Cassinische Kurven mit c<a c=a c>a Klassendiagramm: Von oben nach unten werden die Kurven spezieller. Die Cassinische Kurve (benannt nach Giovanni Domenico Cassini ) ist der Ort aller Punkte
P
{\displaystyle P}
Produkt ihrer (meistens unterschiedlich großen) Abstände von zwei gegebenen Punkten
P
1
{\displaystyle P_{1}}
P
2
{\displaystyle P_{2}}
P
1
P
¯
⋅
P
2
P
¯
=
c
2
(
c
∈
R
0
+
)
{\displaystyle {\overline {P_{1}P}}\cdot {\overline {P_{2}P}}=c^{2}(c\in \mathbb {R} _{0}^{+})}
keplerschen Gesetze als Planetenbahnen vorgeschlagen.
Bei auftretender Symmetrie
P
1
P
¯
=
P
2
P
¯
{\displaystyle {\overline {P_{1}P}}={\overline {P_{2}P}}}
c
{\displaystyle c}
Lemniskate von Bernoulli mit
c
=
a
{\displaystyle c=a}
2
a
{\displaystyle 2a}
P
1
{\displaystyle P_{1}}
P
2
{\displaystyle P_{2}}
Im Unterschied zur Definition einer Cassinischen Kurve bleibt bei einer Ellipse die Summe der Abstände von den Brennpunkten konstant.
Cassinische Kurve:
|
P
P
1
|
⋅
|
P
P
2
|
=
c
2
{\displaystyle |PP_{1}|\cdot |PP_{2}|=c^{2}}
Die Kurve lässt sich in kartesischen Koordinaten durch die Gleichung
(
x
2
+
y
2
)
2
−
2
a
2
(
x
2
−
y
2
)
=
c
4
−
a
4
a
,
c
∈
R
0
+
{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})=c^{4}-a^{4}\qquad a,c\in \mathbb {R} _{0}^{+}}
beschreiben, wobei
P
1
=
(
a
,
0
)
{\displaystyle P_{1}=(a,0)}
P
2
=
(
−
a
,
0
)
{\displaystyle P_{2}=(-a,0)}
Polarkoordinaten lautet die Gleichung
r
2
=
a
2
cos
(
2
φ
)
±
a
4
cos
2
(
2
φ
)
+
(
c
4
−
a
4
)
a
,
c
∈
R
0
+
.
{\displaystyle r^{2}=a^{2}\cos(2\varphi )\pm {\sqrt {a^{4}\cos ^{2}(2\varphi )+(c^{4}-a^{4})}}\qquad a,c\in \mathbb {R} _{0}^{+}.}
Das Problem werde in einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem der Ebene behandelt, sodass
P
1
=
P
(
a
,
0
)
{\displaystyle P_{1}=P(a,0)}
P
2
=
(
−
a
,
0
)
{\displaystyle P_{2}=(-a,0)}
a
∈
R
0
+
{\displaystyle a\in \mathbb {R} _{0}^{+}}
P
=
(
x
,
y
)
{\displaystyle P=(x,y)}
c
2
=
|
P
P
1
|
⋅
|
P
P
2
|
=
(
x
+
a
)
2
+
y
2
(
x
−
a
)
2
+
y
2
c
4
=
[
(
x
+
a
)
2
+
y
2
]
[
(
x
−
a
)
2
+
y
2
]
=
(
x
2
−
a
2
)
2
+
y
2
[
(
x
+
a
)
2
+
(
x
−
a
)
2
]
+
y
4
=
(
x
4
−
2
x
2
a
2
+
a
4
)
+
y
2
[
2
x
2
+
2
a
2
]
+
y
4
=
x
4
+
2
x
2
y
2
+
y
4
+
a
4
−
2
a
2
x
2
+
2
a
2
y
2
c
4
−
a
4
=
(
x
2
+
y
2
)
2
−
2
a
2
(
x
2
−
y
2
)
.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}c^{2}&=&|PP_{1}|\cdot |PP_{2}|={\sqrt {(x+a)^{2}+y^{2}}}{\sqrt {(x-a)^{2}+y^{2}}}\\c^{4}&=&[(x+a)^{2}+y^{2}][(x-a)^{2}+y^{2}]=(x^{2}-a^{2})^{2}+y^{2}[(x+a)^{2}+(x-a)^{2}]+y^{4}\\&=&(x^{4}-2x^{2}a^{2}+a^{4})+y^{2}[2x^{2}+2a^{2}]+y^{4}=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}+a^{4}-2a^{2}x^{2}+2a^{2}y^{2}\\c^{4}-a^{4}&=&(x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2}).\end{array}}}
Für den Übergang in Polarkoordinaten ist die Transformation
x
=
r
cos
(
φ
)
,
y
=
r
sin
(
φ
)
{\displaystyle x=r\cos(\varphi ),y=r\sin(\varphi )}
trigonometrischen Pythagoras “:
c
4
−
a
4
=
r
4
−
2
a
2
r
2
(
cos
2
(
φ
)
−
sin
2
(
φ
)
)
=
r
4
−
2
a
2
r
2
cos
(
2
φ
)
.
{\displaystyle c^{4}-a^{4}=r^{4}-2a^{2}r^{2}(\cos ^{2}(\varphi )-\sin ^{2}(\varphi ))=r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos(2\varphi ).}
Dies ist eine Quartische Gleichung , insbesondere handelt es sich hier um den biquadratischen Spezialfall, der als Quadratische Gleichung in
r
2
{\displaystyle r^{2}}
(
r
2
)
2
−
2
a
2
cos
(
2
φ
)
⋅
r
2
−
(
c
4
−
a
4
)
=
0
{\displaystyle (r^{2})^{2}-2a^{2}\cos(2\varphi )\cdot r^{2}-(c^{4}-a^{4})=0}
⇒
r
2
(
φ
)
=
a
2
cos
(
2
φ
)
±
a
4
cos
2
(
2
φ
)
+
(
c
4
−
a
4
)
.
{\displaystyle \Rightarrow r^{2}(\varphi )=a^{2}\cos(2\varphi )\pm {\sqrt {a^{4}\cos ^{2}(2\varphi )+(c^{4}-a^{4})}}.}
Die Cassinischen Kurven für verschiedene b=c/a: b = 0,6 b = 0,8 b = 1 b = 1,2 b = 1,4 b = 1,6
Die Form der Cassinischen Kurve lässt sich in fünf Fälle unterscheiden:
1. Fall
Für
c
>
a
2
{\displaystyle c>a{\sqrt {2}}}
(
±
c
2
+
a
2
,
0
)
{\displaystyle (\pm {\sqrt {c^{2}+a^{2}}},\,0)}
(
0
,
±
c
2
−
a
2
)
{\displaystyle (0,\pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}}})}
c
≫
a
{\displaystyle c\gg a}
c
{\displaystyle c}
2. Fall
Für
c
=
a
2
{\displaystyle c=a{\sqrt {2}}}
(
±
a
3
,
0
)
{\displaystyle (\pm a{\sqrt {3}},\,0)}
(
0
,
±
a
)
{\displaystyle (0,\,\pm a)}
3. Fall
Für
a
<
c
<
a
2
{\displaystyle a<c<a{\sqrt {2}}}
c
>
a
2
{\displaystyle c>a{\sqrt {2}}}
y-Achsenabschnitten befinden sich die weiteren Extrema der Kurve an den Punkten
1
2
a
(
±
4
a
4
−
c
4
,
±
c
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{2a}}\left(\pm {\sqrt {4a^{4}-c^{4}}},\ \pm c^{2}\right)}
Die vier Wendepunkte liegen bei
(
±
1
2
(
m
−
n
)
,
±
1
2
(
m
+
n
)
)
mit
m
=
c
4
−
a
4
3
und
n
=
c
4
−
a
4
3
a
2
{\displaystyle \left(\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(m-n)}},\,\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(m+n)}}\right)\quad {\text{mit}}\quad m={\sqrt {\tfrac {c^{4}-a^{4}}{3}}}\quad {\text{und}}\quad n={\tfrac {c^{4}-a^{4}}{3a^{2}}}}
4. Fall
Für
c
=
a
{\displaystyle c=a}
Lemniskate . 5. Fall
Für
c
<
a
{\displaystyle c<a}
(
a
,
0
)
{\displaystyle (a,0)}
(
−
a
,
0
)
{\displaystyle (-a,0)}
±
a
2
±
c
2
{\displaystyle \pm {\sqrt {a^{2}\pm c^{2}}}}
Die Extrema sind an den Punkten
1
2
a
(
±
4
a
4
−
c
4
,
±
c
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{2a}}\left(\pm {\sqrt {4a^{4}-c^{4}}},\ \pm c^{2}\right)}
Die Ovale werden mit abnehmendem c kreisförmiger und nähern sich asymptotisch Kreisen um die Punkte
P
1
{\displaystyle P_{1}}
P
2
{\displaystyle P_{2}}
c
2
2
a
{\displaystyle {\frac {c^{2}}{2a}}}
Cassinische Kurven und dazu orthogonale Hyperbeln Orthogonaltrajektorien orthogonal schneiden. So sind z. B. zu einer Schar konfokaler Ellipsen die zugehörigen konfokalen Hyperbeln Orthogonaltrajektorien. Für Cassinische Kurven gilt:
Die Orthogonaltrajektorien der Cassinischen Kurven zu zwei Punkten
P
1
,
P
2
{\displaystyle P_{1},P_{2}}
gleichseitigen Hyperbeln durch
P
1
,
P
2
{\displaystyle P_{1},P_{2}}
P
1
,
P
2
{\displaystyle P_{1},P_{2}}
Beweis:
P
1
=
(
1
,
0
)
,
P
2
=
(
−
1
,
0
)
{\displaystyle P_{1}=(1,0),\;P_{2}=(-1,0)}
Die cassinischen Kurven genügen der Gleichung
f
(
x
,
y
)
=
(
x
2
+
y
2
)
2
−
2
(
x
2
−
y
2
)
+
1
−
c
4
=
0
{\displaystyle f(x,y)\;=\;(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}-y^{2})+1-c^{4}=0}
Die gleichseitigen Hyperbeln (d. h. ihre Asymptoten stehen senkrecht aufeinander) durch
(
1
,
0
)
,
(
−
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0),(-1,0)}
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
y
2
−
x
2
+
λ
x
y
+
1
=
0
,
λ
∈
R
.
{\displaystyle y^{2}-x^{2}+\lambda xy+1=0,\quad \lambda \in \mathbb {R} .}
Die Hyperbeln schneiden die y-Achse nicht und die x-Achse nur in
(
±
1
,
0
)
{\displaystyle (\pm 1,0)}
Hauptachsentransformation zeigt, dass es sich tatsächlich um gleichseitige Hyperbeln mit dem Ursprung als Mittelpunkt handelt. Mit Punktproben erkennt man:
(
1
,
0
)
,
(
−
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0),(-1,0)}
g
(
x
,
y
)
=
x
2
−
y
2
−
1
x
y
−
λ
=
x
y
−
y
x
−
1
x
y
−
λ
=
0
.
{\displaystyle g(x,y)\;=\;{\frac {x^{2}-y^{2}-1}{xy}}-\lambda ={\frac {x}{y}}-{\frac {y}{x}}-{\frac {1}{xy}}-\lambda =0\;.}
Für den Nachweis, dass sich die Hyperbeln und die cassinischen Kurven senkrecht schneiden, zeigt man, dass
grad
f
(
x
,
y
)
⋅
grad
g
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {grad} f(x,y)\cdot \operatorname {grad} g(x,y)=0}
(
x
,
y
)
,
x
≠
0
≠
y
{\displaystyle (x,y),\;x\neq 0\neq y}
Bemerkung: Punktladungen ähnlich aber nicht gleich. Bei einer Äquipotentiallinie zweier Punktladungen ist die Summe der Kehrwerte der Abstände zu zwei festen Punkten konstant:
1
|
P
P
1
|
+
1
|
P
P
2
|
=
konstant
{\displaystyle {\frac {1}{|PP_{1}|}}+{\frac {1}{|PP_{2}|}}={\text{konstant}}}
implizite Kurven )
Cassinische Kurven als ebene Schnitte eines TorusSpindeltorus ) Cassinische Kurven treten auch als ebene Schnitte von Tori auf. Allerdings nur dann, wenn die
schneidende Ebene parallel zur Torusachse und der Abstand von der Torusachse gleich dem Radius des erzeugenden Kreises ist (s. Bild). Schneidet man den Torus mit der Gleichung
(
x
2
+
y
2
+
z
2
+
R
2
−
r
2
)
2
=
4
R
2
(
x
2
+
y
2
)
.
{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}=4R^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right).}
mit der Ebene
y
=
r
{\displaystyle y=r}
(
x
2
+
z
2
+
R
2
)
2
=
4
R
2
(
x
2
+
r
2
)
.
{\displaystyle \left(x^{2}+z^{2}+R^{2}\right)^{2}=4R^{2}\left(x^{2}+r^{2}\right).}
Nach dem teilweisen Auflösen der ersten Klammer ergibt sich
(
x
2
+
z
2
)
2
−
2
R
2
(
x
2
−
z
2
)
=
4
R
2
r
2
−
R
4
.
{\displaystyle \left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}-2R^{2}(x^{2}-z^{2})=4R^{2}r^{2}-R^{4}.}
Die
x
{\displaystyle x}
z
{\displaystyle z}
c
2
=
2
R
r
,
a
=
R
{\displaystyle c^{2}=2Rr,\;a=R}
Zu weiteren Torusschnitten: siehe Villarceau-Kreise , Spirische Kurve .
Die Cassinischen Kurven können folgendermaßen parametrisiert werden:
x
=
c
2
c
2
+
a
2
cos
(
ϑ
)
c
2
+
a
2
sin
(
ϑ
)
2
{\displaystyle x={\frac {c^{2}{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\cos(\vartheta )}{c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}}}}
y
=
c
2
+
a
2
sin
(
ϑ
)
c
4
−
a
4
sin
(
ϑ
)
2
c
2
+
a
2
sin
(
ϑ
)
2
{\displaystyle y={\frac {{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\sin(\vartheta ){\sqrt {c^{4}-a^{4}\sin(\vartheta )^{2}}}}{c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}}}}
Diese Parametrisierung erfüllt die Gleichung für kartesische Koordinaten:
(
x
2
+
y
2
)
2
−
2
a
2
(
x
2
−
y
2
)
=
c
4
−
a
4
{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})=c^{4}-a^{4}}
Der Flächeninhalt der Cassinischen Kurven für den Fall c > a kann auf folgende Weise ermittelt werden:
A
=
4
∫
0
c
2
+
a
2
|
y
(
x
)
|
d
x
=
4
∫
0
π
/
2
[
−
d
d
ϑ
x
(
ϑ
)
]
y
(
ϑ
)
d
ϑ
=
{\displaystyle A=4\int _{0}^{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}|y(x)|dx=4\int _{0}^{\pi /2}\left[-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \vartheta }}x(\vartheta )\right]y(\vartheta )\mathrm {d} \vartheta =}
=
4
∫
0
π
/
2
[
−
d
d
ϑ
c
2
c
2
+
a
2
cos
(
ϑ
)
c
2
+
a
2
sin
(
ϑ
)
2
]
c
2
+
a
2
sin
(
ϑ
)
c
4
−
a
4
sin
(
ϑ
)
2
c
2
+
a
2
sin
(
ϑ
)
2
d
ϑ
=
{\displaystyle =4\int _{0}^{\pi /2}\left[-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \vartheta }}{\frac {c^{2}{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\cos(\vartheta )}{c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}}}\right]{\frac {{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\sin(\vartheta ){\sqrt {c^{4}-a^{4}\sin(\vartheta )^{2}}}}{c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}}}\mathrm {d} \vartheta =}
=
4
∫
0
π
/
2
c
2
c
2
+
a
2
sin
(
ϑ
)
2
[
c
2
+
2
a
2
−
a
2
sin
(
ϑ
)
2
]
c
4
−
a
4
sin
(
ϑ
)
2
[
c
2
+
a
2
sin
(
ϑ
)
2
]
3
d
ϑ
=
