Pentagonhexakontaeder

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3D-Ansicht eines Pentagonhexakontaeders (Animation)
Netz des Pentagonhexakontaeders

Das Pentagonhexakontaeder ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 60 Fünfecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum abgeschrägten Dodekaeder und hat 92 Ecken sowie 150 Kanten.

Die folgenden Bilder zeigen zwei zueinander spiegelbildliche Pentagonhexakontaeder.

Entstehung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion des Tangentenfünfecks am abgeschrägten Dodekaeder

Durch Verbinden der Mittelpunkte von jeweils fünf Kanten, die in jeder Raumecke des abgeschrägten Dodekaeders zusammenstoßen, entsteht ein Sehnenfünfeck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Tangentenfünfecks, der Begrenzungsfläche des Pentagonhexakontaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 153°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.

Nachfolgend bezeichne der Term t den Kosinus des kleineren Zentriwinkels \zeta im zuvor erwähnten Sehnenfünfeck; \Phi sei die Goldene Zahl.

t ist die einzige reelle Lösung der kubischen Gleichung 8t^3+8t^2-\Phi^2=0.

 t = \cos \,\zeta = \frac{1}{12} \left(\sqrt[3]{44 + 12\Phi\,(9 + \sqrt{81\Phi-15})} + \sqrt[3]{44 + 12\Phi\,(9 - \sqrt{81\Phi-15})} -4 \right) [1]

Sei d die Kantenlänge des abgeschrägten Dodekaeders, so sind die resultierenden Seitenlängen des Tangentenfünfecks gegeben durch

 a = \frac{d\,(1+2t)}{2\,(1-2t^2)\sqrt{2+2t}}
 b = \frac{d}{\sqrt{2+2t}} .

Damit stehen die beiden Seitenlängen im folgenden Verhältnis zueinander:[2]

 2a\left(1-2t^2\right) = b \left(1+2t\right)

Verwandte Polyeder[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formeln[3][Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für das Polyeder[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Größen eines Pentagonhexakontaeders mit Kantenlänge a bzw. b
Volumen[4]
 ≈ 35,42a3 ≈ 189,84b3
V = \frac{40a^3(1+t)(2+3t)(1-2t^2)^2}{(1+2t)^3\sqrt{1-2t}} = \frac{5b^3(1+t)(2+3t)}{(1-2t^2)\sqrt{1-2t}}
Oberflächeninhalt[4]
 ≈ 53,14a2 ≈ 162,73b2
A_O = \frac{120a^2(2+3t)(1-2t^2)}{(1+2t)^2} \sqrt{1-t^2} = \frac{30b^2(2+3t)}{(1-2t^2)} \sqrt{1-t^2}
Kantenkugelradius[4] r = \frac{a\,(1-2t^2)}{1-4t^2} \sqrt{2\,(1+t)(1-2t)} = b\,\sqrt{\frac{1+t}{2\,(1-2t)}}
Inkugelradius[4] \rho = \frac{a\,(1-2t^2)}{1+2t} \sqrt{\frac{1+t}{(1-t)(1-2t)}} = \frac{b}{2}\, \sqrt{\frac{1+t}{(1-t)(1-2t)}}
Flächenwinkel[4]
 ≈ 153° 10′ 43″
 \cos \, \alpha= \frac{t}{t-1}

Für die Begrenzungsflächen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Größen des Tangentenfünfecks
Flächeninhalt[4]  A = \frac{2a^2(2+3t)(1-2t^2)}{(1+2t)^2} \sqrt{1-t^2} = \frac{b^2(2+3t)}{2\,(1-2t^2)} \sqrt{1-t^2}
Inkreisradius[4]  r = \frac{a\,(1-2t^2)}{1+2t}\sqrt{\frac{1+t}{1-t}} = \frac{b}{2}\,\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}
Diagonale[4] \|\, b  e = 2a\,(1-2t^2) =  b\,(1+2t)
Stumpfe Winkel[4](4)
 ≈ 118° 8′ 12″
 \cos \, \alpha = -t
Spitzer Winkel (1)
 ≈ 67° 27′ 13″
 \cos \, \beta = 1 - 2\,(1-2t^2)^2

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Größen in den Begrenzungsflächen des Pentagonhexakontaeders

In den USA ist ein Verfahren patentiert, bei dem 92 der insgesamt 332 Vertiefungen („dimples“) eines Golfballs auf den Gitterpunkten eines Pentagonhexakontaeders liegen.[5]

Anmerkungen und Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. t ≈ 0,47157563
  2. Mit a sei die längere der beiden Seiten bezeichnet.
  3. Diese Formeln gelten für den Fall  2a\left(1-2t^2\right) = b \left(1+2t\right).
  4. a b c d e f g h i Diese Formel gilt auch für das Pentagonikositetraeder sowie das Pentagondodekaeder, sofern man die entsprechenden Werte für b (kurze Seitenlänge), n (Anzahl der Begrenzungsflächen) sowie t (Kosinus des kleineren Zentriwinkels) einsetzt und ferner beachtet, dass O = n·A und V = 1/3·O·ρ ist.
  5. Pentagonal hexecontahedron dimple pattern on golf balls (engl.)

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Pentagonhexakontaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Pentagonhexakontaeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen