Eulersche Zahl

Die eulersche Zahl $e=2{,}718281828459045235\dotso$ (benannt nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler) ist eine irrationale und sogar transzendente reelle Zahl.

Sie ist die Basis des natürlichen Logarithmus und der (natürlichen) Exponentialfunktion. Die Exponentialfunktion wird aufgrund dieser Beziehung zur Zahl $e$ häufig kurz $e$-Funktion genannt.

Die eulersche Zahl spielt in der gesamten Analysis und allen damit verbundenen Teilgebieten der Mathematik und insbesondere in der Differential- und Integralrechnung eine zentrale Rolle. Sie gehört zu den wichtigsten Konstanten der Mathematik.

Definition

Die Zahl $e$ kann unter anderem durch Grenzwertbildung definiert werden. Die beiden bekanntesten Darstellungen lauten:

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$   als Grenzwert einer Folge bzw. Funktion (je nachdem, ob man $n\in {\mathbb {N}}$ oder $n\in {\mathbb {R}}$ voraussetzt) und

$e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+\cdots$

als Reihe, mit $0!=1$ per Definition.

Mit $k!$ wird dabei die Fakultät von $k$, also das Produkt der natürlichen Zahlen bis hin zu $k$, bezeichnet. Beide Darstellungen entsprechen dem Funktionswert $\exp(1)=e^{1}$ der Exponentialfunktion (oder „$e$-Funktion“) an der Stelle 1; die Reihenschreibweise entspricht zudem der Taylorentwicklung der Exponentialfunktion um den Punkt null an der Stelle 1 ausgewertet.

Eigenschaften

Die eulersche Zahl $e$ ist eine transzendente (Beweis nach Charles Hermite, 1873) und damit irrationale Zahl (Beweis). Sie lässt sich also (wie auch die Kreiszahl $\pi$ nach Ferdinand von Lindemann 1882) weder als Bruch zweier natürlicher Zahlen noch als Lösung einer algebraischen Gleichung endlichen Grades darstellen und besitzt folglich eine unendliche nichtperiodische Dezimalbruchentwicklung. Das Irrationalitätsmaß von $e$ ist 2 und somit so klein wie möglich für eine irrationale Zahl, insbesondere ist $e$ nicht liouvillesch. Es ist nicht bekannt, ob $e$ zu irgendeiner Basis normal ist.

In der eulerschen Identität

$e^{\mathrm {i} \cdot \pi }=-1$

werden fundamentale mathematische Konstanten in Zusammenhang gesetzt: Die ganze Zahl 1, die eulersche Zahl $e$, die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen und die Kreiszahl $\pi$.

Die eulersche Zahl $e$ ist die einzige positive reelle Zahl, für welche gilt:

$\int _{1}^{e}{\frac {1}{x}}\,dx={1}.$

Sie tritt auch in der asymptotischen Abschätzung der Fakultät auf (siehe Stirlingformel):

${\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\leq n!\leq {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\cdot e^{\frac {1}{12n}}.$

Herkunft des Symbols $e$

Der Buchstabe $e$ für diese Zahl wurde zuerst von Euler 1736 in seinem Werk Mechanica benutzt. Es gibt keine Hinweise, dass dies in Anlehnung an seinen Namen geschah, ebenfalls ist unklar, ob er dies in Anlehnung an die Exponentialfunktion oder aus praktischen Erwägungen der Abgrenzung zu den viel benutzten Buchstaben a, b, c oder d machte. Obwohl auch andere Bezeichnungen in Gebrauch waren, etwa c in d'Alemberts Histoire de l'Académie, hat sich $e$ durchgesetzt.

Weitere Darstellungen für die eulersche Zahl

Die eulersche Zahl lässt sich auch durch

$e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}$

oder durch den Grenzwert des Quotienten aus Fakultät und Subfakultät beschreiben:

$e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{!n}}.$

Eine Verbindung zur Verteilung der Primzahlen wird über die Formeln

$e=\lim _{n\to \infty }({\sqrt[{n}]{n}})^{\pi (n)}$

$e=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\#}}$

deutlich, wobei $\pi (n)$ die Primzahlfunktion und das Symbol $n\#$ das Primorial der Zahl $n$ bedeutet.

Auch eher von exotischem Reiz als von praktischer Bedeutung ist die catalansche Darstellung

$e={\sqrt[{1}]{\frac {2}{1}}}\cdot {\sqrt[{2}]{\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\cdots$

Die Kettenbruchentwicklung von $e$ weist folgendes Muster auf, das sich bis ins Unendliche fortsetzt:

${\begin{aligned}e&=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,\dots ]\\&=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+\dotsb }}}}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}$

Anschauliche Interpretationen der eulerschen Zahl

Zinseszinsrechnung

Das folgende Beispiel macht die Berechnung der eulerschen Zahl nicht nur anschaulicher, sondern es beschreibt auch die Geschichte der Entdeckung der eulerschen Zahl: Ihre ersten Stellen wurden von Jakob Bernoulli bei der Untersuchung der Zinseszinsrechnung gefunden.

Den Grenzwert der ersten Formel kann man folgendermaßen deuten: Jemand zahlt am 1. Januar einen Euro auf der Bank ein. Die Bank garantiert ihm eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz $z=100\,\%$ pro Jahr. Wie groß ist sein Guthaben am 1. Januar des nächsten Jahres, wenn er die Zinsen zu gleichen Bedingungen anlegt?

Nach der Zinseszinsformel wird aus dem Startkapital $K_{0}$ nach $n$ Verzinsungen mit Zinssatz $z$ das Kapital

$K_{n}=K_{0}(1+z)^{n}.$

In diesem Beispiel sind $K_{0}=1$ und $z=100\,\%=1$, wenn der Zinszuschlag jährlich erfolgt, oder $z=1/n$, wenn der Zinszuschlag $n$-mal im Jahr erfolgt.

Bei jährlichem Zuschlag wäre

$K_{1}=1\cdot (1+1)^{1}=2{,}00.$

Bei halbjährlichem Zuschlag hat man $z=1/2$,

$K_{2}=1\cdot (1+1/2)^{2}=2{,}25,$

also schon etwas mehr. Bei täglicher Verzinsung ($z=1/365$) erhält man

$K_{365}=1\cdot (1+1/365)^{365}=2{,}714567.$

Wenn man momentan verzinst, wird $n$ unendlich groß, und man bekommt die oben angegebene erste Formel für $e$.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

$e$ ist auch häufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie anzutreffen: Beispielsweise sei angenommen, dass ein Bäcker für jedes Brötchen eine Rosine in den Teig gibt und diesen gut durchknetet. Danach enthält statistisch gesehen jedes $e$-te Brötchen keine Rosine. Die Wahrscheinlichkeit $p$, dass bei $n$ Brötchen keine der $n$ Rosinen in einem fest gewählten ist, ergibt im Grenzwert für $n\to \infty$ (37%-Regel):

$p=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {n-1}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}={\frac {1}{e}}.$

Charakterisierung der eulerschen Zahl nach Steiner

Im vierzigsten Band von Crelles Journal aus dem Jahre 1850 gibt der Schweizer Mathematiker Jacob Steiner eine Charakterisierung der eulerschen Zahl $e$, wonach $e$ als Lösung einer Extremwertaufgabe verstanden werden kann. Steiner zeigte nämlich, dass die Zahl $e$ charakterisierbar ist als diejenige eindeutig bestimmte positive reelle Zahl, welche beim Wurzelziehen mit sich selbst die größte Wurzel liefert. Wörtlich schreibt Steiner: Wird jede Zahl durch sich selbst radicirt, so gewährt die Zahl e die allergrößte Wurzel.

