionen

Bei Momenten höherer Ordnung müssen die Komponenten in Richtung der Basisvektoren einzeln potentiert werden. So ergibt sich in zwei Dimensionen für das Moment p+q-ter Ordnung:

$m_{p+q}=\int x^{p}y^{q}\rho (x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y$

Beispielsweise bei der Berechnung von Flächenmomenten ($\rho =1$) werden Momente, bei denen die Potenz bis auf eine Richtung Null sind, (z.B. p=2, q=0) axiale Flächenmomente genannt. Das Moment mit p=1 und q=1 heißt gemischtes Moment oder Deviationsmoment. Werden statt kartesischen Koordinaten Polarkoordinaten verwendet, so wird das Moment, bei dem der Radius potentiert wird, polares Moment genannt.

Momente in der Mechanik

In der Mechanik übliche Integrationsvariablen sind Linien-, Flächen-, Volumen- und Massenelemente. Die Momente sind auf Punkte oder Achsen bezogen. Viele in der Mechanik vorkommende physikalische und rechnerische Größen lassen sich als Moment darstellen, worauf der in ihnen verwendete Teilbegriff „Moment” deutet.

Flächenmomente

Häufig gebrauchte, auf eine Achse bezogene Momente mit einem Flächenelement als Integrationsvariable sind die Flächenmomente:

$\int _{A}A^{n}\ f(A)\ dA$.

Da sie auf eine Achse – zum Beispiel auf die y-Achse eines kartesischen Koordinatensystems bezogen werden, lässt sich für das Flächenelement dA das Produkt f(x)·dx schreiben:

$\int _{x_{1}}^{x_{2}}x^{n}\ f(x)\,dx$.

Es handelt sich um das auf die y-Achse bezogene Moment n-ten Grades der zwischen der Kurve y=f(x) und den Abszissen x₁ und x₂ gelegenen Fläche. Beispielsweise ergibt sich für n=1 die x-Koordinate des Schwerpunkts dieser Fläche.
Die Begrenzung der Fläche in Richtung der y-Achse nimmt als f(x) den Platz der Funktion f(A) ein. Eine primäre Funktion f(A) entfällt, denn die Flächenelemente unterscheiden sich nicht.

Das Flächenträgheitsmoment

Das Flächenmoment zweiten Grades ist das Flächenträgheitsmoment I, das als Kenngröße für Querschnitte von Balken bei deren Festigkeits- und Verformungsberechnung dient:

$I_{x}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}y^{2}\ f(y)\ dy$.

Beim Rechteck (konstante Breite b und Höhe h) ist f(y)=b, das Integral lautet:

$I_{x}=b\ \int _{-h/2}^{+h/2}y^{2}\ dy=b\ {\frac {h^{3}}{12}}$.

Die Bezugsachse x führt durch den Flächenschwerpunkt, weshalb zwischen -h/2 und +h/2 zu integrieren ist.

Das Massenträgheitsmoment

Das Massenträgheitsmoment, auch die Drehmasse eines Körpers genannt, ist auf eine bestimmte Rotationsachse des Körpers bezogen. Das Massenträgheitsmoment eines Körpers gibt an, mit welcher Drehmasse sich der Körper einer Drehbeschleunigung (Winkelbeschleunigung) widersetzt. Es wird berechnet als Integral über alle Massenelmente dm oder über alle Volumenelemente dV eines Körpers. Integriert wird das Massenelemnt dm oder die Dichte ρ mal Volumenelement dV, multipliziert mit dem Quadrat des Achsabstandes r des Elementes:

$J=\int _{m}r^{2}\cdot dm=\int _{V}r^{2}\cdot \rho \cdot dV$.

Das ist ein Moment (Integral) zweiten Grades, bei dem aber die Basis der Potenz n nicht die Integrationsvariable ist (r ↔ m).

Als Beispiel wird ein homogener Zylinder (konstante Dichte ρ) mit Durchmesser R und Höhe h betrachtet. Das Massenelement wird zunächst durch ein Volumenelement dV ersetzt (dm = ρ·dV), das dann in die Integrationsvariablen dr, dφ und dz aufgelöst wird (dV = dr·rdφ·dz).

Die Integrationen r dφ und dz haben die Kreise r 2π und die Höhe h des Zylinders als Ergebnis. Übrig bleibt folgendes Moment (Integral):

$J=2\pi h\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\ dr$       $(=2\pi h\int _{0}^{R}r^{3}\ dr={\frac {\pi hR^{4}}{2}})$ .

Es ist dritten Grades und enthält wegen der angenommenen Homogenität keine Funktion f(r) des Linienelementes dr.

Das Kraft- oder Drehmoment

Zur Ermittlung des Kraft- oder Drehmomentes M ist meistens lediglich das Produkt aus Kraft F und Hebelarm x zu bilden. Mehrere Kräfte lassen sich zu einer resultierenden Kraft mit resultierendem Hebelarm zusammenfassen.

Anstatt einer oder mehrerer konzentrierter Kräfte liege eine linear verteilte Kraft (Linienkraft) Q(x) vor. Die Kraftelemente Q(x)·dx sind mit ihrem variablen Hebelarm x (Bezugspunkt sei bei x=0) zu multiplizieren und integral zusammenzufassen:

$M=\int _{x_{1}}^{x_{2}}x\cdot Q(x)\cdot dx$