Siebzehneck

Regelmäßiges Siebzehneck

Das Siebzehneck oder Heptadekagon ist eine geometrische Figur, die zur Gruppe der Vielecke (Polygone) gehört. Es ist definiert durch siebzehn Punkte, die durch siebzehn Strecken zu einem geschlossenen Linienzug verbunden sind.

Dieser Artikel behandelt im Folgenden ausschließlich das regelmäßige Siebzehneck, das konvex ist, siebzehn gleich lange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.

Eigenschaften

Das Besondere an einem regelmäßigen Siebzehneck ist die Tatsache, dass es konstruierbar ist, das heißt, es kann unter alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal (den Euklidischen Werkzeugen) gezeichnet werden. Dies wurde von Carl Friedrich Gauß im Jahre 1796 nachgewiesen. Er zeigte, dass für den Kosinus des Zentriwinkels

$\cos {\frac {360^{\circ }}{17}}={\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}}}\right)$

gilt, woraus sich die Konstruierbarkeit ergibt. Außerdem lassen sich damit auch verschiedene Werte des Siebzehnecks wie Seitenlänge, Umfang, Inkreisradius und Fläche berechnen.

Größen eines regelmäßigen Siebzehnecks mit
dem Umkreisradius r_u , dem Zentriwinkel $\textstyle \mu ={\tfrac {360^{\circ }}{17}}$ und dem Umfangswinkel $\phi =180^{\circ }-\mu$

Seitenlänge	$s={\sqrt {2\left(1-\cos \mu \right)}}\cdot r_{u}$	$\approx 0{,}367499\cdot r_{u}$
Umfang	$U=17{\sqrt {2\left(1-\cos \mu \right)}}\cdot r_{u}$	$\approx 6{,}247484\cdot r_{u}$
Inkreisradius	$r_{i}={\sqrt {\frac {1+\cos \mu }{2}}}\cdot r_{u}$	$\approx 0{,}982973\cdot r_{u}$
Diagonale über zwei Seiten	$d_{2}=2{\sqrt {1-\cos ^{2}\mu }}\cdot r_{u}$	$\approx 0{,}722483\cdot r_{u}$
Fläche	$A={\frac {17}{2}}{\sqrt {1-\cos ^{2}\mu }}\cdot r_{u}^{2}$	$\approx 3{,}070554\cdot r_{u}^{2}$

Mathematischer Hintergrund

Datei:Stamps of Germany (DDR) 1977, MiNr 2215.jpg

Briefmarke der Deutschen Post der DDR von 1977: Gauß, Siebzehneck, Zirkel und Lineal

Der Entdeckung von Gauß liegt eine Auflösung der Kreisteilungsgleichung $x^{17}-1=0$ zugrunde, deren Lösungen – es handelt sich um die 17. Einheitswurzeln – in der Gaußschen Zahlenebene der komplexen Zahlen ein regelmäßiges Siebzehneck mit Radius 1 bilden. Diese Gleichung kann allein durch den Gebrauch geschachtelter Quadratwurzeln gelöst werden (siehe oben für den Realteil $\cos(2\pi /17)$ der Lösung $\zeta =e^{2\pi i/17}$, die entgegen dem Uhrzeigersinn zur Lösung 1 am nächsten liegt). Gauß erkannte 1796 als 18-Jähriger diese Möglichkeit „Durch angestrengtes Nachdenken … am Morgen … (ehe ich aus dem Bette aufgestanden war)“ aufgrund allgemeiner zahlentheoretischer Eigenschaften von Primzahlen, in diesem Fall konkret der Primzahl 17: Die modulo einer Primzahl $p$ gebildeten, von 0 verschiedenen Restklassen $1,\ldots ,{p-1}$ können nämlich als Potenzen $g^{0}=1,g^{1}=g,g^{2},\ldots ,g^{p-2}$ einer sogenannten Primitivwurzel $g$ dargestellt werden, wobei im Fall $p=17$ konkret $g=3$ gewählt werden kann:

${\begin{aligned}&1,\quad 3\cdot 1=3,\quad 3\cdot 3=9,\quad 3\cdot 9\mod 17=10,\quad 3\cdot 10\mod 17=13,\\&5,\;15,\;11,\;16,\;14,\;8,\;7,\;4,\;12,\;2,\;6\end{aligned}}$

Sortiert man nun die von 1 verschiedenen 17-ten Einheitswurzeln entsprechend, das heißt in der Reihenfolge

$\zeta ,\ \zeta ^{3},\ \zeta ^{9},\ \zeta ^{10},\ \zeta ^{13},\ \zeta ^{5},\ \zeta ^{15},\ \zeta ^{11},\ \zeta ^{16},\ \zeta ^{14},\ \zeta ^{8},\ \zeta ^{7},\ \zeta ^{4},\ \zeta ^{12},\ \zeta ^{2},\ \zeta ^{6},$

so erhält man durch Teilsummation von jeder zweiten, jeder vierten beziehungsweise jeder achten Einheitswurzel aus dieser Auflistung die sogenannten Gaußschen Perioden: zwei 8-gliedrige Perioden mit je 8 Summanden, vier 4-gliedrige Perioden mit je 4 Summanden und acht 2-gliedrige Perioden mit je 2 Summanden. Aufgrund prinzipieller Eigenschaften oder aber durch explizite Berechnung lässt sich dafür zeigen:

• Die beiden 8-gliedrigen Perioden sind Lösungen einer quadratischen Gleichung mit ganzen Koeffizienten.
• Die vier 4-gliedrigen Perioden sind Lösungen von zwei quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 8-gliedrigen Perioden berechenbar sind.
• Die acht 2-gliedrigen Perioden sind Lösungen von vier quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 4-gliedrigen Perioden berechenbar sind.

Dabei gilt für die zweigliedrige Periode zur „ersten“ Einheitswurzel $\zeta +\zeta ^{16}=\zeta +\zeta ^{-1}=2\cos(2\pi /17)$.

Der beschriebene Ansatz lässt sich analog für jede Primzahl der Form $2^{2^{k}}+1$ durchführen. Fünf solche Primzahlen, die „Fermatsche Primzahlen“ genannt werden, sind bekannt: 3, 5, 17, 257, 65537. Daher gehören auch das regelmäßige 257-Eck und das regelmäßige 65537-Eck zu den konstruierbaren Polygonen.

Konstruktion

Eine der ersten geometrischen Konstruktionsanleitungen für das regelmäßige Siebzehneck stammt von Magnus Georg Paucker, der sie 1819 der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst vorlegte, wo sie 1822 veröffentlicht wurde.

Konstruktionsskizze

Animation der Skizze

1. Zeichne auf dem horizontalen Durchmesser pa um den Mittelpunkt m den Umkreis des werdenden 17-Ecks
2. Errichte den senkrechten Durchmesser pA = pa auf p
3. Halbiere den Radius mp, in B
4. Verlängere pa ab p
5. Trage die Strecke AB ab B auf die Verlängerung ab, Schnittpunkt ist C
6. Halbiere pA in D
7. Halbiere pC in E
8. Trage die Strecke ED ab E auf die Verlängerung ab, Schnittpunkt ist F
9. Errichte den senkrechten Radius mG auf m
10. Halbiere mC in H
11. Trage die Strecke HG ab H auf pa ab, Schnittpunkt ist I
12. Konstruiere den Halbkreis über pF
13. Konstruiere den Halbkreis über pI, Schnittpunkt mit mG ist K
14. Zeichne die Parallele zu mP ab K, Schnittpunkt mit Halbkreis über pF ist L
15. Errichte die Senkrechte durch L auf mH, Schnittpunkt ist M
16. Zeichne den Kreisbogen mit Radius pM bis zum Umkreis, Schnittpunkt ist i
17. Trage die Strecke MF ab p auf dem Umkreis ab, Schnittpunkt ist c der Sehne pc, der Kreisbogen pca ist der doppelte Kreisbogen des 17-Ecks
18. Halbiere den Winkel cpa, Schnittpunkt ist b der Sehne pb, somit ist die Strecke ab die erste Seite des 17-Ecks
19. Trage die Strecke ab ab c fünfmal im Uhrzeigersinn auf dem Umkreis ab, es ergeben sich die Sehnen pd, pe, pf, pg und ph
20. Trage die Strecke ab ab i achtmal im Uhrzeigersinn auf dem Umkreis ab
21. Verbinde die so gefundenen Punkte zu einem vollständigen 17-Eck.

Eine weitere Konstruktion legte Johannes Erchinger 1825 der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen vor, die Gauß daraufhin in den Göttingischen Gelehrten Anzeigen besprach. Die folgende einfachere Konstruktion stammt von Herbert William Richmond aus dem Jahr 1893.

Konstruktionsskizze

Animation der Skizze

Ist der Umkreis um das entstehende Siebzehneck mit dem Mittelpunkt O gegeben, kann das Siebzehneck konstruiert werden durch:

1. Zeichnen des Durchmessers durch den Mittelpunkt O; Schnittpunkt mit Umkreis ist A.
2. Errichten des Radius senkrecht zu AO auf O bis zum Umkreis; Schnittpunkt mit Umkreis ist B.
3. Konstruktion des Punktes I durch Vierteln der Strecke BO; I liegt näher an O.
4. Konstruktion des Punktes E durch Vierteln des Winkels OIA.
5. Konstruktion des Punktes F mithilfe einer Senkrechte zu EI auf I; Halbierung des 90°-Winkels; Schnittpunkt mit Durchmesser ist F und Winkel FIE ist 45°.
6. Konstruktion des Thaleskreises über AF; Schnittpunkt mit BO ist K.
7. Zeichnen des Halbkreises um den Mittelpunkt E mit dem Radius EK; Schnittpunkte mit dem Durchmesser sind N₃ und N₅ (dabei liegt N₃ sehr nahe beim Mittelpunkt des Thaleskreises über AF).
8. Konstruktion der Tangente ab N₃; Schnittpunkt mit dem Umkreis ist der Eckpunkt P₃ des Siebzehnecks; der Kreisbogen OAP₃ ist somit 3/17 des Umkreisumfanges.
9. Konstruktion der Tangente ab N₅; Schnittpunkt mit dem Umkreis ist der Eckpunkt P₅ des Siebzehnecks; der Kreisbogen OAP₅ ist somit 5/17 des Umkreisumfanges.
10. Ein vierzehnmaliges Abtragen der Strecke AP₃ ab dem Eckpunkt P₃ gegen dem Uhrzeigersinn ergibt der Reihe nach die Eckpunkte P₆, P₉, P₁₂, P₁₅, P₁, P₄, P₇, P₁₀, P₁₃, P₁₆, P₂, P₈, P₁₁ und P₁₄.
11. Verbinden der so gefundenen Punkte P₁, P₂, …, P₁₇, P₁ vervollständigt das 17-Eck.

Siehe auch

• Kreisteilung

Literatur

• Godfrey Harold Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-921986-5, Kapitel 5.8: Construction of the regular polygon of 17 sides, S. 71–77. 
• Harold Scott MacDonald Coxeter: Introduction to Geometry. 2. Auflage. Wiley, 1989, ISBN 0-471-50458-0, S. 26–28 (buhoz.net [PDF]). 
• Karin Reich: Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825). In: Rüdiger Thiele (Hrsg.): Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm. GNT-Verlag, Berlin / Diepholz 2000, S. 101–118. 

Weblinks

Commons: Regelmäßiges Siebzehneck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Heptadecagon. In: MathWorld (englisch).