Idealoperator

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In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eine Teilmenge einer algebraischen Struktur mit mindestens einer multiplikativen zweistelligen Operation, die abgeschlossen bezüglich Produkten mit Elementen aus der gesamten Struktur ist.

Die Ideale gleichen Typs auf einer gegebenen algebraischen Struktur bilden stets ein Hüllensystem, das Idealsystem genannt wird. Zu jedem Idealsystem ist immer ein entsprechender Hüllenoperator gegeben (und umgekehrt), das ist der zugehörige Idealoperator.

Zur einfacheren Darstellung wird hier nur der kommutative Fall beschrieben. Verzichtet man auf die Kommutativität der Multiplikation, dann handelt es sich im Folgenden jedoch um Linksideale, und vertauscht man bei jedem Produkt den linken und den rechten Faktor, ergeben sich entsprechend Rechtsideale. Zweiseitige Ideale oder einfach nur Ideale sind sowohl Links- als auch Rechtsideale. Bei Kommutativität besteht kein Unterschied zwischen diesen drei Arten von Idealen.

„Klassische“ Ringideale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zahlentheoretische Untersuchungen von Zahlenbereichen, bei denen eine eindeutige Primfaktorzerlegung von Elementen nicht mehr gegeben war, führten zur Entwicklung der „klassischen“ Idealtheorie für kommutative Ringe.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Ring, dann ist ein (dedekindsches) Ideal oder -Ideal die Trägermenge einer Untergruppe von , für die gilt:

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Ideale eines Rings sind genau die Kerne der Ringhomomorphismen des Ringes.
  • Die Ideale eines Rings bilden jeweils ein Hüllensystem, so dass die Ideale durch den zugehörigen Hüllenoperator gegeben sind.

Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeine Idealoperatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da in der Regel nur die jeweilige assoziative zweistellige Operation entscheidend für die Faktorisierung ist (der nicht assoziative Fall wird im Folgenden nicht behandelt), ist es für eine allgemeine Idealtheorie ausreichend, Halbgruppen zu betrachten:

Gegeben sei im Folgenden stets eine kommutative multiplikative Halbgruppe , und es sei

die Komplexmultiplikation über , wobei die Potenzmenge von ist.

bildet dann einen unter anderem kommutativen, assoziativen, vollständigen multiplikativen Verband mit einem Nullelement .

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es soll nun

ein Hüllenoperator auf sein, mit der Eigenschaft, dass

wird dann ein -Idealoperator oder kurz -Operator auf genannt, ist das -Idealsystem bzw. -System zu , ein heißt -Ideal und ist das von erzeugte -Ideal. bezeichnet das von erzeugte -Ideal und ist das von erzeugte -Hauptideal.

Bemerkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • ist gewöhnlich kein Ideal, weil es aber für die Idealarithmetik von Vorteil ist, soll hier auch ein unechtes -Hauptideal sein, falls .
  • Zur Unterscheidung von Idealen und beliebigen Teilmengen von werden im Folgenden die Ideale, im Gegensatz zu beliebigen Teilmengen, mit einem entsprechenden Index versehen.

Idealverbände[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf sind zwei zweistellige Operationen

gegeben, so dass einen vollständigen Verband bildet, den Verband der -Ideale von . Dabei ist die -Idealverbindung, der -Idealdurchschnitt.

Wie für alle Hüllensysteme gilt auch für jedes -Idealsystem:

Algebraische Idealoperatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ist genau dann algebraisch, wenn algebraisch ist, also

und

Bezeichnet die Mächtigkeit der Menge , so existiert mit

immer ein algebraischer -Idealoperator zu .

x-Idealoperatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die -Idealmultiplikation

besitzt zwar die für Ideale charakteristische Eigenschaft

sie bietet aber im Allgemeinen noch nicht genügend Eigenschaften, um gut untersuchen zu können. Als gut geeignet für eine allgemeine Idealtheorie hat sich hingegen die folgende Klasse von -Idealoperatoren erwiesen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

So genannte -Idealoperatoren bzw. -Operatoren sind -Idealoperatoren, bei denen Translationen

stetig sind wie bei topologischen Abschlussoperatoren:

mit für jedes und alle .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Mit jedem -Idealoperator ist auch ein -Idealoperator.
  • Für jeden -Idealoperator auf folgt sogar
  • Die zweiseitigen -Ideale einer Halbgruppe sind genau die Kerne von bestimmten Halbgruppenhomomorphismen von , und es gilt
  • Ein zweiseitiges -Idealsystem bildet einen (kommutativen,) assoziativen, quasiganzen und vollständigen multiplikativen Verband .
  • Ebenso ist für zweiseitige -Ideale ein solcher multiplikativer Verband, der zudem stets algebraisch ist.

Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ein beliebiger -Idealoperator induziert stets einen -Idealoperator, so dass auch -Idealoperatoren sehr allgemeiner Natur sind.
  • Ein anderer, abstrakter Ansatz für eine allgemeine Idealtheorie ist die Beschreibung von Idealsystemen durch entsprechende multiplikative Verbände.
  • In der Regel können Begriffe aus der „klassischen“ Idealtheorie, wie Maximalideal, Primideal usw., problemlos für -Ideale übernommen werden.

r-Idealoperatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein -Idealoperator auf ist ein -Idealoperator, der zusätzlich translationsabgeschlossenen ist, also

und für den auch noch gilt:

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für jeden translationsabgeschlossenen -Idealoperator auf folgt sogar
  • Besitzt ein Einselement 1, dann ist jeder translationsabgeschlossene -Idealoperator auf bereits ein -Idealoperator und
und
  • ist ebenfalls ein -Idealoperator.
  • Jedes zweiseitige -Hauptideal ist ein Multiplikationsideal, das heißt
  • Ein zweiseitiges ist in kürzbar, also
wenn in kürzbar ist.

Bemerkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • -Idealsysteme weisen alle wesentlichen Eigenschaften der -Idealsysteme von Ringen auf, weshalb sie eine gute Untersuchung der Teilbarkeitsverhältnisse in erlauben.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • H. Prüfer: Untersuchungen über die Teilbarkeitseigenschaften von Körpern. J. reine angew. Math. 168 (1932), 1–36.
  • K. E. Aubert: Theory of x-ideals. Acta Math. 107 (1962), 1–52.
  • I. Fleischer: Equivalence of x-systems and m-lattices, in: Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai, 33. Contributions to Lattice Theory, Szeged, 1980. North-Holland, Amsterdam-Oxford-New York, 1983, S. 381–400.
  • P. Lorenzen: Abstrakte Begründung der multiplikativen Idealtheorie. Math. Z. 45 (1939), 533–553.
  • M. Ward, R.P. Dilworth: The lattice theory of ova. Ann. Math. 40 (1939), 600–608.
  • L. Fuchs: Teilweise geordnete algebraische Strukturen. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen, 1966.
  • G. Birkhoff: Lattice Theory. American Mathematical Society, Providence, R.I., 3rd ed. 1973.