Formelsammlung Tensoranalysis

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Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Analysis mit Vektor- und Tensorfeldern zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen.

Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formelsammlung Tensoralgebra

Nomenklatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Operatoren wie „“ werden nicht kursiv geschrieben.
  • Buchstaben in der Mitte des Alphabets werden als Indizes benutzt:
  • Es gilt die Einsteinsche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung.
    • Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in wird über diesen Index von eins bis drei summiert:
      .
    • Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in wird über diese summiert:
      .
    • Ein Index, der nur einfach vorkommt wie in , ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:
      .
  • Vektoren:
    • Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum 𝕍={ℝ3,+,·}.
    • Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
    • Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie in ê mit einem Hut versehen.
    • Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie in mit einem Pfeil versehen.
    • Standardbasis
    • Beliebige Basis mit dualer Basis
    • Der Vektor wird durchgängig Ortsvektor genannt.
  • Tensoren zweiter Stufe werden wie in T mit fetten Großbuchstaben notiert. Insbesondere Einheitstensor 1.
  • Koordinaten:
  • Konstanten:
  • Zeit t ∈ ℝ
  • Variablen: skalar r,s ∈ ℝ oder vektorwertig
  • Feldfunktionen abhängig von oder :
    • Skalar oder vektorwertig
    • Tensorwertig: S, T
  • Operatoren:
  • Differentialoperatoren:
    • #Nabla-Operator: 𝜵
    • #Gradient: grad
    • #Divergenz: div
    • #Rotation: rot
    • #Laplace-Operator: Δ
    • Ein Index hinter einem Komma bezeichnet die Ableitung nach einer Koordinate:
    • Zeitableitung mit Überpunkt:
  • Landau-Symbole: f = 𝓞(x): f wächst langsamer als x.
  • Kontinuumsmechanik:

Kronecker-Delta[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Permutationssymbol[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kreuzprodukt:

Formelsammlung Tensoralgebra#Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor:

Basisvektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kartesische Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

mit Basisvektoren

die Standardbasis oder allgemeiner eine beliebige Orthonormalbasis ist.

Zylinderkoordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Winkelgeschwindigkeit#Zylinderkoordinaten:

Kugelkoordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Winkelgeschwindigkeit#Kugelkoordinaten:

Krummlinige Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ableitung von Skalar-, Vektor- oder Tensorfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gâteaux-Differential[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

mit , skalar-, vektor- oder tensorwertig aber und gleichartig.

Produktregel:

Kettenregel:

Fréchet-Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Existiert ein beschränkter linearer Operator , sodass

gilt, so wird Fréchet-Ableitung von nach genannt. Man schreibt dann auch

.

Ableitung von Potenzen eines Tensors[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

siehe Formelsammlung Tensoralgebra#Spezielle Tensoren vierter Stufe.

Allgemein mit n ∈ ℕ, >0, T0 := 1:

#Gâteaux-Differential der Inversen:

n ∈ ℕ, >0:

Orthogonaler Tensor (Q·Q=1):

Ableitungen nach dem Ort[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nabla-Operator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

#Kartesische Koordinaten  :

#Zylinderkoordinaten:

#Kugelkoordinaten:

#Krummlinige Koordinaten  :    mit    .

Gradient[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition des Gradienten/Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definierende Eigenschaft bei skalar- oder vektorwertiger Funktion f:[1]

wenn

Wenn der Gradient existiert, ist er eindeutig. Berechnung bei skalar- oder vektorwertiger Funktion f:

Integrabilitätsbedingung: Jedes rotationsfreie Vektorfeld ist das Gradientenfeld eines Skalarpotentials:

.

Koordinatenfreie Darstellung als Volumenableitung:

Skalarfeld f:

Vektorfeld :[2]

Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:

Gradient in verschiedenen Koordinatensystemen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

#Kartesische Koordinaten:

#Zylinderkoordinaten:

#Kugelkoordinaten:

#Krummlinige Koordinaten:

Christoffelsymbole:

Vektorfelder:

Mit den kovarianten Ableitungen

Tensorfelder:

Soll das Argument wie beim Vektorgradient rechts vom Operator stehen, dann lautet der Tensorgradient

Für ein Tensorfeld zweiter Stufe:

Produktregel für Gradienten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In drei Dimensionen ist speziell[3]

Beliebige Basis:

Divergenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition der Divergenz/Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vektorfeld  :

Klassische Definition für ein Tensorfeld T:[1]

Koordinatenfreie Darstellung:

Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:

Divergenz in verschiedenen Koordinatensystemen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

#Kartesische Koordinaten:

#Zylinderkoordinaten:

ergibt sich hieraus durch Vertauschen von Tab durch Tba.

#Kugelkoordinaten:

ergibt sich hieraus durch Vertauschen von Tab durch Tba.

Produktregel für Divergenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beliebige Basis:

Produkt mit Konstanten:

Rotation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition der Rotation/Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vektorfeld  :

Klassische Definition für ein Tensorfeld T:[1]

Allgemeine Identitäten:

Integrabilitätsbedingung[4]: Jedes divergenzfreie Vektorfeld ist die Rotation eines Vektorfeldes:

.

Siehe auch #Satz über rotationsfreie Felder.

Koordinatenfreie Darstellung:

Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:

Rotation in verschiedenen Koordinatensystemen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

#Kartesische Koordinaten:

#Zylinderkoordinaten:

#Kugelkoordinaten:

Produktregel für Rotationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beliebige Basis:

Produkt mit Konstanten:

In divergenzfreien Feldern ist also:

Laplace-Operator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition/Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zusammenhang mit anderen Differentialoperatoren:

„Vektorieller Laplace-Operator“:

Laplace-Operator in verschiedenen Koordinatensystemen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

#Kartesische Koordinaten:

#Zylinderkoordinaten:

#Kugelkoordinaten:

Verknüpfungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wegen der in der Literatur teilweise abweichenden Definitionen der Differentialoperatoren kann es in der Literatur zu abweichenden Formeln kommen. Wenn die Definitionen der Literatur hier eingesetzt werden, gehen die hiesigen Formeln in die der Literatur über.

Bei symmetrischem T = T gilt:


Wenn zusätzlich dann ist:

Der Laplace-Operator kann zwischen den anderen Operatoren wie ein Skalar behandelt werden, also an beliebiger Stelle in die Formeln eingesetzt werden, z. B.:

Grassmann-Entwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sätze über Gradient, Divergenz und Rotation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Vektorfeld, dessen Divergenz und Rotation verschwindet, ist harmonisch:

Helmholtz-Theorem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jedes Vektorfeld lässt sich eindeutig in einen divergenzfreien und einen rotationsfreien Anteil zerlegen. Den Integrabilitätsbedingungen für Rotationen und Gradienten zufolge ist der erste Anteil ein Rotationsfeld und der zweite ein Gradientenfeld.

Satz über rotationsfreie Felder[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

oder

Gaußscher Integralsatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Volumen mit Volumenform und
  • Oberfläche mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement
  • Ortsvektoren
  • Skalar-, vektor- oder tensorwertige Funktion des Ortes  :

Mit der #Produktregel für Gradienten, #Produktregel für Divergenzen und #Produktregel für Rotationen können Formeln für die partielle Integration im Mehrdimensionalen abgeleitet werden, beispielsweise:

Klassischer Integralsatz von Stokes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben:

  • Fläche mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement
  • Berandungskurve der Fläche mit Linienelement
  • Ortsvektoren

Vektorwertige Funktion  :

Mit der #Produktregel für Rotationen können Formeln für die partielle Integration im Mehrdimensionalen abgeleitet werden, beispielsweise:

Reynoldscher Transportsatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben:

  • Zeit
  • Zeitabhängiges Volumen mit Volumenform mit
  • Oberfläche des Volumes und äußerem vektoriellem Oberflächenelement
  • Ortsvektoren
  • Geschwindigkeitsfeld:
  • Eine skalare oder vektorwertige Dichtefunktion pro Volumeneinheit , die mit den sich bewegenden Partikeln transportiert wird.
  • Die Integrale Größe für das Volumen:

Skalare Funktion  :

Vektorwertige Funktion  :

Transportsatz für Flächenintegrale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben:

  • Zeit
  • Ortsvektoren
  • Geschwindigkeitsfeld:
  • Zeitabhängige Fläche , die mit dem Geschwindigkeitsfeld transportiert wird und auf der mit räumlichem, vektoriellem Oberflächenelement im Volumen v integriert wird
  • Eine skalare oder vektorwertige Feldgröße , die mit den sich bewegenden Partikeln transportiert wird.
  • Die Integrale Größe auf der Fläche:

Skalare Funktion  :