Hexakisoktaeder

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3D-Ansicht eines Hexakisoktaeders (Animation)
Netz des Hexakisoktaeders

Das Hexakisoktaeder (aus griechisch ἑξάκις hexakis „sechsmal“ und Oktaeder „Achtflächner“) oder Disdyakisdodekaeder (griechisch δίς dis „zweimal“, griechisch δυάκις dyakis „zweimal“ und Dodekaeder „Zwölfflächner“) ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 48 unregelmäßigen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Kuboktaederstumpf und hat 26 Ecken sowie 72 Kanten.

Entstehung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rhombendodekaeder als Basis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Werden auf die 12 Begrenzungsflächen eines Rhombendodekaeders (Kantenlänge ) Pyramiden mit den Flankenlängen und aufgesetzt, entsteht ein Hexakisoktaeder, sofern folgende Bedingung erfüllt ist:

  • Für den o. g. minimalen Wert von haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Rhombendodekaeder mit der Kantenlänge übrig bleibt.
  • Das spezielle Hexakisoktaeder mit gleichen Flächenwinkeln an den Kanten und entsteht, wenn ist.
  • Nimmt den zuvor genannten maximalen Wert an, entartet das Hexakisoktaeder zu einem Deltoidalikositetraeder mit den Kantenlängen und .
  • Überschreitet den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex.

Kuboktaederstumpf als Basis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion des Dreiecks am Kuboktaederstumpf

Durch Verbinden der Mittelpunkte dreier Kanten, die in jeder Raumecke des abgestumpften Kuboktaeders zusammenstoßen, entsteht ein Dreieck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Dreiecks, der Begrenzungsfläche des Hexakisoktaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 155°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.

Sei d die Kantenlänge des Kuboktaederstumpfs, so sind die resultierenden Seitenlängen des Dreiecks gegeben durch

Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden bezeichne die jeweils längste Kante des Hexakisoktaeders ().

Regulär[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Basis ist das abgestumpfte Kuboktaeder (dualer archimedischer Körper).

Größen eines Hexakisoktaeders mit Kantenlänge a
Volumen
Oberflächeninhalt
Inkugelradius
Kantenkugelradius
Flächenwinkel
 ≈ 155° 4′ 56″
Größen des Dreiecks
Flächeninhalt
2. Seitenlänge
3. Seitenlänge
1. Winkel
 ≈ 87° 12′ 7″
2. Winkel
 ≈ 55° 1′ 29″
3. Winkel
 ≈ 37° 46′ 24″

Rhombisch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Basis ist das Rhombendodekaeder (Kantenlänge ).

Allgemein[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Größen eines Hexakisoktaeders mit Kantenlängen a, b
Volumen
Oberflächeninhalt
Pyramidenhöhe
Inkugelradius
Flächenwinkel
 (über Kante a)
Flächenwinkel
 (über Kante b)
Flächenwinkel
 (über Kante c)
Größen des Dreiecks
Flächeninhalt
3. Seitenlänge
1. Winkel
2. Winkel
3. Winkel

Speziell[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Größen eines Hexakisoktaeders mit Kantenlänge a
Volumen
Oberflächeninhalt
Inkugelradius
Flächenwinkel
 (ü. Kanten a, b)
≈ 153° 6′ 4″
Flächenwinkel
 (ü. Kante c)
≈ 161° 4′ 4″
Größen des Dreiecks
Flächeninhalt
2. Seitenlänge
3. Seitenlänge
1. Winkel
 ≈ 87° 42′ 53″
2. Winkel
 ≈ 55° 52′ 13″
3. Winkel
 ≈ 36° 24′ 54″

Vorkommen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Das Hexakisoktaeder kommt in der Natur als Kristallform vor. Es ist die allgemeine Flächenform der hexakisoktaedrischen Kristallklasse m3m.
  • Zur Anwendung kommt das Hexakisoktaeder auch als Spielwürfel (W48).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Disdyakisdodekaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien