Benutzer:Reseka/Zweitor

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In der Theorie und Praxis der elektrischen Netzwerke versteht man unter einem Zweitor ein Modell für ein elektrisches Bauelement, eine elektrische Baugruppe oder ein beliebiges elektrisches Netzwerk mit vier Anschlüssen (Polen), bei dem je zwei Anschlüsse zu einem als Tor bezeichneten Klemmenpaar zusammengefasst werden. Man spricht dann von einem Tor, wenn als Torbedingung die elektrischen Stromstärken durch beide Anschlüsse eines Tors entgegengerichtet gleich sind. Ein Zweitor ist damit eine spezielle Form eines allgemeinen Vierpols und andererseits ein Spezialfall eines n-Tores.

Allgemeines

Zweitor als Blackbox mit symmetrischer „Bepfeilung“

Da bei einem allgemeinen Vierpol die Torbedingung nicht gelten muss, sind zu seiner Beschreibung drei Gleichungen mit drei Strom- und drei Spannungsvariablen notwendig. Bei nachfolgend ausschließlich behandelten Zweitoren, d.h. bei Vierpolen mit gültigen Torbedingungen und bei Dreipolen (z. B. Transistoren) werden dagegen nur zwei Gleichungen mit zwei Strom- und zwei Spannungsvariablen benötigt.

Aus historischen Gründen werden vor allem in der älteren Fachliteratur die Begriffe „Zweitor“ und „Vierpol“ synonym verwendet, d.h. unter dem Begriff „Vierpol“ (im engeren Sinne) wird implizit immer ein Zweitor verstanden. Ebenso werden die Bezeichnungen Zweitortheorie und Vierpoltheorie sowie Torbedingungen und Vierpolbedingungen gleichbedeutend benutzt.

Insbesondere bei den sogenannten Übertragungsvierpolen, die zur Übertragung und/oder Verarbeitung von analogen Signalen oder elektrischer Energie dienen, werden die Tore auch als Eingang und als Ausgang bezeichnet.

Zweitortheorie

Unter Zweitortheorie versteht man ein Teilgebiet der Elektrotechnik, das sich als ein Verfahren zur Analyse elektrischer Netzwerke mit der Verhaltensbeschreibung und Berechnung von linearen zeitinvarianten Zweitoren beschäftigt. Einerseits beschreibt sie die Zweitore nur durch ihre Zweitorparameter als Blackbox, andererseits stellt sie Ersatzschaltbilder und Verfahren zur Ermittlung des Verhaltens von zusammengesetzten Zweitoren bereit. Während sich die „klassische Vierpoltheorie“ im Wesentlichen mit der Analyse von passiven umkehrbaren Zweitoren beschäftigte, wurden mit Beginn der Analogelektronik auch aktive nichtumkehrbare Zweitore im Rahmen der Kleinsignaltheorie für Elektronenröhren, Transistoren und Operationsverstärker zum Gegenstand der „modernen Zweitortheorie“.

Die Zweitortheorie ist die Basis der Filtertheorie und -technik. Die Struktursynthese von Zweitoren („Vierpolsynthese“) ist nicht Gegenstand der Zweitortheorie, baut aber natürlicherweise auf ihren Erkenntnissen auf. Eine Verallgemeinerung der Zweitortheorie ist die n-Tor-Theorie (auch als Mehrtortheorie bezeichnet). Diese lässt beliebig viele Tore zu, unterscheidet nicht zwischen Ein- und Ausgangstoren und nutzt zur Beschreibung hauptsächlich Streuparameter.

Die Wurzeln der Zweitortheorie legte 1886 Oliver Heaviside mit der Theorie der homogenen Leitung, die damit ein erster Repräsentant eines Zweitors war. 1900 gab Mihajlo Pupin mit seiner Leitungsbespulung den Anstoß zu einer „Theorie der Kettenleiter”. George Ashley Campbell beschrieb 1903 einen Tiefpass als Filter und J. L. La Cour nutzte Kettengleichungen und Kettenparameter. 1915 begründete Karl Willy Wagner die Theorie der Kettenleiter und der allgemeinen Siebketten. Schließlich prägte 1921 Franz Breisig den Begriff „Vierpol”. Er baute in den 1920iger Jahren mit Julius Wallot die Vierpoltheorie zu einer selbständigen Theorie aus. Felix Strecker und Richard Feldtkeller schlossen 1929 die „Allgemeine Vierpoltheorie” durch Einführung der Matrizenrechnung ab. Die Verallgemeinerung der Erkenntnisse der klassischen Vierpoltheorie war gleichzeitig der Ausgangspunkt der Ausarbeitung einer Theorie linearer Systeme.

Zweitorgleichungen

Das Klemmenverhalten eines Zweitors wird durch zwei Zweitorgleichungen beschrieben, welche zwei Klemmenstromvariablen ($i_{1}$ und $i_{2}$) und zwei Klemmenspannungsvariablen ($u_{1}$ und $u_{2}$) zueinander in Beziehung setzen. Bei diesem Gleichungssystem kann es sich im Allgemeinen um implizite nichtlineare Differentialgleichungen handeln. Für eine handhabbare Theorie reduziert man ihre Komplexität auf zwei algebraische Gleichungen, indem man entweder nur resistive oder nur lineare Zweitore betrachtet.

Zählpfeilsysteme

Um das Verhalten eines Zweitors eindeutig zu beschreiben, müssen die Richtungen der Zählpfeile für die beiden Spannungen und die beiden Ströme definiert werden. Während für die Spannungen die „natürliche Richtung” (von oben nach unten) üblich ist, gibt es für die Ströme unterschiedliche Annahmen. Insbesondere wird die Pfeilrichtung des Ausgangsstromes $i_{2}$ verschieden festgelegt. In der Theorie, Literatur und Praxis existieren deshalb folgende Zählpfeilsysteme, deren Festlegungen sich in allen Zweitorgleichungen auf die Vorzeichen auswirken:

• In der klassischen Theorie der Übertragungsvierpole wird das sogenannte Kettenpfeilsystem benutzt, bei dem der Strompfeil von $i_{2}$ (anders als hier im Bild gezeigt) vom Zweitor weg zeigt. Deshalb kann die Kettenschaltung von Zweitoren durch eine einfache Matrizenmultiplikation berechnet werden.
• Dagegen wird bei Anwendung der Zweitortheorie in der elektronischen Schaltungstechnik heute meist das symmetrische Zählpfeilsystem verwendet. In diesem sind die Ströme zum Zweitor hin positiv definiert (siehe Bild). Damit lässt sich jedoch die Kettenschaltung von Zweitoren nur „umständlich“ berechnen.
• Aus diesen Gründen werden oft – wie auch in diesem Artikel – beide Zählpfeilsysteme kombiniert. Für die Widerstands-, Leitwert, Hybrid- und inverse Hybridform verwendet man das symmetrische Pfeilsystem, für die Ketten- und inverse Kettenform dagegen das Kettenpfeilsystem. Das wird für diese beiden Formen durch ein negatives Vorzeichen von $I_{2}$ in der unten aufgeführten Definitionstabelle der Zweitorparameter realisiert.

Beim Studium der Literatur zur Zweitor- bzw. Vierpoltheorie muss unbedingt die vom Autor zugrunde gelegte Variante ermittelt werden, um überhaupt Vergleiche der präsentierten Formeln durchführen zu können.

Die Gleichungen resistiver nichtlinearer Zweitore

Resistive Zweitore besitzen keine Blindwiderstände. Deshalb können sie durch nichtlineare algebraische Gleichungen beschrieben werden, die praktisch als Kennlinienfelder dargestellt werden. Ein typisches Beispiel ist der Bipolartransistor bei niedrigen Frequenzen. Er wird als Zweitor beispielsweise durch sein nichtlineares Hybrid-Kennlinienfeld beschrieben:

$u_{1}=f_{1}\left(i_{1},u_{2}\right)$

$i_{2}=f_{2}\left(i_{1},u_{2}\right)$

Besitzt ein resistives nichtlineares Zweitor im Arbeitspunkt stetige Kennlinien, dann können diese dort linearisiert werden. In diesem Fall wird das lineare Kleinsignalverhalten des nichtlinearen Zweitors durch zwei lineare Zweitorgleichungen mit vier das Zweitor beschreibende Zweitorparametern (Zweitorkoeffizienten) beschrieben. Beispielsweise kann das Kleinsignalverhalten des o. g. Transistors durch Linearisierung in folgender Weise geschrieben werden (üblicherweise wechselt man dann von der Kleinschreibung der Signalbezeichner zur Großschreibung):

$U_{1}=H_{11}\cdot I_{1}+H_{12}\cdot U_{2}$

$I_{2}=H_{21}\cdot I_{1}+H_{22}\cdot U_{2}$

Aufgrund der „ungleichmäßigen“ Anordnung der Variablen werden die Zweitorparameter $H_{11}$, $H_{12}$, $H_{21}$ und $H_{22}$ in diesem Beispiel als Hybridparameter bezeichnet.

Die Gleichungen linearer Zweitore

Für lineare Zweitore mit internen Blindwiderständen gehen die Differentialgleichungen unter Anwendung der symbolischen Methode der Wechselstromrechnung, der Laplacetransformation oder einer anderen Operatorenrechnung ebenfalls in ein Paar lineare algebraische Gleichungen über. Die vier das Zweitor beschreibenden Zweitorparameter sind damit im Allgemeinen von der (evtl. komplexen) Kreisfrequenz abhängige Operatoren, also Übertragungsfunktionen bzw. Frequenzgänge im Sinne der Theorie linearer Systeme.

Durch die Möglichkeiten bei der konkreten Auswahl der zwei abhängigen und der zwei unabhängigen Variablen für die explizite Schreibweise des Gleichungssystems gibt es genau sechs verschiedene Formen der Zweitorgleichungen. Jede Form ist jeweils für die Berechnung einer bestimmten Zusammenschaltung von Zweitoren besonders geeignet und erhält dadurch ihre Bezeichnung. Beispielsweise heißt die oben genannte Hybridform auch Reihen-Parallel-Form.

Die beiden linearen Zweitorgleichungen lassen sich vorteilhaft, aber nicht notwendigerweise, in Form von Matrizen schreiben. Für das oben genannte Beispiel erhält man

${\begin{bmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{21}&H_{22}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{bmatrix}}$

Die Matrix

${\begin{bmatrix}H\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{21}&H_{22}\end{bmatrix}}$

heißt dann Hybridmatrix oder Reihen-Parallel-Matrix.

Eigenschaften

Zweitore lassen sich anhand ihres Klemmenverhaltens, d. h. als Blackbox, oder aufgrund ihrer inneren Struktur wie folgt klassifizieren:

Linearität

Die Übertragungseigenschaften und Parameter von linearen Zweitoren sind unabhängig von der Größe der Spannungen und Stromstärken. Deshalb gilt für die Torströme und -spannungen der Überlagerungssatz. Ein Zweitor, das nur aus linearen Bauelementen (beispielsweise Widerstand, Spule, Kondensator und Übertrager) besteht, ist immer selbst linear.

Typische nichtlineare Zweitore sind Netzwerke mit mindestens einem nichtlinearen Bauelement und diese Bauelemente selbst, etwa Dioden oder Transistoren. Ihr Übertragungsverhalten hängt wesentlich von der Größe der Torströme und -spannungen ab. Eine annähernd lineare Beschreibung ist mittels der Kleinsignaltheorie bei stetigen Kennlinien und für kleine Amplituden möglich.

Nur lineare Zweitore sind Gegenstand der klassischen Vierpol- und der modernen Zweitortheorie. Nur für sie gelten die linearen Zweitorgleichungen und damit die weiter unten beschriebene Matrizendarstellung der Zweitorparameter.

Leistungsbilanz

Aktive Zweitore geben in mindestens einer äußeren Beschaltung (einem Betriebszustand) dauernd Energie „nach außen“ ab. Sie müssen deshalb eine innere Energiequelle besitzen. Diese wird im Ersatzschaltbild durch eine unabhängige ideale Quelle oder eine gesteuerte Quelle repräsentiert. Reale aktive Zweitore, etwa Verstärker, besitzen zu diesem Zweck aktive elektronische Bauelemente, welche die abzugebende Energie aus Hilfsenergiequellen (z. B. einem Netzteil) beziehen.

Für passive Zweitore ist eine dauerhafte Energieabgabe in keiner denkbaren Beschaltung möglich. Man nennt sie verlustbehaftet, wenn sie einen Teil der zugeführten Energie („im Inneren”) verbrauchen, also in andere Energieformen (oft Wärme) umsetzen. Daraus ergibt sich beispielsweise, dass die Ausgangswirkleistung $P_{2}$ immer kleiner als die Eingangswirkleistung $P_{1}$ sein muss. Im Ersatzschaltbild wird der Energieverlust durch ohmsche Widerstände deutlich gemacht.

Dagegen geben verlustlose passive Zweitore in jedem Betriebszustand die aufgenommene Energie auch wieder ab. Typisch ist das für Reaktanzzweitore (das sind sogenannte LCM-Zweitore, welche nur Blindschaltelemente enthalten), für den idealen Übertrager, für die ideale Leitung und den (idealen) Gyrator.

Symmetrieverhalten linearer Zweitore

In Bezug auf symmetrisches Verhalten von Zweitoren unterscheidet man (mit steigender Symmetrie) rückwirkungsfreie, nichtumkehrbare, umkehrbare und symmetrische Zweitore. Diese Einschränkung verringert die Anzahl der benötigten Zweitorparameter und beeinflusst die Form des Ersatzschaltbildes.

Umkehrbarkeit

Umkehrbare Zweitore (auch reziprok, kopplungssymmetrisch oder übertragungssymmetrisch) haben in beide Richtungen dasselbe Übertragungsverhalten, d. h. beispielsweise, dass sich das Verhältnis von Ausgangsstrom und Eingangsspannung bei kurzgeschlossenem Ausgang beim Vertauschen von Eingangs- und Ausgangsklemmenpaar nicht ändert. Diese Eigenschaft wird auch als Reziprozitätstheorem oder als Kirchhoffscher Umkehrungssatz bezeichnet. Somit erzeugt eine an Tor 1 angelegte Spannung $U_{1}$ am kurzgeschlossenen Tor 2 einen Strom $I_{2}$. Wird dieselbe Spannung an Tor 2 mit $U_{1}=U_{2}$ angelegt, wird derselbe Strom $I_{2}$ am kurzgeschlossenen Tor 1 erzeugt. Daraus ergibt sich $I_{2}=I_{1}$ wenn $U_{1}=U_{2}$ ist.

Reziproke Zweitore sind durch drei Zweitorparameter vollständig charakterisiert, denn für diese gelten dann folgende Einschränkungen:

${\begin{aligned}Z_{12}&=Z_{21}\\Y_{12}&=Y_{21}\\H_{12}&=-H_{21}\\P_{12}&=-P_{21}\\\det \mathbf {A} &=1\\\det \mathbf {B} &=1\end{aligned}}$

Alle Zweitore, die nur aus den passiven linearen Bauelementen Widerstand, Spule, Kondensator und Übertrager bestehen (RLCM-Zweitore), sind umkehrbar. Das gilt auch für (lineare) elektrische Leitungen und Antennensysteme.

Widerstandssymmetrie

Widerstandssymmetrische Zweitore (auch impedanzsymmetrisch oder richtungssymmetrisch) haben in Vor- oder Rückwärtsrichtung bei gleicher äußerer Beschaltung die gleichen Eingangs- bzw. Ausgangsinnenwiderstände. Sie sind durch drei Zweitorparameter vollständig charakterisiert, denn für die Parameter der Zweitorgleichungen gelten folgende Einschränkungen:

${\begin{aligned}Z_{11}=Z_{22}\\Y_{11}=Y_{22}\\\det \mathbf {H} =1\\\det \mathbf {P} =1\\A_{11}=A_{22}\\B_{11}=B_{22}\end{aligned}}$

Widerstandssymmetrische Zweitore müssen definitionsgemäß nicht reziprok sein.

Symmetrie

Bei symmetrischen Zweitoren (im engeren Sinn) sind Ein- und Ausgang miteinander vertauschbar. Wenn das auf ein Zweitor nicht zutrifft, so wird dieses als unsymmetrisch bezeichnet. Symmetrische Zweitore sind sowohl widerstandssymmetrisch als auch umkehrbar. Deshalb gilt für die Zweitorparameter:

${\begin{aligned}Z_{11}=Z_{22}&,Z_{12}=Z_{21}\\Y_{11}=Y_{22}&,Y_{12}=Y_{21}\\\det \mathbf {H} =1&,H_{12}=-H_{21}\\\det \mathbf {P} =1&,P_{12}=-P_{21}\\A_{11}=A_{22}&,\det \mathbf {A} =1\\B_{11}=B_{22}&,\det \mathbf {B} =1\end{aligned}}$

Symmetrische Zweitore sind somit schon durch zwei Zweitorparameter vollständig charakterisiert. Sie sind (per Definition) immer reziprok, jedoch sind reziproke Zweitore nicht immer symmetrisch. Obwohl die Ersatzschaltung von symmetrischen Zweitoren eine längssymmetrische Struktur besitzt, muss das im Allgemeinen auf ihre innere Struktur nicht zutreffen.

Rückwirkungsfreiheit

Hat eine sich (durch Belastung) verändernde Ausgangsgröße keinen Einfluss auf eine Eingangsgröße, so nennt man das Zweitor rückwirkungsfrei. Rückwirkungsfreie Zweitore sind ein „Extremfall“ nichtumkehrbarer Zweitore. Für die Parameter eines rückwirkungsfreien Zweitors gelten folgende Einschränkungen:

${\begin{aligned}Z_{12}&=0\\Y_{12}&=0\\H_{12}&=0\\P_{12}&=0\\\det \mathbf {A} &=0\\\mathbf {B} &{\text{ ist nicht definiert}}\end{aligned}}$

Damit sind die Eingangsgrößen $U_{1}$, $I_{1}$ von den Ausgangsgrößen $U_{2}$, $I_{2}$ unabhängig. Der Idealfall eines rückwirkungsfreien Zweitors ist die gesteuerte Quelle.

Strukturelle Eigenschaften von zusammengesetzten Zweitoren

Aufbausymmetrie

Bei längssymmetrischen Zweitoren kann in Querrichtung eine Symmetrielinie eingezeichnet werden. Längssymmetrische Zweitore sind immer auch symmetrisch (im engeren Sinne) und können mit besonderen Methoden analysiert werden.

Bei quersymmetrischen oder erdungssymmetrischen Zweitoren kann in Längsrichtung eine Symmetrielinie eingezeichnet werden. Das bedeutet, dass keine durchgehende Erdleitung vorhanden ist. Ein typisches Beispiel ist die sogenannte X-Schaltung. Die in der Praxis als Zweitor verwendeten Dreipole haben dagegen eine durchgehende Erdleitung und sind deshalb erdungsunsymmetrisch. Die Eigenschaft der Erdungssymmetrie hat keinen Einfluss auf die Zweitorparameter. Theoretisch kann man mit Hilfe von idealen Übertragern erdungssymmetrische Zweitore in erdungsunsymmetrische und umgekehrt verwandeln.

RLCM-Zweitore

Zweitore, welche nur aus den linearen Bauelementen Widerstand (R), Spule (L), Kondensator (C) und Übertrager (M) bestehen, nennt man in der Literatur RLCM-Zweitore. Sie sind immer umkehrbar und passiv. Enthalten sie keine ohmschen Widerstände, dann sind sie verlustlos und heißen Reaktanzzweitore. Enthalten sie ausschließlich ohmsche Widerstände, dann nennt man sie resistive Zweitore. Diese sind immer verlustbehaftet passiv.

Zweitorparameter

Definition der Parameter von linearen Zweitoren

Insgesamt gibt es 24 verschiedene Zweitorparameter, deren Bedeutung aus den Definitionsgleichungen in der folgenden Tabelle zu erkennen ist. Sie werden jeweils bei Kurzschluss oder Leerlauf an einem Tor berechnet oder gemessen. Dabei handelt es sich um 8 Eingangs- oder Ausgangs-Impedanzen bzw. -Admittanzen, 8 Spannungs- oder Stromübersetzungen in Vor- oder Rückwärtsrichtung und 8 sogenannte Kern-Impedanzen oder -Admittanzen in Vor- oder Rückwärtsrichtung.

Schaltung zur Impedanzmatrix

Unter der Voraussetzung der Existenz der jeweiligen Parameter lassen sich die Zweitorgleichungen in Form von Matrixgleichungen angeben. Bei nicht streng linearen Zweitoren werden eingeprägte Ströme und Spannungen je nach Bedarf zu diesen Gleichungen als Matrizen hinzu addiert.

