Steifigkeit

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Die Steifigkeit ist eine Größe der Technischen Mechanik. Sie beschreibt den Widerstand eines Körpers gegen eine durch äußere Belastung (Kraft oder Moment) aufgeprägte elastische Verformung und vermittelt den Zusammenhang zwischen der Belastung eines Bauteils und dessen Verformung[1]. Die Steifigkeit wird bestimmt durch den Werkstoff des Körpers und dessen Geometrie (Gestalt und Größe). Ihre Definition hängt vom betrachteten Objekt und der Art seiner Beanspruchung ab. So unterscheidet man z. B. nach Art der Beanspruchung die Dehn-, Schub-, Biege- und Torsionssteifigkeit, oder nach Art des Bauteils u. a. die Platten- und die Federsteifigkeit. Der Kehrwert der Steifigkeit wird als Nachgiebigkeit bezeichnet.

Werkstoffsteifigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Werkstoffsteifigkeit, definiert als Verhältnis der wirkenden Spannung zur zugehörigen Dehnung, ist eine werkstoffmechanische Eigenschaft. Sie dient mit ihren Kennwerten auch der Charakterisierung der Werkstoffe, speziell auch mittels der spezifischen Steifigkeit, und wird in der Werkstoffprüfung ermittelt.[2] Die Werkstoffsteifigkeit zeigt sich im Spannungs-Dehnungs-Diagramm als Steigung der Spannungs-Dehnungs-Kurve. Die mathematische Darstellung der Werkstoffsteifigkeit wird als mechanisches Materialmodell oder Stoffgesetz bezeichnet.

Typische Kennwerte der Werkstoffsteifigkeit sind der Elastizitäts- und der Schubmodul bzw. mit der Dimension Kraft pro Flächeneinheit wie auch die dimensionslose Poissonzahl . In der Kontinuumsmechanik des isotropen linearelastischen Körpers werden häufig auch die beiden Lamé-Konstanten und als Steifigkeitskennwerte verwendet. Die vollständige elastizitätstheoretische Beschreibung der Steifigkeit erfordert bei isotropem Werkstoffverhalten zwei, bei Monotropie fünf, bei Orthotropie neun und bei allgemeiner Anisotropie 21 voneinander unabhängige Kennwerte.[3] Diese können in Matrizenform bzw. als Steifigkeitstensor dargestellt werden, wie dies bei numerischen Berechnungen wie der Finite-Elemente-Methode (FEM) der Fall ist. Bei linearer Elastizität sind diese Kenngrößen Konstanten. Bei nichtlinearem Verhalten sind sie Funktionen der Spannung bzw. der Dehnung. Bei viskoelastischem Verhalten sind die Steifigkeitskennwerte zeitabhängig, wie z. B. der Kriechmodul. Die Werkstoffsteifigkeit hängt bei praktisch allen Konstruktionsmaterialien mehr oder weniger stark von den Einsatzbedingungen ab, vor allem von der Temperatur, und teilweise, wie bei gewissen Kunststoffen, auch von der Feuchtigkeit.[4]

Die Werkstoffsteifigkeit ist mit der Dichte mitbestimmend für die Schallgeschwindigkeit , mit der sich Wellen in Festkörpern ausbreiten. Für die Longitudinalwelle im elastischen Stab mit dem Elastizitätsmodul z. B. gilt .

Bauteilsteifigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bauteilsteifigkeit ist ein wichtiges Kriterium bei der Auslegung von Konstruktionen, auch bei komplexen Strukturen wie z. B. Fahrzeugchassis, Flugzeugflügel usw., und insbesondere im Leichtbau[5] und bei der beanspruchungsgerechten Gestaltung.[6] Sie hängt von der Werkstoffsteifigkeit und der Bauteilgeometrie inkl. Art der Lagerung ab und ist definiert als Verhältnis zwischen der Belastung des Bauteils und der zugehörigen Verformung :

.

Die Steifigkeit der einzelnen Bauteilquerschnitte unterscheidet sich nach den vier Beanspruchungsarten Zug bzw. Druck, Schub, Biegung und Torsion. Sie ist bestimmt durch die örtliche Querschnittsgeometrie und die lokale Werkstoffsteifigkeit bzw. deren Verteilung über den Querschnitt. In den meisten Fällen ist die Werkstoffsteifigkeit über der ganzen Querschnittsfläche konstant. Eine inhomogen-diskrete Verteilung der Werkstoffsteifigkeit liegt z. B. bei Laminaten oder Sandwichstrukturen[7] vor. Bei Integral- oder Strukturschaumstoffen ist die Steifigkeitsverteilung im Querschnitt inhomogen-kontinuierlich, so dass die resultierende Steifigkeit durch eine Integralfunktion beschrieben werden kann[8]. Diese beanspruchungsspezifischen Querschnittsteifigkeiten sind erforderlich für analytische Berechnungen.

Dehnsteifigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dehnsteifigkeit

Die Dehnsteifigkeit , auch Zug/Druck-Steifigkeit genannt, beschreibt den Widerstand eines einachsig auf Zug oder Druck beanspruchten Bauteils im Querschnitt gegen eine Längsverformung. Sie ist definiert als Verhältnis der beanspruchenden Normalkraft zur von ihr hervorgerufenen Dehnung . Sie hat die Dimension einer Kraft und wird in der Regel in oder angegeben:

Je nach Verteilung der Werkstoffsteifigkeit über den Querschnitt gelten folgende Beziehungen:

  • Homogene Querschnitte mit :
.
  • Kontinuierliche Verteilung des ortsabhängigen Elastizitätsmoduls über die eben bleibende Querschnittsfläche :
  • Diskrete Verteilung des Elastizitätsmoduls über die Querschnittsfläche mit Schichten bzw. Bereichen und je unterschiedlichen, aber konstanten Elastizitätsmoduln :
.

Schubsteifigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schubsteifigkeit

Die Schubsteifigkeit ist der Widerstand eines auf Schub beanspruchten Bauteils im Querschnitt gegen eine Schubverformung. Sie ist bei Balken unter Querkraftbiegung relevant. Die Schubsteifigkeit ist definiert als Verhältnis der beanspruchenden Querkraft zum von ihr hervorgerufenen, über den verwölbten Querschnitt gemittelten Schubwinkel . Sie hat die Dimension einer Kraft und wird in der Regel in oder angegeben:

Je nach Verteilung der Werkstoffsteifigkeit über den Querschnitt gelten folgende Beziehungen:

  • Homogene Querschnitte mit :
.

Hierin sind der Schubkoeffizient und die sog. Schubfläche. Der Schubkoeffizient berücksichtigt den Einfluss der Querschnittsgeometrie auf die Schubverformung und die Schubsteifigkeit. Er ist analytisch ableitbar und kann für gegebene Querschnittsformen berechnet werden.[9]

  • Kontinuierliche Verteilung des ortsabhängigen Schubmoduls über die sich verwölbende Querschnittsfläche :
.
  • Diskrete Verteilung des Schubmoduls über die Querschnittsfläche mit zur Querkraft senkrechten Schichten und je unterschiedlichen, aber konstanten Schubmoduln :
.

Bei inhomogenen Querschnittsstrukturen bezieht sich der Schubkoeffizient auf den Gesamtquerschnitt.

Biegesteifigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Biegesteifigkeit

Die Biegesteifigkeit kennzeichnet den Widerstand eines auf Biegung beanspruchten Bauteils im eben bleibenden Querschnitt gegen eine Krümmung um die Biegeachse. Sie ist bestimmt durch das Verhältnis des beanspruchenden Biegemoments zur von ihm hervorgerufenen Krümmung mit als lokalem Krümmungsradius:

Die Biegesteifigkeit hat die Dimension Kraft mal Fläche und wird üblicherweise in oder angegeben.

Je nach Verteilung der Werkstoffsteifigkeit über den Querschnitt gelten folgende Beziehungen:

  • Homogene Querschnitte mit und als achsialem Flächenträgheitsmoment des Querschnitts bezüglich der Biegeachse :
  • Kontinuierliche Verteilung des ortsabhängigen Elastizitätsmoduls über die eben bleibende Querschnittsfläche :
  • Diskrete Verteilung des Elastizitätsmoduls über Schichten bzw. Bereiche mit den je unterschiedlichen, aber konstanten Elastizitätsmoduln und den Teil-Flächenträgheitsmomenten bezüglich der gemeinsamen Biegeachse :
.

Biegesteifigkeit bei breiten Querschnitten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit wachsender Breite der Querschnittsfläche wird die Querkontraktion in dieser Richtung zunehmend behindert, was die Biegesteifigkeit erhöht.[10] Bei gänzlicher Verhinderung der Querkontraktion führt dies mit der Poissonzahl zur Beziehung

Im Extremfall der Inkompressibilität mit ergibt dies eine Steifigkeitszunahme um den Faktor 4/3, d. h. 33 %.

Plattensteifigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Biegesteifigkeit ebener Flächentragwerke von vergleichsweise geringer Dicke , sog. Platten, entspricht im Wesentlichen der Biegesteifigkeit bei breiten Querschnitten, jedoch bezogen auf die Einheit der Breite . Somit ist die Plattensteifigkeit bei Rechteckquerschnitt und konstantem Elastizitätsmodul

Biegesteifigkeit eben gekrümmter Bauteile[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Biegesteifigkeit von Bauteilen mit zur Biegeebene symmetrischer Querschnittsfläche, und deren Längsachse in der Biegeebene im unverformten Zustand mit dem Radius gekrümmt ist („gekrümmter Träger“), erfährt durch diese Krümmung eine Erhöhung.[11] Es gilt:

Die versteifende Wirkung kann in Abhängigkeit von Krümmung und Querschnittsgeometrie bis zu 30 % betragen. Bei konstantem Elastizitätsmodul zeigt sie sich in der Beziehung:

Die Querschnittsgröße kann für einfache geometrische Flächen berechnet werden.

Torsionssteifigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Torsionssteifigkeit

Die Torsionssteifigkeit, auch als Verwindungssteifigkeit bezeichnet, ist der Widerstand eines auf Torsion beanspruchten Bauteils im Querschnitt gegen eine Verwindung um die Längsachse. Sie ist definiert als Verhältnis des beanspruchenden Torsionsmoments zum von ihm hervorgerufenen Verwindungswinkel pro Längeneinheit:

Die Torsionssteifigkeit hat die Dimension Kraft mal Fläche und wird üblicherweise in oder angegeben.

Allgemeine Querschnittsformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Torsionssteifigkeit homogener Querschnitte beliebiger Geometrie ist bestimmt als Produkt aus dem Schubmodul und dem Torsionsträgheitsmoment des Querschnitts:

Das Torsionsträgheitsmoment nicht rotationssymmetrischer Querschnittsformen ist nicht elementar berechenbar. Bekannte Lösungen sind in einschlägigen technischen Handbüchern aufgelistet.[12]

Die theoretische Beschreibung führt bei beliebig geformten Vollquerschnitten zu einer Poissonschen Differentialgleichung, die auch andern physikalischen Problemstellungen zugrunde liegt. Daher ermöglichen die Thomsonsche Strömungsanalogie[13] oder die Prandtlsche Membrananalogie[14], auch Seifenhautgleichnis genannt, einen anschaulichen Zugang zum Torsionsproblem.

Die Torsionssteifigkeit geschlossener, dünnwandiger Hohlquerschnitte kann unter der Annahme, die Schubspannungen seien über die Wanddicke konstant, mit den Bredtschen Formeln[15] berechnet werden; für jene offener, dünnwandiger Querschnitte sind Näherungsformeln bekannt.

Wird die bei nicht rotationssymmetrischen Querschnitten auftretende Querschnittsverwölbung behindert, z. B. durch Einspannung an den Enden, führt dies zu einer Erhöhung der Torsionssteifigkeit.

Rotationssymmetrische Querschnitte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Torsionsträgheitsmoment rotationssymmetrischer Querschnitte entspricht dem polaren Flächenträgheitsmoment bezüglich der Torsionsachse. Je nach Verteilung der Werkstoffsteifigkeit über den Querschnitt gelten folgende Beziehungen:

  • Homogene Querschnitte mit :
  • Kontinuierliche Verteilung des rotationssymmetrisch ortsabhängigen Schubmoduls über die eben bleibende Querschnittsfläche , mit :
  • Diskrete Verteilung des Elastizitätsmoduls über rotationssymmetrische Schichten mit den je unterschiedlichen, aber konstanten Schubmoduln und den polaren Teil-Flächenträgheitsmomenten bezüglich der Torsionsachse, z. B. bei Mehrschichtverbundrohren:
.

Federsteifigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Federsteifigkeit: Federcharakteristiken

Federsteifigkeit bezeichnet die Bauteilsteifigkeit von Federn, d. h. von Bauelementen unterschiedlichster Geometrie, deren Funktion ein definiertes Steifigkeitsverhalten mit elastischem Rückstellungsvermögen verlangt.[16] Diese Federcharakteristik, dargestellt durch die Federkennlinie im Last-Verformungs-Diagramm, kann je nach Art der Federn und eventueller Federkombinationen linear, progressiv, degressiv oder geknickt sein.[17] Die positionsspezifische Federsteifigkeit wird beschrieben durch die Federrate, d. h. die Steigung der Federkennlinie als Differentialquotient. Dieser hat bei translatorisch wirkenden Federn mit der Kraft und dem Weg die Form

in der üblichen Einheit N/mm. Bei linearer Federcharakteristik ist die Federrate konstant, sie wird zur Federkonstanten

Bei rotatorisch wirkenden Federn (Drehfedern) haben die Federrate bzw. die Federkonstante mit den entsprechenden Größen Drehmoment und Verdrehwinkel üblicherweise die Einheit N·mm/rad.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Norbert Herrlich, Johannes Kunz: Kunststoffpraxis. Konstruktion, Band 1/Teil 5 /Kap. 8.2: Beanspruchungsgerechtes Konstruieren, Steifigkeit. WEKA Media, Augsburg 1999. ISBN 3-8111-5935-6 (Stand März 1999, Loseblatt-Ausgabe in 2 Ordnern + 1 CD-ROM; Google Books)
  • Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Wolfgang A. Wall: Technische Mechanik, Band 2: Elastostatik. 14. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2021. ISBN 978-3-662-61861-5.
  • Karl-Eugen Kurrer: Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht. Ernst und Sohn, Berlin 2016, S. 102f. ISBN 978-3-433-03134-6.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Steifigkeit, in: Deutsche Enzyklopädie. [1], abgerufen am 18. November 2021.
  2. Wolfgang W. Seidel, Frank Hahn: Werkstofftechnik. Werkstoffe – Eigenschaften – Prüfung – Anwendung. 11. Auflage. Carl Hanser Verlag, München 2018. ISBN 978-3-446-45415-6. [2]
  3. Holm Altenbach: Kontinuumsmechanik. 4. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2018. ISBN 978-3-662-57503-1. [3]
  4. Wolfgang Kaiser: Kunststoffchemie für Ingenieure. 5. Auflage. Carl Hanser Verlag, München 2021. ISBN 978-3-446-45191-9. [4].
  5. Frank Henning, Elvira Moeller: Handbuch Leichtbau. 2. Auflage. Carl Hanser Verlag, München 2020. ISBN 978-3-446-45638-9. [5]
  6. Gustav Niemann, Hans Winter, Bernd-Robert Höhn, Karsten Stahl: Gestaltung – Formgebung. In: Maschinenelemente, Band 1. 5. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2019. ISBN 978-3-662-55481-4. [6].
  7. Andreas Öchsner: Stoff- und Formleichtbau. Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2020. Kap. 5: Sandwichelemente. ISBN 978-3-658-30713-4. [7]
  8. Wolfgang Müller, Lothar Starke: Modelle zur Berechnung des Elastizitätsmoduls und der Biegesteifigkeit von thermoplastischen Strukturschaumstoffen. In: Plaste und Kautschuk 31(1984)4, S. 348–351.
  9. Carl von Bach: Elasticität und Festigkeit. 4. Auflage. Verlag Julius Springer, Berlin 1902, S. 448–458.
    Hans Göldner, Franz Holzweißig: Leitfaden der Technischen Mechanik. 10. Auflage. Springer Verlag, Berlin 1988. Kap. 4.2: Querkraftschub in einfach geschlossenen Querschnitten. [8].
  10. Hans Göldner, Franz Holzweißig: Leitfaden der Technischen Mechanik. 10. Auflage. Springer Verlag, Berlin 1988. Kap. 3.7.5: Der breite Stab - Einfluss der Querkontraktion. [9].
  11. Hans Göldner, Franz Holzweißig: Leitfaden der Technischen Mechanik. 10. Auflage. Springer Verlag, Berlin 1988. Kap. 3.5: Biegung eben gekrümmter, symmetrischer Stäbe. [10].
  12. Beate Bender, Dietmar Göhlich (Hrsg.): Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen. Teil III: Festigkeitslehre, Kap. 20.5: Torsionsbeanspruchung. Springer Verlag, Berlin 2020. ISBN 978-3-662-59710-1. [11]
  13. William Thomson: Elasticity. In: Encyclopaedia Britannica, Math. and Phys. Papers III, 1878, p. 1–112.
  14. Ludwig Prandtl: Zur Torsion von prismatischen Stäben. In: Physikalische Zeitschrift 4(1903), S. 758–759.
  15. Rudolph Bredt: Kritische Bemerkungen zur Drehungselastizität. In: Zeitschrift des Vereins Deutscher Ingenieure 40(1896)28, S. 785–790, und 29, S. 813–817.
  16. Frank Engelmann, Thomas Guthmann: Maschinenelemente kompakt. Springer Verlag, Berlin 2019. Kap. 9: Federn. ISBN 978-3-662-57954-1. [12]
  17. Herbert Wittel et al.: Roloff / Matek Maschinenelemente. 24. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2019. Kap. 10: Federn. ISBN 978-3-658-26279-2. [13]