Formelsammlung Tensoralgebra

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Tensoralgebra. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Liste mathematischer Symbole erläutert werden.

Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Tensoralgebra für Tensoren zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen.

Inhaltsverzeichnis

Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Notation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Operatoren wie werden nicht kursiv geschrieben.
  • Buchstaben die als Indizes benutzt werden:
    • .
      Ausnahme:
      Die imaginäre Einheit und die #Vektorinvariante werden in Abgrenzung zu den Indizes nicht kursiv geschrieben.
  • Alle anderen Buchstaben stehen für reelle Zahlen.
  • Vektoren:
    • Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum .
    • Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
    • Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie in mit einem Hut versehen. Die Standardbasis von ist .
    • Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie in mit einem Pfeil versehen.
    • Dreiergruppen von Vektoren wie in oder bezeichnen eine rechtshändige Basis von .
    • Gleichnamige Basisvektoren mit unterem und oberem Index sind dual zueinander, z. B. ist dual zu .
  • Tensoren zweiter Stufe werden wie in mit fetten Großbuchstaben notiert. Die Menge aller Tensoren wird mit bezeichnet. Tensoren vierter Stufe werden mit einer hochgestellten vier wie in geschrieben und sind Elemente der Menge .
  • Es gilt die Einstein'sche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung.
    • Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in wird über diesen Index summiert:
      .
    • Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in wird über diese summiert:
      .
    • Ein Index, der nur einfach vorkommt wie in , ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:
      .

Glossar[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Reservierte und besondere Symbole[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formelzeichen Abschnitt in der Formelsammlung Wikipedia-Artikel
#Einheitstensor Einheitstensor
#Orthogonale Tensoren Orthogonaler Tensor
#Kronecker-Delta Kronecker-Delta
#Permutationssymbol Permutationssymbol
#Fundamentaltensor 3. Stufe Epsilon-Tensor
#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix, #Schiefsymmetrische Tensoren Kreuzprodukt
#Vektorinvariante oder dualer axialer Vektor, #Schiefsymmetrische Tensoren, #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix Kreuzprodukt

Zeichen für Operatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formelzeichen Abschnitt in der Formelsammlung Wikipedia-Artikel
Skalarprodukt von Vektoren, #Vektortransformation mit Dyaden, #Vektortransformation, #Tensorprodukt von Dyaden und #Tensorprodukt Skalarprodukt
#Kreuzprodukt von Vektor und Dyade, #Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor Kreuzprodukt
#Skalarprodukt von Dyaden, #Skalarprodukt von Tensoren Frobenius-Skalarprodukt
#Dyadisches Produkt Dyadisches Produkt
#Skalarkreuzprodukt von Dyaden, #Skalarkreuzprodukt von Tensoren
#Doppeltes Kreuzprodukt von Dyaden, #Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren
#Äußeres Tensorprodukt von Dyaden, #Äußeres Tensorprodukt Äußeres Tensorprodukt
#Norm eines Tensors, #Invarianten Frobeniusnorm

Tensorfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formelzeichen Abschnitt in der Formelsammlung Wikipedia-Artikel
#Spur einer Dyade, #Spur, #Invarianten Spur (Mathematik), Hauptinvariante
#Invarianten Hauptinvariante
#Determinante, #Invarianten Determinante, Hauptinvariante
#Symmetrischer Anteil Symmetrische Matrix
#Schiefsymmetrischer Anteil Schiefsymmetrische Matrix
#Adjungierter Tensor Adjunkte
#Kofaktor eines Tensors Minor (Mathematik)#Kofaktormatrix
#Deviator Deviator, Spannungsdeviator
#Kugelanteil Kugeltensor

Indizes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formelzeichen Abschnitt in der Formelsammlung Wikipedia-Artikel
#Tensorkomponenten
#Transposition einer Dyade, #Transposition Transponierte Matrix
Transpositionen von Tensoren vierter Stufe
#Inverse eines Tensors Inverse Matrix
Transponierte des inversen Tensors
#Symmetrischer Anteil Symmetrische Matrix
#Schiefsymmetrischer Anteil Schiefsymmetrische Matrix
#Deviator Deviator, Spannungsdeviator
#Kugelanteil Kugeltensor
Tensor n-ter Stufe

Mengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formelzeichen Elemente
Reelle Zahlen
Vektoren
Tensoren zweiter Stufe
#Tensoren vierter Stufe

Kronecker-Delta[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für Summen gilt dann z. B.

Dies gilt für die anderen Indexgruppen entsprechend.

Permutationssymbol[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kreuzprodukt:

Spaltenvektoren und Matrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die hier verwendeten Vektoren sind Spaltenvektoren

Drei Vektoren können spaltenweise in einer 3×3-Matrix arrangiert werden:

Die Determinante der Matrix

ist

Also gewährleistet , dass die Vektoren eine rechtshändige Basis bilden.

Die Spaltenvektoren bilden eine Orthonormalbasis, wenn

worin die transponierte Matrix ist. Bei der hier vorausgesetzten Rechtshändigkeit gilt dann zusätzlich

Vektoralgebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Basis und Duale Basis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Basisvektoren

Duale Basisvektoren

Beziehungen zwischen den Basisvektoren

mit dem Spatprodukt

Trägt man die Basisvektoren spaltenweise in eine Matrix ein, dann finden sich die dualen Basisvektoren in den Zeilen der Inversen oder den Spalten der transponiert Inversen:

mit der transponiert inversen

In der Standardbasis sind die Basisvektoren zu sich selbst dual:

Beziehung zwischen den Skalarprodukten der Basisvektoren:

Berechnung von Vektorkomponenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wechsel der Basis bei Vektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wechsel von

Basis mit dualer Basis

nach

Basis mit dualer Basis :

Matrizengleichung:

Dyadisches Produkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition der Dyade[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung

Dyade:

Distributivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Multiplikation mit einem Skalar[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Transposition einer Dyade[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Spur einer Dyade[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung

Vektortransformation mit Dyaden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung oder

Kreuzprodukt von Vektor und Dyade[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung oder

Tensorprodukt von Dyaden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung

Skalarprodukt von Dyaden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung

Skalarkreuzprodukt von Dyaden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung

Doppeltes Kreuzprodukt von Dyaden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung

Äußeres Tensorprodukt von Dyaden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung

Tensoren als Elemente eines Vektorraumes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch die Eigenschaften des dyadischen Produktes wird zu einem Vektorraum und entsprechend kann jeder Tensor komponentenweise bezüglich einer Basis dargestellt werden.

Tensorkomponenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

mit Komponenten

Operatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Transposition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vektortransformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Tensorprodukt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Meistens ist aber:

siehe auch #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix

Skalarkreuzprodukt von Tensoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Siehe auch #Vektorinvariante

Das Skalarkreuzprodukt mit dem #Einheitstensor vertauscht das dyadische Produkt durch das Kreuzprodukt:

Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Äußeres Tensorprodukt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit der Formel für das Produkt zweier #Permutationssymbole:

Eigenschaften:

Aber meistens:

Siehe auch #Hauptinvarianten, #Kofaktor eines Tensors.

Spur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Determinante[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Determinantenproduktsatz:

Multiplikation mit Skalaren :

Charakteristische Gleichung:

mit der Hauptinvariante . Spezialfall:

Zusammenhang mit dem Spatprodukt:

Zusammenhang mit dem äußeren Tensorprodukt:

Zusammenhang mit dem Kofaktor :

Skalarprodukt von Tensoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Norm eines Tensors[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Produkte von Tensoren, Dyaden und Vektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Spatprodukt und #Determinante eines Tensors:

Kreuzprodukt und #Kofaktor eines Tensors:

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix:

#Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

Wechsel der Basis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Komponenten ergeben sich durch Vor- und Nachmultiplikation mit der Transformationsmatrix

die ein #Einheitstensor ist:

Bilinearform und Identität von Tensoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition für einen Tensor :

Zwei Tensoren und sind identisch wenn gilt:

Kofaktor eines Tensors[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition

#Invarianten:

Wenn λ1,2,3 die Eigenwerte des Tensors A sind, dann hat cof(A) die Eigenwerte λ2λ3, λ3λ1, λ1λ2.

#Hauptinvarianten:

Betrag:

Eigenschaften:

Kreuzprodukt und Kofaktor:

Adjungierter Tensor[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition:

#Hauptinvarianten:

Betrag:

Eigenschaften:

Inverse eines Tensors[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition

Die Inverse ist nur definiert, wenn

Zusammenhang mit dem adjungierten Tensor :

Werden die Spalten von mit Vektoren bezeichnet

dann gilt:

Satz von Cayley-Hamilton:

worin die drei Hauptinvarianten sind.

Inverse des transponierten Tensors:

Inverse eines Tensorprodukts:

Spezialfälle:

Eigensystem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigenwertproblem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

mit Eigenwert und Eigenvektor . Die Eigenvektoren werden auf die Länge eins normiert.

Jeder Tensor hat drei Eigenwerte und drei dazugehörige Eigenvektoren. Mindestens ein Eigenwert und Eigenvektor sind reell. Die beiden anderen Eigenwerte und -vektoren können reell oder komplex sein.

Eigenwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Charakteristische Gleichung

Die Koeffizienten sind die #Hauptinvarianten:

Satz von Cayley-Hamilton:

Eigensystem symmetrischer Tensoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei symmetrisch.

Symmetrische Tensoren haben reelle Eigenwerte und paarweise zueinander senkrechte oder orthogonalisierbare Eigenvektoren, die also eine Orthonormalbasis aufbauen. Die Eigenvektoren werden so nummeriert, dass die ein Rechtssystem bilden.

Hauptachsentransformation mit Eigenwerten und Eigenvektoren des symmetrischen Tensors :

bzw.

Eigensystem schiefsymmetrischer Tensoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei schiefsymmetrisch.

Schiefsymmetrische Tensoren haben einen reellen und zwei konjugiert komplexe, rein imaginäre Eigenwerte. Der reelle Eigenwert von ist null zu dem ein Eigenvektor gehört, der proportional zur reellen #Vektorinvariante ist. Siehe auch #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix.

Eigensystem allgemeiner auch unsymmetrischer Tensoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei und eine Basis und die dazu duale Basis.

Drei reelle Eigenwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Tensor

hat die Eigenwerte

und Eigenvektoren

Ein reeller und zwei konjugiert komplexe Eigenwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Tensor

hat die Eigenwerte

und Eigenvektoren

Spezielle Tensoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dyade[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition

Invarianten:

Eigensystem:

Einheitstensor[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

mit

Allgemein:

Es gilt:

Vektortransformation

Tensorprodukt

Skalarprodukt

Invarianten:

Eigenwerte:

Jeder Vektor ist Eigenvektor.

Unimodulare Tensoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition

Determinantenproduktsatz:

Orthogonale Tensoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition

Invarianten ( ist der Drehwinkel):

Eigentlich orthogonaler Tensor , entspricht einer Drehung.

Uneigentlich orthogonaler Tensor , entspricht einer Drehspiegelung.

Spatprodukt:

Kreuzprodukt und #Kofaktor eines Tensors:

Gegeben ein Einheitsvektor und Drehwinkel . Dann sind die folgenden Tensoren orthogonal und drehen um die Achse mit Winkel :

Drehung von Vektorraumbasis mit Drehachse :

Gegeben Orthonormalbasis , Drehwinkel und sei die Drehachse:

: Drehung, : Drehspiegelung um

Wenn ein Rechtssystem (Mathematik) bilden, dann dreht Q gegen den Uhrzeigersinn, sonst im Uhrzeigersinn um die Drehachse.

Eigensystem: