SL(2,R)

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Dieser Artikel behandelt die spezielle lineare Gruppe , für die Lie-Algebra siehe sl(2,R).

Die spezielle lineare Gruppe oder ist die Gruppe der reellen -Matrizen mit Determinante 1:

Sie ist eine Lie-Gruppe mit vielfältigen Anwendungen in Geometrie, Topologie, Darstellungstheorie, harmonischer Analysis, Zahlentheorie, Modulformen und Physik.

Darstellungstheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jede natürliche Zahl gibt es eine, bis auf Isomorphismus eindeutige, -dimensionale irreduzible Darstellung der . Eine explizite Realisierung dieser irreduziblen Darstellung ist wie folgt. Sei

der Vektorraum der homogenen Polynome vom Grad in 2 Variablen. Dieser Vektorraum ist -dimensional und wirkt durch

Die Veronese-Einbettung ist äquivariant bezüglich der irreduziblen Darstellung .

Die unendlich-dimensionalen Darstellungen der werden durch die Langlands-Klassifikation beschrieben.

Lie-Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: sl(2,R)

ist eine Lie-Gruppe, ihre Lie-Algebra ist die Lie-Algebra der spurfreien -Matrizen

.

Eine Vektorraum-Basis des 3-dimensionalen Vektorraumes ist zum Beispiel

mit den Kommutator-Relationen

.

Diese Lie-Algebra ist einfach, sie hat zwei nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren: eine erzeugt von , die andere von .

Die Killing-Form ist . Sie ist negativ definit auf dem von erzeugten Unterraum, positiv definit auf dem von und erzeugten Unterraum.

Lineare Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Matrizen aus entsprechen invertierbaren linearen Abbildungen des Vektorraums . Die Matrix wirkt durch

Matrizen aus erhalten die Volumenform, aber im Allgemeinen nicht die euklidische Metrik des .

Klassifikation der 2×2-Matrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Eigenwerte einer Matrix sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms

und lassen sich nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen berechnen als

.

Man klassifiziert die Matrizen dann entsprechend der folgenden Einteilung:

  • Wenn , dann ist eine elliptische Matrix.
  • Wenn , dann ist eine parabolische Matrix.
  • Wenn , dann ist eine hyperbolische Matrix.

Elliptische Elemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Drehung mit Fixpunkt 0.

Elliptische Elemente sind von der Form

mit und .

Die Matrix wirkt auf der euklidischen Ebene als Drehung mit Fixpunkt 0 und Drehwinkel .

Parabolische Elemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Scherung bildet ein Rechteck auf ein Parallelogramm ab.

Parabolische Elemente sind von der Form

mit und .

Die Matrix wirkt auf der euklidischen Ebene als Scherung.

Hyperbolische Elemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Bild-Parallelogramm hat denselben Flächeninhalt wie das ursprüngliche Quadrat.

Hyperbolische Elemente sind von der Form

mit und .

Die Matrix wirkt als Dehnstauchung, d. h., sie dehnt in Richtung eines Eigenvektors, staucht in Richtung des anderen Eigenvektors, erhält insgesamt aber den Flächeninhalt.

Hyperbolische Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Matrizen aus wirken auf der oberen Halbebene

durch

.

Sie wirken als Isometrien der hyperbolischen Metrik.

Weil als Identitätsabbildung wirkt, faktorisiert diese Wirkung von über

.

Projektive Geometrie und gebrochen-lineare Transformationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die projektive Gerade ist die Menge aller Geraden durch den Nullpunkt im . Die Wirkung von auf gibt eine wohl-definierte Wirkung von auf .

Durch wird eine Bijektion zwischen und definiert. Nach dieser Identifizierung von und wirkt auf durch gebrochen-lineare Transformationen

.

Die Veronese-Einbettung ist äquivariant bzgl. der irreduziblen Darstellung .

ist auch der Rand im Unendlichen der hyperbolischen Ebene . Die Wirkung von auf der Kompaktifizierung der hyperbolischen Ebene durch gebrochen-lineare Transformationen ist stetig. Elliptische Elemente haben einen Fixpunkt in , parabolische Elemente haben einen Fixpunkt in , hyperbolische Elemente haben zwei Fixpunkte in .

Fuchssche Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diskrete Untergruppen von bezeichnet man als Fuchssche Gruppen.

Die Limesmenge einer Fuchsschen Gruppe ist der Durchschnitt von mit dem Abschluss einer Bahn , wobei und die Definition der Limesmenge unabhängig vom gewählten Punkt ist.

Eine Fuchssche Gruppe heißt Fuchssche Gruppe 1. Art, falls die Limesmenge ganz ist. Andernfalls handelt es sich um eine Fuchssche Gruppe 2. Art.

Fuchssche Gruppen 1. Art sind die sogenannten Gitter in , d. h. diskrete Untergruppen , für die es einen Fundamentalbereich endlichen Volumens in der hyperbolischen Ebene gibt.

Ein Beispiel eines Gitters in ist die modulare Gruppe , die unter anderem in der Theorie der Modulformen eine zentrale Rolle mit vielen zahlentheoretischen Anwendungen spielt.

Wenn eine Fuchssche Gruppe keine Elemente der Ordnung 2 enthält, dann ist sie die Projektion einer diskreten Untergruppe von . (Satz von Culler)

Topologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kreis-Gruppe ist eine maximal kompakte Untergruppe von . Die Untergruppe ist ein Deformationsretrakt von , insbesondere sind die beiden Räume homotopieäquivalent.

Die Fundamentalgruppe von ist isomorph zu , die höheren Homotopiegruppen sind trivial.

Die universelle Überlagerung von ist ein Beispiel einer Lie-Gruppe, welche keine treue endlich-dimensionale Darstellung besitzt, also zu keiner Untergruppe einer allgemeinen linearen Gruppe isomorph ist.

Der Quotient ist diffeomorph zum Einheitstangentialbündel der hyperbolischen Ebene: .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]