Portmanteau-Theorem

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Das Portmanteau-Theorem, auch Portmanteau-Satz[1] genannt (alternative Schreibweise auch Portemanteau-Theorem bzw. Portemanteau-Satz) ist ein Satz aus den mathematischen Teilgebieten der Stochastik und der Maßtheorie. Es listet äquivalente Bedingungen für die schwache Konvergenz von Maßen und ihrem Spezialfall, der Konvergenz in Verteilung von Zufallsvariablen, auf. Diese Bedingungen sind in manchen Situationen einfacher nachzurechnen als die Definition der schwachen Konvergenz. Der Satz geht zurück auf eine Arbeit von Pawel Sergejewitsch Alexandrow aus dem Jahr 1940,[2] wird aber in unterschiedlichsten Varianten unterschiedlicher Notation und Allgemeinheit formuliert und teils noch um eigenständige mathematische Sätze ergänzt.

Formulierungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Portmanteau-Theorem besteht im Wesentlichen aus drei verschiedenen Typen von Aussagen:

  1. Das Verhalten der Folgen von (Wahrscheinlichkeits)maßen auf bestimmten Mengen
  2. Das Verhalten bei Erwartungswertbildung/Integration gewisser Funktionenklassen
  3. Selbstständige mathematische Sätze, die in die Aufzählung mit eingereiht werden.

Diese werden je nach Autor

formuliert.

Dementsprechend sind viele unterschiedliche Formulierungen in der Literatur zu finden.Dieser Artikel enthält einerseits eine Formulierung für die Konvergenz in Verteilung reellwertiger Zufallsvariablen, welche die für die Stochastik wichtigsten Aussagen enthält. Die zweite Formulierung ist eine allgemeine, maßtheoretische. Sie kann durch entsprechende Einschränkungen auf Spezialfälle angepasst werden.

Abkürzungen und Vorbemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wichtig für die Formulierung des Theorems sind die sogenannten -randlosen Mengen, auch -Stetigkeitsmengen genannt. Ist ein Borelmaß auf einem Hausdorff-Raum und der Borelschen σ-Algebra , so heißt eine Menge eine -randlose Menge, wenn ihr Rand eine -Nullmenge ist. Es gilt dann also

,

wobei den Abschluss und das Innere der Menge bezeichnet.

Des Weiteren sei

  • der Raum der gleichmäßig stetigen beschränkten Funktionen auf
  • der Raum der beschränkten Funktionen auf
  • der Raum der Lipschitz-stetigen Funktionen auf
  • die Menge aller Unstetigeitsstellen der Funktion

Formulierung für Verteilungskonvergenz reeller Zufallsvariablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien reellwertige Zufallsvariablen. Dann sind äquivalent:

  1. Die konvergieren in Verteilung gegen
  2. Die Verteilungsfunktionen konvergieren an jeder Stetigkeitsstelle von punktweise gegen (Satz von Helly-Bray).
  3. Die charakteristischen Funktionen konvergieren punktweise gegen (Stetigkeitssatz von Lévy)
  4. Es gilt für alle :
    .
  5. Es ist für alle -randlosen Mengen.
  6. Für alle offenen Mengen gilt
    .
  7. Für alle abgeschlossenen Mengen gilt
    .

Maßtheoretische Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein metrischer Raum sowie die dazugehörige Borelsche σ-Algebra . Für endliche Maße auf dem Messraum sind die folgenden Aussagen äquivalent:

  • Die konvergieren schwach gegen
  • Für alle gilt
  • Für alle gilt
  • Für alle messbaren mit gilt
  • Für jede -randlose Menge gilt
  • Es ist und für jede offene Menge ist
    .
  • Es ist und für jede abgeschlossene Menge ist
    .

Ist zusätzlich lokalkompakt und polnisch, so lässt sich die Liste um die folgenden beiden Aussagen erweitern:

  • Die konvergieren vage gegen und
  • Die konvergieren vage gegen und

Für endliche Maße auf gilt außerdem zusätzlich:

  • Eine Folge von endlichen Maßen auf konvergiert genau dann schwach gegen ein Maß , wenn eine reelle Folge existiert, so dass die Folge von Verteilungsfunktionen (im Sinne der Maßtheorie) schwach gegen die Verteilungsfunktion von konvergiert (Satz von Helly-Bray).

Weitere Formulierungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es existieren noch weitere äquivalente Formulierungen für die schwache Konvergenz. Teils finden sich noch weitere trennende Familien (differenzierbare Funktionen, Einschränkung der Eigenschaften durch Gültigkeit mit Ausnahme einer Nullmenge etc.) Nicht alle sind hier mit aufgezählt.

Des Weiteren existieren noch äquivalente Formulierungen der schwachen Konvergenz, die meist nicht in das Theorem mit aufgenommen werden. Dazu zählt beispielsweise die Metrisierung der entsprechenden Topologie mittels der Prochorow-Metrik oder Straffheitskriterien für die Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2009, S. 290.
  2. R. M. Dudley: Real analysis and probability. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-00754-2, S. 433.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]