Steiner behandelt hier die Frage, ob für die Funktion

$f:(0,\infty )\to (0,\infty ),\;x\mapsto f(x)={\sqrt[{x}]{x}}=x^{\frac {1}{x}}$

das globale Maximum existiert und wie es zu bestimmen ist. Seine Aussage ist, dass es existiert und dass es angenommen wird in und nur in $x_{max}=e$.

In seinem Buch Triumph der Mathematik gibt Heinrich Dörrie eine elementare Lösung dieser Extremwertaufgabe. Sein Ansatz geht aus von der folgenden für die reelle Exponentialfunktion stets gültigen Ungleichung :

$e^{x}>1+x$     $(\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{0\})$

Damit gilt für alle positiven reellen Zahlen $x\neq e$ stets

$e^{\frac {x-e}{e}}>1+{\frac {x-e}{e}}$ .

Mittels einfacher Umformungen folgt unmittelbar

$e^{\frac {x}{e}}>x$

und schließlich

${\sqrt[{e}]{e}}>{\sqrt[{x}]{x}}$.

Bruchnäherungen

Für die Zahl $e$ und daraus abgeleitete Größen gibt es verschiedene näherungsweise Darstellungen mittels Brüchen. So fand Charles Hermite die folgenden Bruchnäherungen:

$e\approx {\frac {58291}{21444}}\approx 2,718289498$

$e^{2}\approx {\frac {158452}{21444}}\approx 7,38910651$

Hier weicht der erstgenannte Bruch um weniger als 0,0003 Prozent von $e$ ab.

Die optimale Bruchnäherung im dreistelligen Zahlenbereich, also die optimale Bruchnäherung  $e\approx {\frac {Z_{0}}{N_{0}}}$   mit   $N_{0},Z_{0}<1000$   , ist

$e\approx {\frac {878}{323}}\approx 2,718266254$.

Diese Näherung ist jedoch nicht die beste Bruchnäherung im Sinne der Forderung, dass der Nenner höchstens dreistellig sein soll. Die in diesem Sinne beste Bruchnäherung ergibt sich als 9-ter Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung der eulerschen Zahl:

$e\approx {\frac {1457}{536}}\approx 2,71828358\dots$ .

Aus den Näherungsbrüchen von Kettenbruckentwicklungen ergeben sich Bruchnäherungen beliebiger Genauigkeit für $e$ und daraus abgeleiteten Größen. Eine der klassischen Identitäten in diesem Zusammenhang ist die folgende, welche auf Leonhard Euler selbst zurückgeht:

${\frac {e^{\frac {2}{k}}+1}{e^{\frac {2}{k}}-1}}=[k;3k,5k,7k,\dots ]$     $(k=1,2,3,\dots )$

Insbesondere ergibt sich hier für $k=2$

${\frac {e+1}{e-1}}=[2;6,10,14,\dots ]\approx 2,16395341$

Euler hat ebenfalls die folgende Kettenbruchentwicklung gefunden:

${\frac {e-1}{2}}=[0;1,6,10,14,18,22,\dots ]\approx 0,8591409142295$

Mit diesen Kettenbruchentwicklungen findet man sehr effektiv beste Bruchnäherungen der eulerschen Zahl in beliebigen Zahlenbereichen. So erhält etwa im fünfstelligen Zahlenbereich die beste Bruchnäherung

$e\approx {\frac {49171}{18089}}\approx 2,718281828735\dots$  ,

welche zeigt, dass die von Charles Hermite für die eulersche Zahl im fünfstelligen Zahlenbereich gefundene Bruchnäherung noch nicht optimal war.

In gleicher Weise hat etwa C. D. Olds gezeigt, dass durch die Näherung

${\frac {e-1}{2}}\approx {\frac {342762}{398959}}$ 

für die eulersche Zahl eine weitere Verbesserung, nämlich

$e\approx {\frac {1084483}{398959}}\approx 2,7182818284585\dots$   ,

zu erzielen ist.

Sonstiges

Entwicklung der Anzahl der bekannten Nachkommastellen von $e$

Datum	Anzahl	Mathematiker
1748	23	Leonhard Euler
1853	137	William Shanks
1871	205	William Shanks
1884	346	J. Marcus Boorman
1946	808	?
1949	2.010	John von Neumann (berechnet auf dem ENIAC)
1961	100.265	Daniel Shanks & John Wrench
1981	116.000	Steve Wozniak (berechnet mithilfe eines Apple II)
1994	10.000.000	Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
Mai 1997	18.199.978	Patrick Demichel
August 1997	20.000.000	Birger Seifert
September 1997	50.000.817	Patrick Demichel
Februar 1999	200.000.579	Sebastian Wedeniwski
Oktober 1999	869.894.101	Sebastian Wedeniwski
21. November 1999	1.250.000.000	Xavier Gourdon
10. Juli 2000	2.147.483.648	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16. Juli 2000	3.221.225.472	Colin Martin & Xavier Gourdon
2. August 2000	6.442.450.944	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16. August 2000	12.884.901.000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
21. August 2003	25.100.000.000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
18. September 2003	50.100.000.000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
27. April 2007	100.000.000.000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
6. Mai 2009	200.000.000.000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
20. Februar 2010	500.000.000.000	Alexander Yee
5. Juli 2010	1.000.000.000.000	Shigeru Kondo

Die ersten 200 Nachkommastellen von $e$

Die Dezimalbruchentwicklung von $e$ mit Nennung der ersten 200 Nachkommastellen lautet:

${\begin{aligned}e=2{,}&71828\,18284\,59045\,23536\,02874\,71352\,66249\,77572\,47093\,69995\\&95749\,66967\,62772\,40766\,30353\,54759\,45713\,82178\,52516\,64274\\&27466\,39193\,20030\,59921\,81741\,35966\,29043\,57290\,03342\,95260\\&59563\,07381\,32328\,62794\,34907\,63233\,82988\,07531\,95251\,01901\ldots \end{aligned}}$

Literatur

• Brian J. McCartin e – the master of all, Mathematical Intelligencer, Band 28, 2006, Nr.2, S. 10–21 (der Artikel erhielt den Chauvenet-Preis, Online)
• Heinrich Dörrie: Triumph der Mathematik. Hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur. 5. Auflage. Physica-Verlag, Würzburg 1958. 
• Eli Maor: e - the story of a number, Princeton University Press 1994
• Eli Maor: Die Zahl e - Geschichte und Geschichten. Birkhäuser Verlag, Basel [u.a.] 1996, ISBN 3-7643-5093-8. 
• C. D. Olds: The simple continued fraction expansion of e. In: American_Mathematical_Monthly. Band 77, 1971, S. 968–974. 
• Oskar Perron: Irrationalzahlen. Nachdruck der 2., durchgesehenen Auflage [Berlin, 1939]. 4. durchgesehene und ergänzte Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin 2011, ISBN 978-3-11-083604-2, doi:10.1515/9783110836042.fm. 
• Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen - Band II: Analytisch-funktionentheoretische Kettenbrüche. Reprografischer Nachdruck der dritten, verbesserten und durchgesehenen Auflage, Stuttgart 1957. 4. durchgesehene und ergänzte Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02022-X. 
• J. Steiner: Über das größte Product der Theile oder Summanden jeder Zahl. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 40, 1850, S. 208. 
• David Wells: Das Lexikon der Zahlen. Aus dem Englischen von Dr. Klaus Volkert (Originaltitel: "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers"). Fischer Taschenbuch Verlag, Frankfurt / Main 1990, ISBN 3-596-10135-2. 

Weblinks

Commons: Eulersche Zahl – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: eulersche Zahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Eric W. Weisstein: e. In: MathWorld (englisch).
• Intuitiv verständliche Verbildlichung von e in einem interaktiven Java-Applet
• Verständliche Erklärung und Herleitung der eulerschen Zahl
• e auf eine Million Stellen bei Project Gutenberg (englisch)
• Ausführliche Informationen und Angaben zu relevanter Literatur (englisch)
• Folge A001113 in OEIS (Dezimalentwicklung von e)