Portmanteau-Theorem

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Das Portmanteau-Theorem (alternative Schreibweise auch Portemanteau-Theorem) ist ein Satz aus den mathematischen Teilgebieten der Stochastik und der Maßtheorie. Es beschreibt äquivalente Bedingungen für die schwache Konvergenz von Maßen und ihrem Spezialfall, der Konvergenz in Verteilung von Zufallsvariablen. Diese Bedingungen sind in manchen Situationen einfacher nachzurechnen als die Definition der schwachen Konvergenz. Der Satz geht zurück auf eine Arbeit von Pawel Sergejewitsch Alexandrow aus dem Jahr 1940.[1]

Das Portmanteau-Theorem wird in unterschiedlichen Varianten formuliert, die sich bezüglich ihres Umfangs und der Allgemeingültigkeit sowie ihres Formalismus unterscheiden. Dies beruht auf der Verwendung des Satzes in unterschiedlichen mathematischen Teilgebieten.

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wichtig für die Formulierung des Theorems sind die sogenannten  \mu-randlosen Mengen, auch  \mu-Stetigkeitsmengen genannt. Ist  \mu ein Borel-Maß auf einem Hausdorff-Raum und der Borelschen σ-Algebra  \mathcal B , so heißt eine Menge  B eine  \mu-randlose Menge, wenn ihr Rand eine  \mu-Nullmenge ist. Es gilt dann also

 \mu(\partial B)= \mu( \overline{B} \setminus B^\circ)=0,

wobei  \overline{B} den Abschluss und B^\circ das Innere der Menge  B bezeichnet.

Die Definition gilt damit auch für die hier betrachteten Fälle eines metrischen Raumes, versehen mit der borelschen σ-Algebra und den darauf betrachteten endlichen Maßen bzw. (Sub-)Wahrscheinlichkeitsmaßen.

Maßtheoretische Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein metrischer Raum  (X,d) sowie die dazugehörige Borelsche σ-Algebra  \mathcal B sowie  C_b^g(X) der Raum der gleichmäßig stetigen beschränkten Funktionen auf  X . Für endliche Maße  \mu, \mu_n auf dem Messraum  (X, \mathcal B ) sind die folgenden Aussagen äquivalent:

  1. Die  \mu_n konvergieren schwach gegen  \mu
  2. Es gilt
    \lim_{n\to \infty}\int_X f \mathrm d\mu_n = \int_X f \mathrm d\mu
    für alle  f \in C_b^g(X) .
  3. Für jede  \mu-randlose Borel-Menge  R \in \mathcal B gilt
     \lim_{n \to \infty}\mu_n(R)=\mu(R)
  4. Es ist  \lim_{n \to \infty}\mu_n(X)=\mu(X) und für jede offene Menge  U ist
     \liminf_{n \to \infty} \mu_n(U)\geq \mu(U).
  5. Es ist  \lim_{n \to \infty}\mu_n(X)=\mu(X) und für jede abgeschlossene Menge  A ist
     \limsup_{n \to \infty} \mu_n(A)\leq \mu(U).

Wahrscheinlichkeitstheoretische Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien X, X_1, X_2, \dotsc reellwertige borel-messbare Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega, \Sigma, \mathbb P) und  P_X, P_{X_1}, P_{X_2}, \dots die Verteilungen dieser Zufallsvariablen. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. Die  X_n konvergieren in Verteilung gegen  X
  2. Es gilt
    \lim_{n \to \infty } \operatorname E ( f \circ X_n )= \operatorname E ( f \circ X ) .
    für alle  f \in C_b^g(X) .
  3. Es ist \lim_{n\to\infty} \mathbb P (X_n\in C)= \mathbb P (X\in C) für alle P_{X}-randlosen Mengen.
  4. Für alle offenen Mengen G gilt
    \liminf_{n\to\infty} \mathbb P (X_n\in G) \geq \mathbb P(X\in G ).
  5. Für alle abgeschlossenen Mengen A gilt
    \limsup_{n\to\infty} \mathbb P (X_n\in A) \leq  \mathbb P (X\in A).

Varianten in der Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Teilweise werden noch weitere äquivalente Aussagen dem Portmanteau-Theorem hinzugefügt. So finden finden sich beispielsweise auch Charakterisierungen der schwachen Konvergenz/Verteilungskonvergenz über Eigenschaften der Verteilungsfunktionen. Dies entspricht einer Aufnahme des Satzes von Helly-Bray in das Theorem. In der maßtheoretischen Formulierung lautet diese Aussage dann

In der wahrscheinlichkeitstheoretischen Formulierung vereinfacht sich diese Aussage dann zu

Des Weiteren formulieren manche Autoren das Portmanteau-Theorem auch für Subwahrscheinlichkeitsmaße oder fügen ihm noch Aussagen über die vage Konvergenz oder weitere trennende Familien hinzu.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Portmanteau-Theorem lässt sich allgemein für polnische Räume formulieren, abgesehen von der Charakterisierung der Verteilungskonvergenz über Verteilungsfunktionen.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. R. M. Dudley: Real analysis and probability. Cambridge : Cambridge University Press, 2002, ISBN 0521007542, S. 433.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]