Formelsammlung Tensoralgebra

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Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Tensoralgebra für Tensoren zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen. Es wird der dreidimensionale Raum zugrunde gelegt.

Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Notation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Operatoren wie werden nicht kursiv geschrieben.
  • Buchstaben die als Indizes benutzt werden:
    • .
      Ausnahme:
      Die imaginäre Einheit und die #Vektorinvariante werden in Abgrenzung zu den Indizes nicht kursiv geschrieben.
  • Alle anderen Buchstaben stehen für reelle Zahlen oder komplexe Zahlen.
  • Vektoren:
    • Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum .
    • Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
      Ausnahme #Dualer axialer Vektor
    • Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie in ê mit einem Hut versehen. Die Standardbasis von ist ê1,2,3.
    • Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie in mit einem Pfeil versehen.
    • Dreiergruppen von Vektoren wie in oder bezeichnen eine rechtshändige Basis von .
    • Gleichnamige Basisvektoren mit unterem und oberem Index sind dual zueinander, z. B. ist dual zu .
  • Tensoren zweiter Stufe werden wie in A mit fetten Großbuchstaben notiert. Die Menge aller Tensoren wird mit bezeichnet. Tensoren höherer Stufe werden mit einer hochgestellten Zahl wie in geschrieben. Tensoren vierter Stufe sind Elemente der Menge .
  • Es gilt die Einstein'sche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung.
    • Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in wird über diesen Index summiert:
      .
    • Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in wird über diese summiert:
      .
    • Ein Index, der nur einfach vorkommt wie in , ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:
      .

Glossar[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Reservierte und besondere Symbole[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formelzeichen Abschnitt in der Formelsammlung Wikipedia-Artikel
#Einheitstensor Einheitstensor
#Orthogonale Tensoren Orthogonaler Tensor
#Eigenwerte Eigenwertproblem
#Kronecker-Delta Kronecker-Delta
#Permutationssymbol Permutationssymbol
#Fundamentaltensor 3. Stufe Epsilon-Tensor
#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix Kreuzprodukt
#Dualer axialer Vektor Kreuzprodukt
#Vektorinvariante Vektorinvariante
Imaginäre Einheit

Zeichen für Operatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formelzeichen Abschnitt in der Formelsammlung Wikipedia-Artikel
Skalarprodukt von Vektoren, #Vektortransformation, #Tensorprodukt Skalarprodukt
#Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor, #Kreuzprodukt von Tensoren Kreuzprodukt
#Skalarprodukt von Tensoren Frobenius-Skalarprodukt
#Dyadisches Produkt Dyadisches Produkt
#Skalarkreuzprodukt von Tensoren
#Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren
#Äußeres Tensorprodukt Äußeres Tensorprodukt
#Betrag Frobeniusnorm
Betrag der Zahl x oder des Vektors , #Determinante des Tensors A Determinante

Tensorfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formelzeichen Abschnitt in der Formelsammlung Wikipedia-Artikel
#Spur Spur (Mathematik), Hauptinvariante
#Zweite Hauptinvariante Hauptinvariante
#Determinante Determinante, Hauptinvariante
sym #Symmetrischer Anteil Symmetrische Matrix
skw, skew #Schiefsymmetrischer Anteil Schiefsymmetrische Matrix
adj #Adjunkte Adjunkte
cof #Kofaktor Minor (Mathematik)#Kofaktormatrix
dev #Deviator Deviator, Spannungsdeviator
sph #Kugelanteil Kugeltensor

Indizes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formelzeichen Abschnitt in der Formelsammlung Wikipedia-Artikel
#Tensorkomponenten
#Transposition Transponierte Matrix
Transpositionen von Tensoren vierter Stufe
#Inverse Inverse Matrix
#Transposition der #Inverse
#Symmetrischer Anteil Symmetrische Matrix
#Schiefsymmetrischer Anteil Schiefsymmetrische Matrix
#Deviator Deviator, Spannungsdeviator
#Kugelanteil Kugeltensor
Tensor n-ter Stufe
#Dualer axialer Vektor Kreuzprodukt

Mengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formelzeichen Elemente
Reelle Zahlen
Komplexe Zahlen
Vektoren
Tensoren zweiter Stufe
#Tensoren vierter Stufe

Kronecker-Delta[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für Summen gilt dann z. B.

Dies gilt für die anderen Indexgruppen entsprechend.

Permutationssymbol[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kreuzprodukt:

Spaltenvektoren und Matrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die hier verwendeten Vektoren sind Spaltenvektoren

Drei Vektoren können spaltenweise in einer 3×3-Matrix arrangiert werden:

Die Determinante der Matrix

ist

Also gewährleistet , dass die Vektoren eine rechtshändige Basis bilden.

Die Spaltenvektoren bilden eine Orthonormalbasis, wenn

worin die transponierte Matrix ist. Bei der hier vorausgesetzten Rechtshändigkeit gilt dann zusätzlich .

Vektoralgebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Basis und Duale Basis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Basisvektoren

Duale Basisvektoren

Beziehungen zwischen den Basisvektoren

mit dem Spatprodukt

Trägt man die Basisvektoren spaltenweise in eine Matrix ein, dann finden sich die dualen Basisvektoren in den Zeilen der Inversen oder den Spalten der #transponiert #Inversen :

In der Standardbasis wie in jeder Orthonormalbasis sind die Basisvektoren zu sich selbst dual:

Berechnung von Vektorkomponenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beziehung zwischen den Skalarprodukten der Basisvektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wechsel der Basis bei Vektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wechsel von

Basis mit dualer Basis

nach

Basis mit dualer Basis :

Matrizengleichung:

Dyadisches Produkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die grundlegenden Eigenschaften des dyadischen Produkts „⊗“ sind:

Abbildung

Multiplikation mit einem Skalar:

Distributivität:

Skalarprodukt:

Weitere Eigenschaften von Dyaden siehe #Dyade und den folgenden Abschnitt.

Tensoren als Elemente eines Vektorraumes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch die Eigenschaften des dyadischen Produktes wird zu einem euklidischen Vektorraum und entsprechend kann jeder Tensor komponentenweise bezüglich einer Basis von dargestellt werden:

mit Komponenten .

Die Dyaden und bilden Basissysteme von .

Operatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Transposition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung

Vektortransformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung oder

Dyaden:

Allgemeine Tensoren:

Symbolisch:

Tensorprodukt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung

Skalarprodukt von Tensoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung

Definition über die #Spur:

Eigenschaften:

Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung oder

Dyaden:

Allgemeine Tensoren:

Symmetrische Tensoren:

Insbesondere Kugeltensoren:

Schiefsymmetrische Tensoren:

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix mit dem #Einheitstensor:

Mehrfach:

Meistens ist aber:

Kreuzprodukt von Tensoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung

mit #Fundamentaltensor 3. Stufe .

Zusammenhang mit #Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:

Mit #Einheitstensor:

Mehrfachprodukte:

Zusammenhang mit dem #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

Skalarkreuzprodukt von Tensoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung

Das Skalarkreuzprodukt mit dem #Einheitstensor vertauscht das dyadische Produkt durch das Kreuzprodukt:

Allgemein:

Zusammenhang mit dem #Kreuzprodukt von Tensoren:

Zusammenhang mit #Vektorinvariante und #Dualer axialer Vektor:

Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Siehe auch #Äußeres Tensorprodukt #

Abbildung

Äußeres Tensorprodukt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung

Mit der Formel für das Produkt zweier #Permutationssymbole:

Grundlegende Eigenschaften:

Kreuzprodukt und #Kofaktor:

#Hauptinvarianten:

Weitere Eigenschaften:

Aber meistens:

.

Produkte von Tensoren, Dyaden und Vektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Spatprodukt und #Determinante eines Tensors:

Kreuzprodukt und #Kofaktor:

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix, #Kreuzprodukt von Tensoren, #Skalarkreuzprodukt von Tensoren, #Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:

Tensorkomponenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wechsel der Basis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Komponenten ergeben sich durch Vor- und Nachmultiplikation mit dem #Einheitstensor :

Allgemein:

Basiswechsel mit :

Bilinearform und Identität von Tensoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition für einen Tensor A:

Zwei Tensoren A und B sind identisch, wenn

Kofaktor[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition

#Invarianten:

Wenn λ1,2,3 die #Eigenwerte des Tensors A sind, dann hat cof(A) die Eigenwerte λ1λ2, λ2λ3, λ3λ1.

