Hauptinvariante

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Die Hauptinvarianten eines Tensors sind die Koeffizienten seines charakteristischen Polynoms.

Die Komponenten eines Tensors referenzieren auf Dyaden von Vektoren, die sich ihrerseits komponentenweise bezüglich einer Vektorraumbasis darstellen lassen. Bei einem Wechsel der Basis ändern sich die Komponenten der Vektoren in charakteristischer Weise nicht aber die Beträge der Vektoren. Der Betrag eines Vektors ist also invariant gegenüber einem Wechsel der Basis. In gleicher Weise sind die Hauptinvarianten des Tensors invariant gegenüber einem Wechsel der Basis, daher der Name.

Die Hauptinvarianten symmetrischer Tensoren spielen eine zentrale Rolle in der Materialtheorie. Eine wichtige Anforderung an Materialmodelle leitet sich daraus ab, dass ein bewegter Beobachter immer dasselbe Materialverhalten misst wie ein ruhender. Diese Eigenschaft wird materielle Objektivität genannt. Die Bewegung eines Beobachters wird mathematisch als Wechsel des Bezugssystems und somit als Wechsel der Vektorraumbasis beschrieben. Die Hauptinvarianten sind also Größen, die alle Beobachter in gleicher Weise wahrnehmen und die daher für die Materialmodellierung geeignet sind. Beispiele für Materialmodelle, die die Hauptinvarianten benutzen, sind das Hooke'sche Gesetz, die Hyperelastizität und Plastizitätstheorie.

Die Darstellung erfolgt in drei Dimensionen für Tensoren zweiter Stufe, lässt sich aber in einfacher Weise auf mehr Dimensionen verallgemeinern.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein Tensor zweiter Stufe . Dann lautet sein charakteristisches Polynom:

.

Darin ist die Determinante, der Einheitstensor, eine reelle oder komplexe Zahl und die Koeffizienten sind die drei Hauptinvarianten

Der Operator liefert die Spur seines Arguments, ist die Adjunkte und der Kofaktor

wobei letztere Identität nur gilt, wenn der Tensor invertierbar ist und mithin ist.

Berechnung der Hauptinvarianten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für Tensoren zweiter Stufe ist die Addition und Multiplikation mit einem Skalar definiert weshalb die Menge aller Tensoren zweiter Stufe einen Vektorraum bildet, der Vektorraumbasen besitzt, die aus Dyaden bestehen, die sich wiederum mit dem dyadischen Produkt zweier Vektoren berechnen. Sei der Vektorraum der geometrischen Vektoren. Dann ist der Vektorraum der Tensoren zweiter Stufe, die Vektoren aus in den abbilden. Bezüglich einer Vektorraumbasis des kann jeder Tensor komponentenweise dargestellt werden und aus diesen Komponenten können die Hauptinvarianten berechnet werden, die ja unabhängig von der Wahl der Basis sind.

Hauptinvarianten in Komponenten bezüglich der Standardbasis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei die Standardbasis des und

ein Tensor mit den Komponenten bezüglich dieser Standardbasis. Dann berechnet sich

Hauptinvarianten in Komponenten bezüglich einer allgemeinen Basis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und zwei beliebige Basissysteme des und

ein Tensor mit den Komponenten bezüglich dieser Basen. Dann berechnet sich

Zusammenhang mit dem äußeren Tensorprodukt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das äußere Tensorprodukt # ist mittels Dyaden definiert über

Mit diesem und dem Frobenius-Skalarprodukt“ von Tensoren bekommen die drei Hauptinvarianten die Darstellungen

Zusammenhang mit anderen Invarianten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigenwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Eigenwerte eines Tensors zweiter Stufe sind die Lösungen seines charakteristischen Polynoms und ebenfalls Invarianten. Nach dem Satz von Vieta gilt:

.

Betrag eines Tensors[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Betrag eines Tensors

,

definiert mit der Frobeniusnorm und dem Frobenius-Skalarprodukt“, lässt sich im Allgemeinen nicht mit den drei Hauptinvarianten darstellen. Es gelingt aber bei symmetrischen oder schiefsymmetrischen Tensoren. Bei symmetrischen Tensoren ist , d. h. der Tensor ist mit seiner transponierten identisch, und daher

Bei schiefsymmetrischen Tensoren ist und daher und

Spuren der Potenzen eines Tensors[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die drei Hauptinvarianten lassen sich auch mit den Spuren der Potenzen eines Tensors darstellen, die ebenfalls Invarianten sind. Sei

dann gilt

Ableitungen der Hauptinvarianten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Hyperelastizität wird die Formänderungsenergie, die aufgebracht werden muss um einen Körper zu verformen, manchmal als Funktion der Hauptinvarianten des Verzerrungstensors modelliert. Die Spannungen ergeben sich dann aus der Ableitung der Formänderungsenergie nach dem Verzerrungstensor, wofür die Ableitungen der Hauptinvarianten nach dem Verzerrungstensor benötigt werden. Daher lohnt es sich, diese Ableitungen bereitzustellen.

Die Ableitung einer skalarwertigen Funktion nach dem Tensor ist der Tensor für den gilt

Man schreibt dann auch

.

So berechnet sich:

Wegen

berechnet sich

.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Beispiele zeigen die Benutzung der Hauptinvarianten in Materialtheorien und oft benutzten Materialmodellen:

  1. Hookesches Gesetz: Der Spannungstensor berechnet sich aus dem Verzerrungstensor gemäß . Darin ist der Schubmodul und die Querkontraktionszahl.
  2. Hyperelastizität: Die Formänderungsenergiedichte im Neo-Hooke Modell ist . Darin ist ein Materialparameter und der linke Cauchy-Green Tensor.
  3. Plastizitätstheorie, Festigkeitslehre: Die v. Mises Vergleichsspannung ist eine Funktion der zweiten Hauptinvariante des Spannungsdeviators .
  4. Inkompressibilität: Hier ist die dritte Hauptinvariante des Deformationsgradienten an jedem materiellen Punkt konstant: .

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es wird der Nachweis der Invarianz der Spur eines Tensors erbracht. Seien und zwei beliebige Basissysteme des und

.

Beim Wechsel zu anderen Basen und mit dualen Basen und berechnen sich die neuen Komponenten gemäß

Die Spur mit den neuen Komponenten ergibt sich also zu

was zu zeigen war.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]