Z-Charakteristik	${\begin{bmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Z_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{1}}}\right|_{I_{2}=0}&Z_{12}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{2}}}\right|_{I_{1}=0}\\Z_{21}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{1}}}\right|_{I_{2}=0}&Z_{22}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{2}}}\right|_{I_{1}=0}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}$	$\mathbf {Z}$: Impedanzmatrix, existent, falls die Torströme (I1 und I2) unabhängig wählbar sind. $Z_{11}$: Leerlauf-Eingangsimpedanz $Z_{12}$: Leerlauf-Kernimpedanz rückwärts (Rückwirkungswiderstand) $Z_{21}$: Leerlauf-Kernimpedanz vorwärts (Übertragungswiderstand) $Z_{22}$: Leerlauf-Ausgangsimpedanz
Y-Charakteristik	${\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{11}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{1}}}\right|_{U_{2}=0}&Y_{12}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{2}}}\right|_{U_{1}=0}\\Y_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{1}}}\right|_{U_{2}=0}&Y_{22}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{2}}}\right|_{U_{1}=0}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{bmatrix}}$	$\mathbf {Y}$: Admittanzmatrix, existent, falls die Torspannungen (U1 und U2) unabhängig wählbar sind. $Y_{11}$: Kurzschluss-Eingangsadmittanz $Y_{12}$: Negative Kurzschluss-Kernadmittanz rückwärts (Rückwirkungsleitwert) $Y_{21}$: Negative Kurzschluss-Kernadmittanz vorwärts (Steilheit) $Y_{22}$: Kurzschluss-Ausgangsadmittanz
H-Charakteristik	${\begin{bmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}H_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{1}}}\right|_{U_{2}=0}&H_{12}=\left.{\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right|_{I_{1}=0}\\H_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{I_{1}}}\right|_{U_{2}=0}&H_{22}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{2}}}\right|_{I_{1}=0}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{bmatrix}}$	$\mathbf {H}$: Hybridmatrix (Reihen-Parallel-Matrix), existent, falls I1 und U2 unabhängig wählbar sind. $H_{11}$: Kurzschluss-Eingangsimpedanz $H_{12}$: Leerlauf-Spannungsrückwirkung $H_{21}$: Negative Kurzschluss-Stromübersetzung (bzw. Stromverstärkung) $H_{22}$: Leerlauf-Ausgangsadmittanz
P-Charakteristik	${\begin{bmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_{11}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{1}}}\right|_{I_{2}=0}&P_{12}=\left.{\frac {I_{1}}{I_{2}}}\right|_{U_{1}=0}\\P_{21}=\left.{\frac {U_{2}}{U_{1}}}\right|_{I_{2}=0}&P_{22}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{2}}}\right|_{U_{1}=0}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}$	$\mathbf {P}$: Inverse Hybridmatrix (Parallel-Reihen-Matrix), existent, falls U1 und I2 unabhängig wählbar sind. $P_{11}$: Leerlauf-Eingangsadmittanz $P_{12}$: Negative Kurzschluss-Stromrückwirkung $P_{21}$: Leerlauf-Spannungsübersetzung $P_{22}$: Kurzschluss-Ausgangsimpedanz
A-Charakteristik	${\begin{bmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right|_{I_{2}=0}&A_{12}=\left.{\frac {U_{1}}{-I_{2}}}\right|_{U_{2}=0}\\A_{21}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{2}}}\right|_{I_{2}=0}&A_{22}=\left.{\frac {I_{1}}{-I_{2}}}\right|_{U_{2}=0}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}U_{2}\\-I_{2}\end{bmatrix}}$	$\mathbf {A}$: Kettenmatrix, existent, falls U2 und I2 unabhängig wählbar sind. $A_{11}$: Reziproke Leerlauf-Spannungsübersetzung $A_{12}$: Kurzschluss-Kernimpedanz vorwärts (reziproke Steilheit) $A_{21}$: Leerlauf Kernadmittanz vorwärts (Übertragungsleitwert) $A_{22}$: Reziproke Kurzschluss-Stromübersetzung
B-Charakteristik	${\begin{bmatrix}U_{2}\\-I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}B_{11}=\left.{\frac {U_{2}}{U_{1}}}\right|_{I_{1}=0}&B_{12}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{1}}}\right|_{U_{1}=0}\\B_{21}=\left.{\frac {-I_{2}}{U_{1}}}\right|_{I_{1}=0}&B_{22}=\left.{\frac {-I_{2}}{I_{1}}}\right|_{U_{1}=0}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{bmatrix}}$	$\mathbf {B}$: Inverse Kettenmatrix, existent, falls U1 und I1 unabhängig wählbar sind. $B_{11}$: Reziproke Leerlauf-Spannungsrückwirkung $B_{12}$: Negative Kurzschluss-Kernimpedanz rückwärts (Rückwirkungswiderstand) $B_{21}$: Negative Leerlauf-Kernadmittanz rückwärts (Rückwirkungsleitwert) $B_{22}$: Reziproke Kurzschluss-Stromrückwirkung

Hinweis: Statt des Symbols $\mathbf {P}$ werden auch $\mathbf {H'}$ oder $\mathbf {C}$ und statt des Symbols $\mathbf {B}$ wird auch $\mathbf {A'}$ verwendet.

Umrechnung der Matrizen

Wie die folgende Umrechnungstabelle zeigt, gelten im Fall der Existenz der Matrizen insbesondere folgende Beziehungen:

$\mathbf {Y} =\mathbf {Z} ^{-1}$

$\mathbf {P} =\mathbf {H} ^{-1}$

$\mathbf {B} =\mathbf {A} ^{-1}$

	$\mathbf {Z}$	$\mathbf {Y}$	$\mathbf {H}$	$\mathbf {P}$	$\mathbf {A}$	$\mathbf {B}$
$\mathbf {Z}$	${\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {Y_{22}}{\det \mathbf {Y} }}&{\dfrac {-Y_{12}}{\det \mathbf {Y} }}\\{\dfrac {-Y_{21}}{\det \mathbf {Y} }}&{\dfrac {Y_{11}}{\det \mathbf {Y} }}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {\det \mathbf {H} }{H_{22}}}&{\dfrac {H_{12}}{H_{22}}}\\{\dfrac {-H_{21}}{H_{22}}}&{\dfrac {1}{H_{22}}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {1}{P_{11}}}&{\dfrac {-P_{12}}{P_{11}}}\\{\dfrac {P_{21}}{P_{11}}}&{\dfrac {\det \mathbf {P} }{P_{11}}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {A_{11}}{A_{21}}}&{\dfrac {\det \mathbf {A} }{A_{21}}}\\{\dfrac {1}{A_{21}}}&{\dfrac {A_{22}}{A_{21}}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {-B_{22}}{B_{21}}}&{\dfrac {-1}{B_{21}}}\\{\dfrac {-\det \mathbf {B} }{B_{21}}}&{\dfrac {-B_{11}}{B_{21}}}\end{bmatrix}}$
$\mathbf {Y}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {Z_{22}}{\det \mathbf {Z} }}&{\dfrac {-Z_{12}}{\det \mathbf {Z} }}\\{\dfrac {-Z_{21}}{\det \mathbf {Z} }}&{\dfrac {Z_{11}}{\det \mathbf {Z} }}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}Y_{11}&Y_{12}\\Y_{21}&Y_{22}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {1}{H_{11}}}&{\dfrac {-H_{12}}{H_{11}}}\\{\dfrac {H_{21}}{H_{11}}}&{\dfrac {\det \mathbf {H} }{H_{11}}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {\det \mathbf {P} }{P_{22}}}&{\dfrac {P_{12}}{P_{22}}}\\{\dfrac {-P_{21}}{P_{22}}}&{\dfrac {1}{P_{22}}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {A_{22}}{A_{12}}}&{\dfrac {-\det \mathbf {A} }{A_{12}}}\\{\dfrac {-1}{A_{12}}}&{\dfrac {A_{11}}{A_{12}}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {-B_{11}}{B_{12}}}&{\dfrac {1}{B_{12}}}\\{\dfrac {\det \mathbf {B} }{B_{12}}}&{\dfrac {-B_{22}}{B_{12}}}\end{bmatrix}}$
$\mathbf {H}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {\det \mathbf {Z} }{Z_{22}}}&{\dfrac {Z_{12}}{Z_{22}}}\\{\dfrac {-Z_{21}}{Z_{22}}}&{\dfrac {1}{Z_{22}}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {1}{Y_{11}}}&{\dfrac {-Y_{12}}{Y_{11}}}\\{\dfrac {Y_{21}}{Y_{11}}}&{\dfrac {\det \mathbf {Y} }{Y_{11}}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{21}&H_{22}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {P_{22}}{\det \mathbf {P} }}&{\dfrac {-P_{12}}{\det \mathbf {P} }}\\{\dfrac {-P_{21}}{\det \mathbf {P} }}&{\dfrac {P_{11}}{\det \mathbf {P} }}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {A_{12}}{A_{22}}}&{\dfrac {\det \mathbf {A} }{A_{22}}}\\{\dfrac {-1}{A_{22}}}&{\dfrac {A_{21}}{A_{22}}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {-B_{12}}{B_{11}}}&{\dfrac {1}{B_{11}}}\\{\dfrac {-\det \mathbf {B} }{B_{11}}}&{\dfrac {-B_{21}}{B_{11}}}\end{bmatrix}}$
$\mathbf {P}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {1}{Z_{11}}}&{\dfrac {-Z_{12}}{Z_{11}}}\\{\dfrac {Z_{21}}{Z_{11}}}&{\dfrac {\det \mathbf {Z} }{Z_{11}}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {\det \mathbf {Y} }{Y_{22}}}&{\dfrac {Y_{12}}{Y_{22}}}\\{\dfrac {-Y_{21}}{Y_{22}}}&{\dfrac {1}{Y_{22}}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {H_{22}}{\det \mathbf {H} }}&{\dfrac {-H_{12}}{\det \mathbf {H} }}\\{\dfrac {-H_{21}}{\det \mathbf {H} }}&{\dfrac {H_{11}}{\det \mathbf {H} }}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}P_{11}&P_{12}\\P_{21}&P_{22}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {A_{21}}{A_{11}}}&{\dfrac {-\det \mathbf {A} }{A_{11}}}\\{\dfrac {1}{A_{11}}}&{\dfrac {A_{12}}{A_{11}}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {-B_{21}}{B_{22}}}&{\dfrac {-1}{B_{22}}}\\{\dfrac {\det \mathbf {B} }{B_{22}}}&{\dfrac {-B_{12}}{B_{22}}}\end{bmatrix}}$
$\mathbf {A}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {Z_{11}}{Z_{21}}}&{\dfrac {\det \mathbf {Z} }{Z_{21}}}\\{\dfrac {1}{Z_{21}}}&{\dfrac {Z_{22}}{Z_{21}}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {-Y_{22}}{Y_{21}}}&{\dfrac {-1}{Y_{21}}}\\{\dfrac {-\det \mathbf {Y} }{Y_{21}}}&{\dfrac {-Y_{11}}{Y_{21}}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {-\det \mathbf {H} }{H_{21}}}&{\dfrac {-H_{11}}{H_{21}}}\\{\dfrac {-H_{22}}{H_{21}}}&{\dfrac {-1}{H_{21}}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {1}{P_{21}}}&{\dfrac {P_{22}}{P_{21}}}\\{\dfrac {P_{11}}{P_{21}}}&{\dfrac {\det \mathbf {P} }{P_{21}}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {B_{22}}{\det \mathbf {B} }}&{\dfrac {-B_{12}}{\det \mathbf {B} }}\\{\dfrac {-B_{21}}{\det \mathbf {B} }}&{\dfrac {B_{11}}{\det \mathbf {B} }}\end{bmatrix}}$
$\mathbf {B}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {Z_{22}}{Z_{12}}}&{\dfrac {-\det \mathbf {Z} }{Z_{12}}}\\{\dfrac {-1}{Z_{12}}}&{\dfrac {Z_{11}}{Z_{12}}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {-Y_{11}}{Y_{12}}}&{\dfrac {1}{Y_{12}}}\\{\dfrac {\det \mathbf {Y} }{Y_{12}}}&{\dfrac {-Y_{22}}{Y_{12}}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {1}{H_{12}}}&{\dfrac {-H_{11}}{H_{12}}}\\{\dfrac {-H_{22}}{H_{12}}}&{\dfrac {\det \mathbf {H} }{H_{12}}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {-\det \mathbf {P} }{P_{12}}}&{\dfrac {P_{22}}{P_{12}}}\\{\dfrac {P_{11}}{P_{12}}}&{\dfrac {-1}{P_{12}}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {A_{22}}{\det \mathbf {A} }}&{\dfrac {-A_{12}}{\det \mathbf {A} }}\\{\dfrac {-A_{21}}{\det \mathbf {A} }}&{\dfrac {A_{11}}{\det \mathbf {A} }}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}}$

Umrechnung der Determinanten

	$\mathbf {Z}$	$\mathbf {Y}$	$\mathbf {H}$	$\mathbf {P}$	$\mathbf {A}$	$\mathbf {B}$
$\det \mathbf {Z}$	$Z_{11}\cdot Z_{22}-Z_{12}\cdot Z_{21}$	${\frac {1}{\det \mathbf {Y} }}$	${\frac {H_{11}}{H_{22}}}$	${\frac {P_{22}}{P_{11}}}$	${\frac {A_{12}}{A_{21}}}$	${\frac {B_{12}}{B_{21}}}$
$\det \mathbf {Y}$	${\frac {1}{\det \mathbf {Z} }}$	$Y_{11}\cdot Y_{22}-Y_{12}\cdot Y_{21}$	${\frac {H_{22}}{H_{11}}}$	${\frac {P_{11}}{P_{22}}}$	${\frac {A_{21}}{A_{12}}}$	${\frac {B_{21}}{B_{12}}}$
$\det \mathbf {H}$	${\frac {Z_{11}}{Z_{22}}}$	${\frac {Y_{22}}{Y_{11}}}$	$H_{11}\cdot H_{22}-H_{12}\cdot H_{21}$	${\frac {1}{\det \mathbf {P} }}$	${\frac {A_{11}}{A_{22}}}$	${\frac {B_{22}}{B_{11}}}$
$\det \mathbf {P}$	${\frac {Z_{22}}{Z_{11}}}$	${\frac {Y_{11}}{Y_{22}}}$	${\frac {1}{\det \mathbf {H} }}$	$P_{11}\cdot P_{22}-P_{12}\cdot P_{21}$	${\frac {A_{22}}{A_{11}}}$	${\frac {B_{11}}{B_{22}}}$
$\det \mathbf {A}$	${\frac {Z_{12}}{Z_{21}}}$	${\frac {Y_{12}}{Y_{21}}}$	$-{\frac {H_{12}}{H_{21}}}$	$-{\frac {P_{12}}{P_{21}}}$	$A_{11}\cdot A_{22}-A_{12}\cdot A_{21}$	${\frac {1}{\det \mathbf {B} }}$
$\det \mathbf {B}$	${\frac {Z_{21}}{Z_{12}}}$	${\frac {Y_{21}}{Y_{12}}}$	$-{\frac {H_{21}}{H_{12}}}$	$-{\frac {P_{21}}{P_{12}}}$	${\frac {1}{\det \mathbf {A} }}$	$B_{11}\cdot B_{22}-B_{12}\cdot B_{21}$

Zusammenschaltung von Zweitoren

Zwei Zweitore können unter der Voraussetzung, dass die oben genannte Torbedingung an mindestens einem Tor erfüllt wird, zu einem neuen Zweitor zusammengeschaltet werden. Zur Überprüfung der Zulässigkeit der Zusammenschaltung dient der Brune-Test. Die Parameter des neu entstandenen Zweitors lassen sich aus den Parametern der beiden verschalteten Zweitore errechnen. Für jede Verschaltungsart gibt es eine Matrizendarstellung, mit der sich die Gesamtmatrix der Verschaltung besonders gut berechnen lässt. Insgesamt existieren fünf verschiedene Kombinationsmöglichkeiten von zwei Zweitoren:

Kombination	Blockstruktur	Matrizenoperation
Reihenschaltung		$\mathbf {Z_{ges}} =\mathbf {Z_{1}} +\mathbf {Z_{2}}$
Parallelschaltung		$\mathbf {Y_{ges}} =\mathbf {Y_{1}} +\mathbf {Y_{2}}$
Reihen-Parallelschaltung		$\mathbf {H_{ges}} =\mathbf {H_{1}} +\mathbf {H_{2}}$
Parallel-Reihenschaltung		$\mathbf {P_{ges}} =\mathbf {P_{1}} +\mathbf {P_{2}}$
Kettenschaltung		$\mathbf {A_{ges}} =\mathbf {A_{1}} \cdot \mathbf {A_{2}}$ oder $\mathbf {B_{ges}} =\mathbf {B_{2}} \cdot \mathbf {B_{1}}$

Elementar-Zweitore

Elementar-Längszweitor

Das Elementar-Längszweitor enthält lediglich einen Zweipol mit der Impedanz $Z_{l}$ in der oberen Längsachse zwischen den oberen Polen des Zweitors. Es gibt keine Verbindung zwischen den Polen in der Querachse.

${\begin{bmatrix}A_{l}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&Z_{l}\\0&1\end{bmatrix}}$

Elementar-Querzweitor

Das Elementar-Querzweitor enthält lediglich einen Zweipol mit der Admittanz $Y_{q}$ in der Querachse des Zweitors, aber keine Elemente in der Längsachse.

${\begin{bmatrix}A_{q}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\Y_{q}&1\end{bmatrix}}$

Γ-Zweitor

Das Γ-Zweitor ist eine Kettenschaltung aus Elementar-Querzweitor und Elementar-Längszweitor. Seine Kettenmatrix bildet sich aus den Kettenmatrizen der Elementar-Zweitore durch Matrizenmultiplikation wie folgt:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A_{\Gamma }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{l}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}1&0\\Y_{q}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&Z_{l}\\0&1\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&Z_{l}\\Y_{q}&(Y_{q}Z_{l}+1)\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Gespiegeltes Γ-Zweitor

Das gespiegelte Γ-Zweitor ist eine Kettenschaltung aus Elementar-Längszweitor und Elementar-Querzweitor. Seine Kettenmatrix bildet sich aus den Kettenmatrizen der Elementar-Zweitore wie folgt:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A_{}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{l}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{q}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}1&Z_{l}\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\Y_{q}&1\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}(Y_{q}Z_{l}+1)&Z_{l}\\Y_{q}&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Ideale Zweitore

Ein ideales Zweitor dient als fiktives Bauelement in der Netzwerktheorie und in Ersatzschaltungen, kann aber bei Bedarf (meist nur mit Hilfe von realen aktiven Bauelementen) angenähert nachgebildet werden. Ideale Zweitore lassen sich nach der „Besetzung“ ihrer Kettenmatrix klassifizieren:

• Beim Nullor sind alle Elemente der Kettenmatrix 0. Er ist das Modell eines idealen Operationsverstärkers mit unendlicher Verstärkung.
• Bei einer gesteuerten Quelle ist genau ein Element der Kettenmatrix ungleich 0. Deshalb gibt es vier sich unterschiedlich verhaltende Varianten. Gesteuerte Quellen modellieren ideale rückwirkungsfreie Verstärker und werden unbedingt in Ersatzschaltbildern von realen aktiven oder/und nichtumkehrbaren Zweitoren benötigt.
• Bei einem Impedanzkonverter sind nur die Elemente der Hauptdiagonale der Kettenmatrix ungleich 0. Er kann eine an seinem Ausgang angeschlossene Impedanz durch Multiplikation mit einem Konversionsfaktor in eine quantitativ und qualitativ andere Impedanz an seinem Eingang „umwandeln“. Wichtige Spezialfälle sind der Negativimpedanzkonverter (NIC) und der ideale Übertrager. Letzterer beinhaltet beim Übersetzungsverhältnis von +1 oder -1 außerdem die durchgehende bzw. gekreuzte Verbindung als Zweitor.
• Beim Impedanzinverter sind dagegen nur die Elemente der Nebendiagonale der Kettenmatrix ungleich 0. Er kann eine an seinem Ausgang angeschlossene Impedanz in ihre duale Impedanz durch Kehrwertbildung (Inversion) wandeln. Der praktisch wichtigste Anwendungsfall ist der Gyrator, welcher beispielsweise aus einer Kapazität eine Induktivität machen kann.

Ersatzschaltungen

Zur Vereinfachung von Rechnungen können komplexe Zweitore mithilfe entsprechender Zweitorparameter zu vereinfachten Schaltungen zusammengefasst werden. Die Ersatzschaltungen stellen keine Anleitung zur physikalischen Realisierung dar.

T-Ersatzschaltung

T-Ersatzschaltung

Die T-Ersatzschaltung ermöglicht die Darstellung eines beliebigen Zweitors mithilfe der Ersatzimpedanzen. Bei umkehrbaren Zweitoren entfällt die gesteuerte Spannungsquelle. Es kann aus einem Elementar-Längszweitor und einem Γ-Zweitor oder entsprechend aus einem gespiegelten Γ-Zweitor und einem Elementar-Längszweitor synthetisiert werden. Nachfolgende Zusammensetzung beschreibt letzteres:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A_{T}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{\Gamma }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{l}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}(Y_{q}Z_{l1}+1)&Z_{l1}\\Y_{q}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&Z_{l2}\\0&1\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}(Y_{q}Z_{l1}+1)&{Z_{l2}Y_{q}Z_{l1}+Z_{l2}+Z_{l1}}\\Y_{q}&{Y_{q}Z_{l2}+1}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

π-Ersatzschaltung

π-Ersatzschaltung

Die π-Ersatzschaltung ermöglicht die Darstellung eines beliebigen Zweitors mithilfe der Ersatzadmittanzen. Bei umkehrbaren Zweitoren entfällt die gesteuerte Stromquelle. Es kann aus einem Elementar-Querzweitor und einem gespiegeltem Γ-Zweitor oder entsprechend aus einem Elementar-Querzweitor und einem Γ-Zweitor synthetisiert werden. Nachfolgende Zusammensetzung beschreibt letzteres:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A_{\Pi }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{\Gamma }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{q}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}1&Z_{l}\\Y_{q1}&(Y_{q1}Z_{l}+1)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\Y_{q2}&1\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}{1+Z_{l}Y_{q2}}&Z_{l}\\{Y_{q1}+Y_{q1}Z_{l}Y_{q2}+Y_{q2}}&{Y_{q1}Z_{l}+1}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Weitere Zweitorparameter

Neben der Charakterisierung eines Zweitors durch die oben beschriebenen Zweitorparameter gibt es für besondere Anwendungszwecke auch andere Darstellungsformen. So kann ein lineares Zweitor auch durch sogenannte Streuparameter beschrieben werden. Diese Darstellungsform ist vor allem im Bereich der Hochfrequenztechnik üblich, da dabei die Anschlüsse des Zweitors nicht kurzgeschlossen bzw. leerlaufen müssen, sondern im Regelfall durch ihre Wellenimpedanz abgeschlossen sind.

Zwischen den S-Parametern und den oben erwähnten Y-Parametern der Admittanzmatrix eines Zweitors besteht mit der Wellenimpedanz Z_W folgender Zusammenhang:

$Y_{11}={\frac {1}{Z_{w}}}{\frac {1-S_{11}+S_{22}-\Delta _{S}}{1+S_{11}+S_{22}+\Delta _{S}}}$

$Y_{12}={\frac {1}{Z_{w}}}{\frac {-2S_{12}}{1+S_{11}+S_{22}+\Delta _{S}}}$

$Y_{21}={\frac {1}{Z_{w}}}{\frac {-2S_{21}}{1+S_{11}+S_{22}+\Delta _{S}}}$

$Y_{22}={\frac {1}{Z_{w}}}{\frac {1+S_{11}-S_{22}-\Delta _{S}}{1+S_{11}+S_{22}+\Delta _{S}}}$

mit der Abkürzung:

$\Delta _{S}={\det \mathbf {S} }=S_{11}S_{22}-S_{12}S_{21}$

Symmetrische lineare Zweitore werden für ihre Anwendung in der Theorie der Siebschaltungen (Wellenparametertheorie) durch die sogenannten Wellenparameter beschrieben. Die zwei das Zweitor beschreibenden Parameter sind dabei die Wellenimpedanz und das Wellenübertragungsmaß.

Betriebsparameter

Während die Zweitorparameter im Kurzschluss oder Leerlauf definiert und damit unabhängig von der äußeren Beschaltung sind, benötigt man zur Beurteilung des Zweitorverhaltens in einer Schaltung die sogenannten Zweitor-Betriebsparameter (Zweitor-Betriebsgrößen, Zweitor-Charakteristiken, charakteristische Zweitor-Widerstände). Das sind beispielsweise die Eingangsimpedanz und die Spannungsübersetzung bzw. -verstärkung. Sie hängen sowohl von den Zweitor-Parametern, als auch von der äußeren Beschaltung des Zweitors ab.

Zur Definition der Betriebsparameter im Vorwärtsbetrieb wird das Zweitor am Ausgang mit einer Lastimpedanz $Z_{L}$ abgeschlossen. Durch diese Verminderung der Freiheitsgrade kann man nur noch ein Signal am Eingang, die Eingangsspannung $U_{1}$ oder den Eingangsstrom $I_{1}$, frei wählen. Wenn man die $4-1=3$ abhängigen Signale auf dieses bezieht, existieren $2\cdot 3=6$ typische Verhältnisse – eben die Zweitor-Betriebsparameter vorwärts. Konkret sind das die Eingangsimpedanz und als deren Kehrwert die Eingangsadmittanz, die vorwärtige Spannungs- und Stromübersetzung (bei aktiven Zweitoren meist Spannungs- und Stromverstärkung genannt) sowie die vorwärtige Transimpedanz und Transadmittanz.

Alternativ wird das Zweitor zur Definition der Betriebsparameter im Rückwärtsbetrieb am Eingang mit einer Generatorimpedanz $Z_{G}$ beschaltet. In diesem Fall kann man nur noch ein Signal am Ausgang, die Ausgangsspannung $U_{2}$ oder den Ausgangsstrom $I_{2}$, frei wählen und erhält $6$ typische Verhältnisse – die Zweitorbetriebsparameter rückwärts. Konkret sind das die Ausgangsimpedanz, als deren Kehrwert die Ausgangsadmittanz, die rückwärtige Spannungs- und Stromübersetzung (oft als Spannungs- und Stromrückwirkung genannt) sowie die rückwärtige Transimpedanz und Transadmittanz.

Alle Betriebsparameter lassen sich aus den Zweitorparametern und der Lastimpedanz bzw. der Generatorimpedanz berechnen. Obwohl für jede Richtung sechs Parameter existieren, sind diese in der Praxis nicht alle gleich bedeutungsvoll.

Charakteristische Widerstände

Der (komplexe) Eingangswiderstand (Eingangsimpedanz) eines Zweitors $Z_{1}={\frac {U_{1}}{I_{1}}}$ hängt vom Lastwiderstand $Z_{L}$ ab. Sein Kehrwert ist der (komplexe) Eingangsleitwert (Eingangsadmittanz). Sonderfälle sind der Kurzschlusseingangswiderstand $Z_{1K}$ bei $Z_{L}=0$ und der Leerlaufeingangswiderstand $Z_{1L}$ bei $Z_{L}\rightarrow \infty$. Deren geometrisches Mittel bezeichnet man (in Anlehnung an die Theorie der Leitungen) als Eingangswellenwiderstand (Eingangswellenimpedanz) $Z_{1W}={\sqrt {Z_{1K}\cdot Z_{1L}}}$.

Der Ausgangswiderstand (Ausgangsimpedanz, genauer Ausgangsinnenwiderstand) eines Zweitors $Z_{2}={\frac {U_{2}}{I_{2}}}$ hängt vom Generatorinnenwiderstand $Z_{G}$ ab. Sonderfälle sind der Kurzschlussinnenwiderstand $Z_{2K}$ bei $Z_{G}=0$ und der Leerlaufinnenwiderstand $Z_{2L}$ bei $Z_{G}\rightarrow \infty$. Deren geometrisches Mittel bezeichnet man als Ausgangswellenwiderstand (Ausgangswellenimpedanz) $Z_{2W}={\sqrt {Z_{2K}\cdot Z_{2L}}}$.

	$\mathbf {Z}$	$\mathbf {Y}$	$\mathbf {H}$	$\mathbf {P}$	$\mathbf {A}$	$\mathbf {B}$
$Z_{1}$	$Z_{11}-{\frac {Z_{12}\cdot Z_{21}}{R_{L}+Z_{22}}}$	${\frac {1}{Y_{11}-{\frac {Y_{12}\cdot Y_{21}}{{\frac {1}{R_{L}}}+Y_{22}}}}}$	$H_{11}-{\frac {H_{12}\cdot H_{21}}{{\frac {1}{R_{L}}}+H_{22}}}$	${\frac {1}{P_{11}-{\frac {P_{12}\cdot P_{21}}{P_{22}+R_{L}}}}}$	${\frac {A_{11}\cdot R_{L}+A_{12}}{A_{21}\cdot R_{L}+A_{22}}}$	${\frac {B_{22}\cdot R_{L}-B_{12}}{B_{11}-B_{21}\cdot R_{L}}}$
$Z_{1K}$	${\frac {\det \mathbf {Z} }{Z_{22}}}$	${\frac {1}{Y_{11}}}$	$H_{11}$	${\frac {P_{22}}{\det \mathbf {P} }}$	${\frac {A_{12}}{A_{22}}}$	$-{\frac {B_{12}}{B_{11}}}$
$Z_{1L}$	$Z_{11}$	${\frac {Y_{22}}{\det \mathbf {Y} }}$	${\frac {\det \mathbf {H} }{H_{22}}}$	${\frac {1}{P_{11}}}$	${\frac {A_{11}}{A_{21}}}$	$-{\frac {B_{22}}{B_{21}}}$
$Z_{1W}$	${\sqrt {\frac {Z_{11}\cdot \det \mathbf {Z} }{Z_{22}}}}$	${\sqrt {\frac {Y_{22}}{Y_{11}\cdot \det \mathbf {Y} }}}$	${\sqrt {\frac {H_{11}\cdot \det \mathbf {H} }{H_{22}}}}$	${\sqrt {\frac {P_{22}}{P_{11}\cdot \det \mathbf {P} }}}$	${\sqrt {\frac {A_{11}\cdot A_{12}}{A_{21}\cdot A_{22}}}}$	${\sqrt {\frac {B_{12}\cdot B_{22}}{B_{11}\cdot B_{21}}}}$
$Z_{2}$	$Z_{22}-{\frac {Z_{21}\cdot Z_{12}}{R_{G}+Z_{11}}}$	${\frac {1}{Y_{22}-{\frac {Y_{21}\cdot Y_{12}}{{\frac {1}{R_{G}}}+Y_{11}}}}}$	${\frac {1}{H_{22}-{\frac {H_{21}\cdot H_{12}}{R_{G}+H_{11}}}}}$	$P_{22}-{\frac {P_{21}\cdot P_{12}}{P_{11}+{\frac {1}{R_{G}}}}}$	${\frac {A_{22}\cdot R_{G}+A_{12}}{A_{21}\cdot R_{G}+A_{11}}}$	${\frac {B_{11}\cdot R_{G}-B_{12}}{B_{22}-B_{21}\cdot R_{G}}}$
$Z_{2K}$	${\frac {\det \mathbf {Z} }{Z_{11}}}$	${\frac {1}{Y_{22}}}$	${\frac {H_{11}}{\det \mathbf {H} }}$	$P_{22}$	${\frac {A_{12}}{A_{11}}}$	$-{\frac {B_{12}}{B_{22}}}$
$Z_{2L}$	$Z_{22}$	${\frac {Y_{11}}{\det \mathbf {Y} }}$	${\frac {1}{H_{22}}}$	${\frac {\det \mathbf {P} }{P_{11}}}$	${\frac {A_{22}}{A_{21}}}$	$-{\frac {B_{11}}{B_{21}}}$
$Z_{2W}$	${\sqrt {\frac {Z_{22}\cdot \det \mathbf {Z} }{Z_{11}}}}$	${\sqrt {\frac {Y_{11}}{Y_{22}\cdot \det \mathbf {Y} }}}$	${\sqrt {\frac {H_{11}}{H_{22}\cdot \det \mathbf {H} }}}$	${\sqrt {\frac {P_{22}\cdot \det \mathbf {P} }{P_{11}}}}$	${\sqrt {\frac {A_{12}\cdot A_{22}}{A_{11}\cdot A_{21}}}}$	${\sqrt {\frac {B_{11}\cdot B_{12}}{B_{21}\cdot B_{22}}}}$

Charakteristische Übertragungsgrößen

Ebenso hängen das Spannungs-, Strom und Leistungsübersetzungsverhältnis vorwärts (${\text{ü}}_{uv}={\frac {U_{2}}{U_{1}}}$, ${\text{ü}}_{iv}={\frac {I_{2}}{I_{1}}}$ bzw. ${\text{ü}}_{pv}={\frac {P_{2}}{P_{1}}}$) vom Lastwiderstand $Z_{L}$ ab.

Dagegen hängen das Spannungs-, Strom und Leistungsübersetzungsverhältnis rückwärts (${\text{ü}}_{ur}={\frac {U_{1}}{U_{2}}}$, ${\text{ü}}_{ir}={\frac {I_{1}}{I_{2}}}$ bzw. ${\text{ü}}_{pr}={\frac {P_{1}}{P_{2}}}$) vom Generatorinnenwiderstand $Z_{G}$ ab.

Weitere Charakteristiken sind Transimpedanz und Transadmittanz (vor- und rückwärts), die optimale Leistungsübersetzung (vor- und rückwärts) sowie die Wellenübertragungsmaße (vor- und rückwärts). Letztere werden zusammen mit den Wellenwiderständen auch als Wellenparameter des Zweitors bezeichnet und „eröffnen“ den Weg zu den Streuparametern.

Literatur

• Lorenz-Peter Schmidt, Gerd Schaller, Siegfried Martius: Grundlagen der Elektrotechnik 3. Netzwerke. Pearson Studium, München 2006, ISBN 3-8273-7107-4.
• Richard Feldtkeller: Einführung in die Vierpoltheorie der elektrischen Nachrichtentechnik. Hirzel, Stuttgart 1976, ISBN 3-7776-0319-8.
• Handwörterbuch des elektrischen Fernmeldewesens, Aufsatz zur Vierpoltheorie von Zuhrt / Matthes, 2. Auflage, 3. Band; S. 1837–1868
• Eugen Philippow: Grundlagen der Elektrotechnik. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G., Leipzig 1966.
• Heinrich Schröder: Elektrische Nachrichtentechnik Band I. Verlag für Radio-Foto-Kinotechnik GmbH, Berlin-Borsigwalde 1966.
• Vorlesung – Netzwerke 3. Institut für Grundlagen und Theorie der Elektrotechnik, Technische Universität Graz (Diese Thematik wird als Mehrtortheorie bezeichnet. Unter diesem Titel sollten daher weitere Quellen auffindbar sein).
• Vorlesung – Dynamische Netzwerke. Institut für Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik, Technische Universität Dresden

Weblinks

• Ronny Harbich: Passive Zweitore. 2005, abgerufen am 18. Januar 2010.