#Hauptinvarianten:

#Betrag:

Weitere Eigenschaften:

Kofaktor und #Äußeres Tensorprodukt:

Kreuzprodukt und Kofaktor:

Adjunkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition:

#Hauptinvarianten:

#Betrag:

Weitere Eigenschaften:

Inverse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition

Die Inverse ist nur definiert, wenn

Zusammenhang mit dem adjungierten Tensor :

Werden die Spalten von A mit Vektoren bezeichnet, also , dann gilt:

Satz von Cayley-Hamilton:

worin die drei #Hauptinvarianten sind.

Inverse des transponierten Tensors:

Inverse eines Tensorprodukts:

#Äußeres Tensorprodukt und Inverse einer Summe:

Invertierungsformeln:

Eigensystem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigenwertproblem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

mit Eigenwert und Eigenvektor . Die Eigenvektoren werden auf die Länge eins normiert.

Jeder Tensor hat drei Eigenwerte und drei dazugehörige Eigenvektoren. Mindestens ein Eigenwert und Eigenvektor sind reell. Die beiden anderen Eigenwerte und -vektoren können reell oder komplex sein.

Eigenwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Charakteristische Gleichung

Lösung siehe Cardanische Formeln. Die Koeffizienten sind die #Hauptinvarianten :

Eigenvektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigenvektoren sind nur bis auf einen Faktor ≠ 0 bestimmt. Der Nullvektor ist kein Eigenvektor.

Bestimmungsgleichung:

Tensor :

Bestimmung mit gegebenem/angenommenem :

Geometrische Vielfachheit 1:

Geometrische Vielfachheit 2:

Die Formeln bleiben richtig, wenn die Indizes {1,2,3} zyklisch vertauscht werden.

Symmetrischen Tensoren: Für das Betragsquadrat der Komponenten der auf Betrag 1 normierten Eigenvektoren des (komplexen) Tensors gilt mit dessen Eigenwerten und den Eigenwerten der Hauptuntermatrizen von :[1]

Eigensystem symmetrischer Tensoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei symmetrisch.

Symmetrische Tensoren haben reelle Eigenwerte und paarweise zueinander senkrechte oder orthogonalisierbare Eigenvektoren, die also eine Orthonormalbasis aufbauen. Die Eigenvektoren werden so nummeriert, dass sie ein Rechtssystem bilden.

Hauptachsentransformation mit Eigenwerten und Eigenvektoren des symmetrischen Tensors A:

bzw.

Eigensystem schiefsymmetrischer Tensoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei schiefsymmetrisch.

Schiefsymmetrische Tensoren haben einen reellen und zwei konjugiert komplexe, rein imaginäre Eigenwerte. Der reelle Eigenwert von A ist null zu dem ein Eigenvektor gehört, der proportional zur reellen #Vektorinvariante ist. Siehe auch #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix.

Eigensystem allgemeiner auch unsymmetrischer Tensoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei und eine Basis und die dazu duale Basis.

Drei reelle Eigenwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Tensor

hat die Eigenwerte

und Eigenvektoren

Der #transponierte Tensor hat dieselben Eigenwerte zu den dualen Eigenvektoren

Ein reeller und zwei konjugiert komplexe Eigenwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Tensor

hat die Eigenwerte

und Eigenvektoren

Der #transponierte Tensor hat dieselben Eigenwerte zu den Eigenvektoren

Invarianten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigenwerte des Tensors[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die #Eigenwerte sind Invarianten.

Hauptinvarianten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

#Spur: I1(A), Sp(A)
#Zweite Hauptinvariante: I2(A)
#Determinante: I3(A), det(A), │A

Charakteristisches Polynom[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hauptinvarianten des Tensors A sind die Koeffizienten seines charakteristischen Polynoms:

Spezialfall:

Satz von Cayley-Hamilton:

Spur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung

mit #Eigenwerten λ1,2,3 von A.

Linearität: