Stabwerk (Technische Mechanik)

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In der Technischen Mechanik wird mit dem Begriff Stabwerk oder Stabtragwerk ein ebenes oder räumliches Tragwerk, welches sich aus Stäben zusammensetzt, bezeichnet.

Konstruktionselemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die linienförmigen Stäbe sind punktförmig in Knoten miteinander verbunden. An speziellen Knoten – den Lager-Stellen – ist das Stabwerk als Gesamtheit mit der Umgebung verbunden.

Wenn das Stabwerk als Gesamtes längliche Form hat, werden die Längsseiten als Gurte, die begrenzenden Stäbe als Gurt-Stäbe bezeichnet.

Stäbe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Meistens werden gerade Stäbe oder Balken verwendet. Gekrümmte Stäbe haben häufig Kreisbogenform.

Die Stäbe werden i. d. R. so eingesetzt, vor allem in Fachwerken, dass sie von den möglichen Kraftkomponenten (Längs- (bzw. Normal-) und Querkraft und Biegemoment) nur von Längskräften beansrucht werden. Stäbe, die Biegebeanspruchung aushaltn können, sind wesentlich dicker als die schlanken Stäbe eines üblichen Stabwerks.

Verbindungen (Knoten)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kraftkomponenten werden über die Knoten von Stab zu Stab geleitet. Je nach Verbindungsart der Stäbe untereinander wird zwischen ecksteif und eckweich (im besonderen beim Fachwerk zutreffend) verbundenem Stabwerk und verschiedenen Mischformen unterschieden.[1]

Man spricht von fester Verbindung oder festem Anschluss (ecksteif), von Längs- oder Querkraftmechanismus (Längs- oder Querkraft-“Gelenk” [2]) und von (quasi)“gelenkiger” Verbindung oder “Gelenk” (eckweich). Bei einem ebenen Stabwerk können in diesen Verbindungen Normal- u. Querkraft und Drehmoment (fester Anschluss), Querkraft und Drehmoment (Längsmechanismus oder Längskraft-“Gelenk”), Längskraft und Drehmoment (Quermechanismus oder Querkraft-“Gelenk”) oder Normal- und Querkraft (“Gelenk”) übertragen werden.

Lager-Stellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

An den Lager-Stellen werden Kraftkomponenten (Kräfte und Drehmomente) aus dem Stabwerk heraus in die Umgebung übertragen. Je nachder Zahl der übertragenen Kraftkomponenten wird ein Lager als einwertig, zweiwertig, ... (bis n-wertig: n=3 bei ebenem, n=6 bei räumlichen Stabwerk) gekennzeichnet.[3] Beim ebenen Tragwerk ist ein unverschiebliches Drehlager zweiwertig, ein in der Tragwerksrichtung verschiebliches Drehlager (Loslager) einwertig und eine feste (unverschiebliche) Einspannung dreiwertig.

Fachwerk[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem Fachwerk werden die Stäbe idealerweise nur von Normalkräften beansprucht. In geringem Maße treten tatsächlich auch Momente auf, und die Stäbe werden nicht nur aufgrund der Normalkräfte verkürzt oder gelängt, sondern sie verbiegen sich auch etwas. Dadurch entstehen sog. Nebenspannungen. In statischen Berechnungen können bei der Vordimensionierung die Verbindungen wie (reibungsfreie) Drehgelenke behandelt werden.

Statische Bestimmtheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein statisch unterbestimmtes („kinematisches“) Stabwerk wäre auf seinen Fundamenten oder in sich selber beweglich, also instabil. Statisch überbestimmte Stabwerke (= statisch unbestimmte Stabwerke) sind i. d. R. stabiler als statisch bestimmte Stabwerke. Statisch unbestimmte Systeme können nicht allein mit den Gleichgewichtsbedingungen eindeutig gelöst werden, man braucht zusätzlich Verformungsrandbedingungen. Thermische Ausdehnungen und Setzungen der Fundamente können bei ihnen sekundäre, innere Beanspruchungen und Verformungen bewirken (also zusätzlich zu den von außen anliegenden Lasten wie Bauteilgewichte, Schnee- und Verkehrslast sowie Winddruck). Fertigungsungenauigkeiten bei den Stablängen können die Montage erschweren und auch zu sekundären, inneren Beanspruchungen und Verformungen führen (Zwängungen).

Aus den Gleichgewichtsbedingungen wurden für Stabwerke und nochmals speziell für Fachwerke die sogenannten Abzählkriterien als vereinfachte Bestimmungsmethode entwickelt. Für Grenzfälle liefern sie aber nicht immer das richtige Ergebnis, was wegen ihrer schematischen Anwendung zudem nicht erkennbar ist.

Erfahrene Stabwerk-Konstrukteure benutzen deshalb andere Kriterien wie das Abbau- bzw. Aufbaukriterien (Frage: Was passiert, wenn ein Stab entfernt bzw. ein Stab hinzugefügt wird?). Die sichere Antwort für jeden Fall und für Ungeübte folgt nur aus der Arbeit mit den Gleichgewichtsbedingungen.

Grad der statischen Bestimmtheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Grad der statischen Bestimmtheit eines Stabwerks wird mit der ganzzahligen Größe    angegeben:

    statisch überbestimmt/ unbestimmt,
    oftmals statisch bestimmt,
    statisch unterbestimmt (=„kinematisch“ also beweglich).

Abzählkriterien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeines Abzählkriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bestimmung von n kann mit der folgenden, als Abzählkriterium bekannten Formel erfolgen:[4][5]

ebene Tragwerke:
räumliche Tragwerke:

Hierbei sind:
i: Summe der in den Auflagern unterbundenen Bewegungsmöglichkeiten (Wertigkeiten der Auflager,)
j: Summe der in den Verbindungen unterbundenen Bewegungsmöglichkeiten (Wertigkeiten der Verbindungen),
k: Anzahl der starren Bauteile (deformierbare Stäbe zählen hier im Allgemeinen als starr (Ausnahme: z. B. Fließgelenke)).

Gerberträger: i = 5,  j = 4,  k = 3        

Rechenbeispiel: (ebener) Gerberträger

      ⇐       der Gerberträger ist ein statisch bestimmtes Tragwerk.

Mit dem Abzählkriterium ermittelte statische Unbestimmtheit entspricht immer der Realität, aber nicht immer ermittelte statische Bestimmtheit. Unter- und Überbestimmtheiten können sich bei diesem Verfahren gegenseitig aufheben. Beispiel hierfür ist ein zweiteiliger Balken, der auf drei Loslagern liegt: Trotz ermitteltem n = 0 ist er offensichtlich nicht statisch bestimmt.[6]

Abzählkriterium für Fachwerke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ein ebenes Fachwerk:
z = 5,  a = 4,  s = 6        

Für Fachwerke kann man das allgemeine Abzählkriterium verwenden, da die Stäbe nur Normalkräfte bekommen und alle Verbindungen als Drehgelenke bewertbar sind kann man sie vereinfachen:

Für ebene Fachwerke wird folgende Formel verwendet:[7][8]

Hierbei sind: a: Summe der in den Auflagerdrehgelenken unterbundenen Bewegungsmöglichkeiten (Wertigkeiten der Auflager),
s: Anzahl der Stäbe,
z: Anzahl der Drehgelenke (Auflager + Verbindungen).

Beispiel: nebenstehend abgebildetes Fachwerk

      ⇐       das nebenstehend abgebildete Fachwerk ist statisch bestimmt.

Für räumliche Fachwerke wird folgende Formel verwendet:[7][8]

[9]

Auch die Abzählkriterien für Fachwerke sind nur eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für den Nachweis statischer Bestimmtheit.[10]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Klaus-Jürgen Schneider, Erwin Schweda: Statisch bestimmte ebene Stabwerke. 2 Bde. 3., neubearb. Aufl., Werner, Düsseldorf 1985, ISBN 3-8041-3377-0 und ISBN 3-8041-3378-9
  • Walter Wunderlich, Gunter Kiener: Statik der Stabtragwerke. Teubner, Stuttgart 2004, ISBN 3-519-05061-7
  • Konstantin Meskouris, Erwin Hake: Statik der Stabtragwerke : Einführung in die Tragwerkslehre. 2. Aufl., Springer, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-88992-2

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. K. Meskouris, E. Hake: Statik der Stabtragwerke, Springer, 2009, S. 39
  2. Pichler, Bernhard. Eberhardsteiner, Josef: Baustatik VO LVA-Nr 202.065. TU Verlag Wien, 2016 ISBN 9783903024175
  3. K. Meskouris, E. Hake, S. 40
  4. Roman Harcke: Statische Bestimmtheit Abzählkriterium
  5. Oliver Romberg, Nikolaus Hinrichs: Keine Panik vor Mechanik. Vieweg & Teubner Verlag, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1489-0, S. 35.
  6. B. Marussig: Kraftgrößenverfahren, Seite 6: Nachteile des Abzählkriteriums
  7. a b Das „Föpplsche Gesetz“, vgl. Max Mengeringshausen: Raumfachwerke, Bauverlag GmbH, 1975, S. 28.
  8. a b statik-lernen.de: Statische (Un-)Bestimmtheit Abzählkriterium
  9. Marussig, Kraftgrößenverfahren, Seite 4, Abzählkriterien für Fachwerke
  10. Marussig, Kraftgrößenverfahren, Seite 5, Beispiel d: Abzählkriterim nicht hinreichend