Arkustangens und Arkuskotangens

Der Arkustangens – geschrieben $\rm arctan$, $\rm atan$ oder $\tan^{-1}$) – sowie Arkuskotangens – geschrieben $\rm arccot$, $\rm acot$, neuerdings auch $\cot^{-1}$ – sind die Umkehrfunktionen der eingeschränkten Tangens- und Kotangensfunktionen: Da Tangens und Kotangens periodische Funktionen sind, muss dabei zu ihrer Umkehrung der ursprüngliche Definitionsbereich des Tangens auf das Intervall $\left]-\pi/2; \pi/2\right[$ sowie der des Kotangens auf das Intervall $]0; \pi[$ beschränkt werden.

Zusammen mit Arkussinus und Arkuskosinus als Umkehrfunktionen des Sinus und Kosinus bildet der Arkustangens den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Aufgrund der heute für Umkehrfunktionen gebräuchlichen allgemeinen Schreibweise $f^{-1}$ beginnt dabei aber auch in diesem Fall die namentlich auf Taschenrechnern verbreitete Schreibweise $\tan^{-1}$ die klassische Schreibweise $\arctan$ zu verdrängen, was leicht zu Verwechslungen mit dem Kehrwert des Tangens, dem Kotangens, führen kann.

Eigenschaften

Graph der Funktion arctan(x)

Graph der Funktion arccot(x)

	Arkustangens	Arkuskotangens
Definitionsbereich	$x\in\mathbb R$	$x\in\mathbb R$
Wertebereich	$-\tfrac{\pi}{2} < f(x) < \tfrac{\pi}{2}$	$0 < f(x) < \pi$
Monotonie	streng monoton steigend	streng monoton fallend
Symmetrien	Ungerade Funktion: $\arctan(-x) = -\arctan x$	Punktsymmetrie zu $\left(x = 0, y = \tfrac{\pi}{2}\right)$ $\arccot x = \pi - \arccot(-x)$
Asymptoten	$f(x) \to\pm \tfrac{\pi}{2}$ für $x \to\pm\infty$	$f(x) \to \pi$ für $x \to -\infty$ $f(x) \to 0$ für $x \to + \infty$
Nullstellen	$x = 0$	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	keine	keine
Wendepunkte	$(0;0)$	$\left(0; \tfrac \pi 2 \right)$

Spezielle Werte

$x$	$0\!\,$	$2-\sqrt3$	$\sqrt{1-\textstyle\frac25\sqrt5}$	$\sqrt2-1$	$\textstyle\frac13\sqrt3$	$\sqrt{5-2\sqrt5}$	$1\!\,$	$\sqrt3$	$\infty$
$\arctan(x)$	$0\!\,$	$\frac{\pi}{12}$	$\frac{\pi}{10}$	$\frac{\pi}{8}$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{5}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$

Wegen der Punktsymmetrie gelten die entsprechenden Wertepaare auch im Negativen. Solche speziellen Werte gibt es unendlich viele, aufgelistet sind nur die einfachsten.

Reihenentwicklung

Die Taylorreihe des Arkustangens mit dem Entwicklungspunkt x=0 lautet:

$\arctan x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = x - \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{5} x^5 - \frac{1}{7} x^7 + \cdots$

Die Taylorreihe des Arkuskotangens mit dem Entwicklungspunkt x=0 lautet:

$\arccot x= \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}= \frac{\pi}{2}- x + \frac13 x^3 - \frac15 x^5 + \frac17 x^7- \cdots$

Diese Reihen konvergieren genau dann, wenn $|x| \le 1$ und $x\neq\pm i$ ist. Zur Berechnung des Arkustangens für $|x| > 1\!\,$ kann man ihn auf einen Arkustangens von kleineren Argumenten zurückführen. Dazu kann man entweder die Funktionalgleichung hernehmen, oder (um ohne π auszukommen) die Gleichung

$\arctan x = 2\arctan\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}$

Hiermit lässt sich das Argument nach mehrfacher Anwendung beliebig verkleinern, was eine sehr effiziente Berechnung durch die Reihe ermöglicht.