{\displaystyle =4\int _{0}^{\pi /2}{\frac {c^{2}{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\sin(\vartheta )^{2}[c^{2}+2a^{2}-a^{2}\sin(\vartheta )^{2}]{\sqrt {c^{4}-a^{4}\sin(\vartheta )^{2}}}}{[c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}]^{3}}}\mathrm {d} \vartheta =}
=
4
∫
0
π
/
2
d
d
ϑ
[
c
2
2
E
(
ϑ
;
a
2
/
c
2
)
−
sin
(
ϑ
)
cos
(
ϑ
)
[
c
4
−
a
4
sin
(
ϑ
)
2
]
3
/
2
2
[
c
2
+
a
2
sin
(
ϑ
)
2
]
2
]
d
ϑ
=
2
c
2
E
(
a
2
/
c
2
)
{\displaystyle =4\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \vartheta }}\left[{\frac {c^{2}}{2}}E(\vartheta ;a^{2}/c^{2})-{\frac {\sin(\vartheta )\cos(\vartheta )[c^{4}-a^{4}\sin(\vartheta )^{2}]^{3/2}}{2[c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}]^{2}}}\right]\mathrm {d} \vartheta =2c^{2}E(a^{2}/c^{2})}
Endresultat:
A
=
2
c
2
E
(
a
2
/
c
2
)
{\displaystyle A=2c^{2}E(a^{2}/c^{2})}
Bei dieser Formel ist
E
{\displaystyle E}
elliptische Integral zweiter Art.
Bei der Lemniskate von Bernoulli ist
c
=
a
{\displaystyle c=a}
A
=
2
a
2
⋅
E
(
1
)
=
2
a
2
{\displaystyle A=2a^{2}\cdot E(1)=2a^{2}}
Im Fall c < a wird das Argument des elliptischen Integrals
E
(
>
1
)
{\displaystyle E(>1)}
[ 1]
A
=
ℜ
(
2
c
2
E
(
a
2
/
c
2
)
)
=
2
a
2
⋅
(
E
(
c
2
/
a
2
)
−
(
1
−
c
4
/
a
4
)
⋅
K
(
c
2
/
a
2
)
)
{\displaystyle A=\Re {\left(2c^{2}E(a^{2}/c^{2})\right)}=2a^{2}\cdot \left(E(c^{2}/a^{2})-(1-c^{4}/a^{4})\cdot K(c^{2}/a^{2})\right)}
K
{\displaystyle K}
Der Umfang der Cassinischen Kurven für den Fall c > a kann auf folgende Weise ermittelt werden:
U
=
4
∫
0
π
/
2
[
d
d
ϑ
x
(
ϑ
)
]
2
+
[
d
d
ϑ
y
(
ϑ
)
]
2
d
ϑ
=
{\displaystyle U=4\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \vartheta }}x(\vartheta )\right]^{2}+\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \vartheta }}y(\vartheta )\right]^{2}}}\mathrm {d} \vartheta =}
=
4
∫
0
π
/
2
[
d
d
ϑ
c
2
c
2
+
a
2
cos
(
ϑ
)
c
2
+
a
2
sin
(
ϑ
)
2
]
2
+
[
d
d
ϑ
c
2
+
a
2
sin
(
ϑ
)
c
4
−
a
4
sin
(
ϑ
)
2
c
2
+
a
2
sin
(
ϑ
)
2
]
2
d
ϑ
=
{\displaystyle =4\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \vartheta }}{\frac {c^{2}{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\cos(\vartheta )}{c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}}}\right]^{2}+\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \vartheta }}{\frac {{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\sin(\vartheta ){\sqrt {c^{4}-a^{4}\sin(\vartheta )^{2}}}}{c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}}}\right]^{2}}}\mathrm {d} \vartheta =}
=
4
∫
0
π
/
2
c
2
c
2
+
a
2
c
2
−
a
2
sin
(
ϑ
)
2
c
2
+
a
2
sin
(
ϑ
)
2
c
4
−
a
4
sin
(
ϑ
)
2
d
ϑ
=
4
c
2
+
a
2
∫
0
1
1
−
(
a
/
c
)
2
w
2
[
1
+
(
a
/
c
)
2
w
2
]
[
1
−
(
a
/
c
)
4
w
2
]
(
1
−
w
2
)
d
w
{\displaystyle =4\int _{0}^{\pi /2}{\frac {c^{2}{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}{\sqrt {c^{2}-a^{2}\sin(\vartheta )^{2}}}}{{\sqrt {c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}}}{\sqrt {c^{4}-a^{4}\sin(\vartheta )^{2}}}}}\mathrm {d} \vartheta =4{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-(a/c)^{2}w^{2}}}{\sqrt {[1+(a/c)^{2}w^{2}][1-(a/c)^{4}w^{2}](1-w^{2})}}}\mathrm {d} w}
Endresultat:
U
=
4
c
2
+
a
2
∫
0
1
1
−
(
a
/
c
)
2
w
2
[
1
+
(
a
/
c
)
2
w
2
]
[
1
−
(
a
/
c
)
4
w
2
]
(
1
−
w
2
)
d
w
{\displaystyle U=4{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-(a/c)^{2}w^{2}}}{\sqrt {[1+(a/c)^{2}w^{2}][1-(a/c)^{4}w^{2}](1-w^{2})}}}\mathrm {d} w}
Für die Theta-Werte von 0 bis
π
2
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}
Der Umfang lässt sich auch geschlossen mithilfe elliptischer Integrale erfassen:
Das numerisch equivalente Integral
U
=
4
c
2
∫
0
π
/
2
1
a
4
+
c
4
+
2
a
2
c
2
cos
(
2
p
)
4
d
p
{\displaystyle U=4c^{2}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{a^{4}+c^{4}+2a^{2}c^{2}\cos(2p)}}}\mathrm {d} p}
[ 2] online ausgewertet werden. Die Vereinfachung des erhaltenen Resultates ergibt für
c
>
a
{\displaystyle c>a}
U
=
4
c
⋅
K
(
1
−
1
−
a
4
/
c
4
2
)
{\displaystyle U=4c\cdot K\left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-a^{4}/c^{4}}}}{2}}}\right)}
c
=
a
{\displaystyle c=a}
U
=
4
a
⋅
K
(
1
2
)
{\displaystyle U=4a\cdot K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}
U
=
2
2
a
ϖ
{\displaystyle U=2{\sqrt {2}}a\varpi }
c
<
a
{\displaystyle c<a}
U
=
4
c
2
a
⋅
K
(
1
−
1
−
c
4
/
a
4
2
)
{\displaystyle U={\frac {4c^{2}}{a}}\cdot K\left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-c^{4}/a^{4}}}}{2}}}\right)}
K
(
0
)
=
π
/
2
{\displaystyle K(0)=\pi /2}
2
π
c
2
/
a
{\displaystyle 2\pi c^{2}/a}
r
=
c
2
2
a
{\displaystyle r={\frac {c^{2}}{2a}}}
Dabei bezeichnet
K
{\displaystyle K}
elliptische Integral erster Art.
Die Konstruktion einer Cassinischen Kurve lässt sich leicht auf ebene Kurven und Flächen mit beliebig vielen Grundpunkten verallgemeinern:
|
P
P
1
|
⋅
|
P
P
2
|
⋯
|
P
P
n
|
=
c
n
{\displaystyle |PP_{1}|\cdot |PP_{2}|\cdots |PP_{n}|=c^{n}}
beschreibt im ebenen Fall eine implizite Kurve und im 3-dimensionalen Raum eine implizite Fläche .
Bronstein u. a.: Taschenbuch der Mathematik . Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2005, ISBN 3-8171-2006-0 .
I. Agricola,T. Friedrich: Elementargeometrie: Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht , Springer-Spektrum, 2015, ISBN 978-3-658-06730-4 , S. 60.
↑ https://mathcurve.com/courbes2d/cassini/cassini.shtml ↑ MATZ F . (1895) . The Rectification of the Cassinian Oval by Means of Elliptic Functions, Am . Math . Monthly, Vol 2, pp .221 - 357, eq.(3)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}c^{2}&=&|PP_{1}|\cdot |PP_{2}|={\sqrt {(x+a)^{2}+y^{2}}}{\sqrt {(x-a)^{2}+y^{2}}}\\c^{4}&=&[(x+a)^{2}+y^{2}][(x-a)^{2}+y^{2}]=(x^{2}-a^{2})^{2}+y^{2}[(x+a)^{2}+(x-a)^{2}]+y^{4}\\&=&(x^{4}-2x^{2}a^{2}+a^{4})+y^{2}[2x^{2}+2a^{2}]+y^{4}=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}+a^{4}-2a^{2}x^{2}+2a^{2}y^{2}\\c^{4}-a^{4}&=&(x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2}).\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef164c37f2c44f1239b716568a323c6bff78f26)
![{\displaystyle A=4\int _{0}^{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}|y(x)|dx=4\int _{0}^{\pi /2}\left[-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \vartheta }}x(\vartheta )\right]y(\vartheta )\mathrm {d} \vartheta =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/547ccb7e0e3908b3c54685ffe32bbea7ba39d793)
![{\displaystyle =4\int _{0}^{\pi /2}\left[-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \vartheta }}{\frac {c^{2}{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\cos(\vartheta )}{c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}}}\right]{\frac {{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\sin(\vartheta ){\sqrt {c^{4}-a^{4}\sin(\vartheta )^{2}}}}{c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}}}\mathrm {d} \vartheta =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c4c5ac7f599da97cb44a8911266f70aa1818a40)
![{\displaystyle =4\int _{0}^{\pi /2}{\frac {c^{2}{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\sin(\vartheta )^{2}[c^{2}+2a^{2}-a^{2}\sin(\vartheta )^{2}]{\sqrt {c^{4}-a^{4}\sin(\vartheta )^{2}}}}{[c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}]^{3}}}\mathrm {d} \vartheta =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4997c4641eb29d25623c5fff4e9c2967f56a872c)
![{\displaystyle =4\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \vartheta }}\left[{\frac {c^{2}}{2}}E(\vartheta ;a^{2}/c^{2})-{\frac {\sin(\vartheta )\cos(\vartheta )[c^{4}-a^{4}\sin(\vartheta )^{2}]^{3/2}}{2[c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}]^{2}}}\right]\mathrm {d} \vartheta =2c^{2}E(a^{2}/c^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e073598660f00e35d6291f921b139e14bb0a7a4)
![{\displaystyle U=4\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \vartheta }}x(\vartheta )\right]^{2}+\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \vartheta }}y(\vartheta )\right]^{2}}}\mathrm {d} \vartheta =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0c177d182b635feed5b5538c8834dd078de4b21)
![{\displaystyle =4\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \vartheta }}{\frac {c^{2}{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\cos(\vartheta )}{c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}}}\right]^{2}+\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \vartheta }}{\frac {{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\sin(\vartheta ){\sqrt {c^{4}-a^{4}\sin(\vartheta )^{2}}}}{c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}}}\right]^{2}}}\mathrm {d} \vartheta =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f1fd9dea83d1faaf084a39a398a13acd7ba718)
![{\displaystyle =4\int _{0}^{\pi /2}{\frac {c^{2}{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}{\sqrt {c^{2}-a^{2}\sin(\vartheta )^{2}}}}{{\sqrt {c^{2}+a^{2}\sin(\vartheta )^{2}}}{\sqrt {c^{4}-a^{4}\sin(\vartheta )^{2}}}}}\mathrm {d} \vartheta =4{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-(a/c)^{2}w^{2}}}{\sqrt {[1+(a/c)^{2}w^{2}][1-(a/c)^{4}w^{2}](1-w^{2})}}}\mathrm {d} w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b78073363fb9ff0415183228c0fb834f2eda6be)
![{\displaystyle U=4{\sqrt {c^{2}+a^{2}}}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-(a/c)^{2}w^{2}}}{\sqrt {[1+(a/c)^{2}w^{2}][1-(a/c)^{4}w^{2}](1-w^{2})}}}\mathrm {d} w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/309ea5949519dac341b73f45bd3b2f2c4c1fb922)
![{\displaystyle U=4c^{2}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{a^{4}+c^{4}+2a^{2}c^{2}\cos(2p)}}}\mathrm {d} p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/437775c47cd4e270c99472fb781e3c0b5a6810d3)
Verallgemeinerte Kurven zu 3 Punkten
Verallgemeinerte Fläche zu 6 Punkten