Berechnung der Kreiszahl $\boldsymbol{\pi}\!\,$ mit Hilfe des Arkustangens

Die Reihenentwicklung kann zur näherungsweisen Berechnung der Zahl π verwendet werden: Die einfachste Formel ist der Spezialfall $x=1$, die Leibniz-Formel

$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots$

Da sie nur sehr langsam konvergiert, verwendete John Machin 1706 die kompliziertere Formel

$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$

um die ersten 100 Nachkommastellen von π mit Hilfe der Taylorreihe für den Arkustangens zu berechnen. Letztere konvergiert schneller und wird auch heute noch für die Berechnung von π verwendet.

Funktionalgleichung

Die Arkustangenswerte über 1 oder unter −1 lassen sich aus den Werten zwischen −1 und 1 ableiten:

$\arctan \frac{1}{x} = \sgn(x)\cdot\frac{\pi}{2} - \arctan x$

Die Arkuskotangenswerte über 1 oder unter −1 lassen sich aus den Werten zwischen −1 und 1 ableiten:

$\arccot \frac{1}{x} = (2-\sgn(x)) \cdot \frac{\pi}{2} - \arccot x$

Ableitungen

Arkustangens:

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}=\cos^2(\arctan(x))$

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arctan(ax+b) = \frac{a}{1+(ax+b)^2}$

Arkuskotangens:

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccot(x) = -\frac{1}{1+x^2}$.

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccot(ax+b) = - \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arctan(ax+b)= - \frac{a}{1 + (ax+b)^2}$

Stammfunktionen

Arkustangens:

Der Arkustangens spielt eine wesentliche Rolle bei der symbolischen Integration von Ausdrücken der Form

$\frac1{ax^2+bx+c}.$

Ist die Diskriminante $D=b^2-4ac$ nicht negativ, so kann man eine Stammfunktion mittels Partialbruchzerlegung bestimmen. Ist die Diskriminante negativ, so kann man den Ausdruck durch die Substitution

$u=\frac{2ax+b}{\sqrt{-D}}$

in die Form

$\frac{4a}{-D}\,\frac1{1+u^2}$

bringen; eine Stammfunktion ist also

$\frac2{\sqrt{-D}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{-D}}.$

Eine Stammfunktion des Arkustangens selbst ist

$\int \arctan \frac{x}{a} \,\mathrm dx = x \, \arctan \frac{x}{a} - \frac{a}{2} \ln\left(a^2 + x^2\right).$

Arkuskotangens:

$F(x) = x \, \arccot x + \frac{1}{2}\, \ln \left( 1 + x^2 \right) + C$

$\int \arccot \frac{x}{a} \, \mathrm dx= x \, \arccot \frac{x}{a} + \frac{a}{2} \, \ln(a^2 + x^2)$

Komplexes Argument

$\arctan(a+b\,\mathrm{i}) = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac12 \!\left(\arctan \frac{a^2+b^2-1}{2a} + \frac\pi2 \sgn(a) \right) & \; a\neq0 \\ 0 & \; a=0,\, |b|\leq1 \\ \displaystyle \frac\pi2 \sgn(b) & \; a=0,\, |b|>1 \\ \end{array} \right\}$ $+ \mathrm{i} \cdot \frac12 \operatorname{artanh} \frac{2b}{a^2+b^2+1}$   mit $a,b \in \mathbb{R}$

$\arccot(a+b\,\mathrm{i}) = \frac\pi2 - \arctan(a+b\,\mathrm{i})$

Anmerkungen

Arkustangens:

Man kann den Arkustangens durch den komplexen Logarithmus ausdrücken:

$\arctan z=\frac{\ln(1+\mathrm iz)-\ln(1-\mathrm iz)}{2\mathrm i} = \frac{1}{2\mathrm i} \ln \frac{1+\mathrm iz}{1-\mathrm iz}$

für z in der 2-fach geschlitzten Ebene: $z \in \mathbb C ^= := \mathbb C\backslash \{ iy \, | \, y \in \mathbb R, |y| \geq 1 \}$

Arkuskotangens:

Man kann den Arkuskotangens durch einen komplexen Logarithmus ausdrücken:

$\arccot z=\frac{\pi}{2}-\frac{\ln(1+\mathrm iz)-\ln(1-\mathrm iz)}{2\mathrm i}$

Zwischen Arkustangens und Arkuskotangens besteht folgende Beziehung:

$\arccot z = \frac{\pi}{2} - \arctan z$

Näherungsweise Berechnung

Es gelten folgende Näherungen:

Arkustangens, maximale Abweichung unter 0,005 Radianten:

$\arctan x \approx \frac{x}{1 + 0{,}28x^2} \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad |x| \le 1$

$\arctan x \approx \frac{\pi}{2} - \frac{x}{x^2 + 0{,}28} \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad x > 1$

$\arctan x \approx - \frac{\pi}{2} - \frac{x}{x^2 + 0{,}28} \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad x < -1$

Eine weitere Berechnungsmöglichkeit bietet CORDIC.

Arkuskotangens:

$\arccot x \approx \frac{3x}{3x^2-1} \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad |x| \gg 1$

Der „Arkustangens“ mit zwei Argumenten (atan2)

Diese Funktion dient bei der Umrechnung von kartesischen Koordinaten $P(x;y)$ in Polarkoordinaten $P(r ; \varphi)$ der Ermittlung des Winkels $\varphi$. Da der einfache Arkustangens nicht die Möglichkeit bietet, den Winkel im korrekten Quadranten zu ermitteln, und außerdem die Tangensfunktion für einen Funktionswert von $\pm \tfrac{\pi}{2}$ nicht umkehrbar ist, gibt es in vielen Programmiersprachen eine Funktion, die mit 2 Argumenten aufgerufen wird. Sie wird üblicherweise mit $\operatorname{atan2}(y,x)$ bezeichnet.

Die Funktion $\operatorname{atan2}(y,x)$ kann über die folgende Eigenschaft definiert werden: Sind $x,y$ reelle Zahlen und $r=\sqrt{x^2+y^2}$, so gilt:

$x = r\cdot\cos(\operatorname{atan2}(y,x))$

$y = r\cdot\sin(\operatorname{atan2}(y,x))$

$\Big(r,\operatorname{atan2}(y,x)\Big)$ sind hierbei die Polarkoordinaten des Punktes mit den kartesischen Koordinaten $(x,y)$.

Definition

Darstellung von atan2(y,x) für x≠0

Eine von mehreren in der Praxis vorkommenden Definitionen:

$\operatorname{atan2}(y,x) := \begin{cases} \arctan\frac{y}{x} & \mathrm{f\ddot ur}\ x > 0\\ \arctan\frac{y}{x} + \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x < 0,\ y \geq 0\\ \arctan\frac{y}{x} - \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x < 0,\ y < 0\\ +\pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y > 0\\ -\pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y < 0\\ 0 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y = 0 \end{cases}$

Für $x = y = 0$ ist die Funktion manchmal nicht definiert. Auch Sonderfälle wie Not a Number und Inf werden unterschiedlich behandelt.

Wertebereich

Bei der o. g. Definition:

$-\pi < \operatorname{atan2}(y,x) \le \pi$

Anmerkungen

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die Funktion $\operatorname{atan2}(y,x)$ für (x,y) ≠ (0,0) über den Hauptwert des komplexen Logarithmus zu definieren:

$\operatorname{atan2}(y,x) =\arg(x+\mathrm i\,y) =\frac{1}{\mathrm i}\ln\frac{x+\mathrm i\,y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

Diese Funktion wird zum Beispiel in der inversen Kinematik genutzt, um korrekte Gelenkeinstellungen berechnen zu können.

Siehe auch

• Formelsammlung Trigonometrie
• Trigonometrische Funktionen

Weblinks

 Commons: Arkustangens und Arkuskotangens – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Trigonometrische Funktion

Primäre trigonometrische Funktionen
Sinus und Kosinus | Tangens und Kotangens | Sekans und Kosekans 

Umkehrfunktionen (Arkusfunktionen)
Arkussinus und Arkuskosinus | Arkustangens und Arkuskotangens | Arkussekans und Arkuskosekans 

Hyperbelfunktionen
Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus | Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus | Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus 

Areafunktionen
Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus | Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus | Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus