Ausdehnungskoeffizient

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Der Ausdehnungskoeffizient oder Wärmeausdehnungskoeffizient ist ein Kennwert, der das Verhalten eines Stoffes bezüglich Veränderungen seiner Abmessungen bei Temperaturveränderungen beschreibt – deswegen oft auch thermischer Ausdehnungskoeffizient genannt. Der hierfür verantwortliche Effekt ist die Wärmeausdehnung. Die Wärmeausdehnung ist abhängig vom verwendeten Stoff, es handelt sich also um eine stoffspezifische Materialkonstante. Da die Wärmeausdehnung bei vielen Stoffen nicht gleichmäßig über alle Temperaturbereiche erfolgt, ist auch der Wärmeausdehnungskoeffizient selbst temperaturabhängig und wird deshalb für eine bestimmte Bezugstemperatur oder einen bestimmten Temperaturbereich angegeben.

Es wird zwischen dem thermischen Längenausdehnungskoeffizienten α (auch linearer Wärmeausdehnungskoeffizient) und dem thermischen Raumausdehnungskoeffizienten γ (auch räumlicher Ausdehnungskoeffizient oder Volumenausdehnungskoeffizient oder kubischer Ausdehnungskoeffizient) unterschieden.

Längenausdehnungskoeffizient[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Längenausdehnungskoeffizient eines Festkörpers mit der Länge ist die Proportionalitätskonstante zwischen der Temperaturänderung und der relativen Längenänderung . Mit ihm wird demnach die relative Längenänderung bei einer Temperaturänderung beschrieben. Er ist eine stoffspezifische Größe, die die Einheit („pro Kelvin“ gesprochen) hat und über die folgende Gleichung definiert ist:

Die temperaturabhängige Länge eines Stabes kann über die Lösung dieser Differentialgleichung berechnet werden, sie lautet:

Bei einem von der Temperatur unabhängigen Ausdehnungskoeffizienten wird daraus zusammen mit der ursprünglichen Länge bei gleichmäßiger Erwärmung oder Abkühlung um die Temperaturdifferenz :

Für die meisten Anwendungen ist es ausreichend, folgende Näherung zu verwenden, bei der die Exponentialfunktion durch die ersten beiden Glieder ihrer Taylorreihe angenähert wurde:

Die Längenänderung in linearer Näherung lautet somit:

Bei anisotropen Festkörpern ist der Längenausdehnungskoeffizient ebenfalls richtungsabhängig. Dies ist insbesondere bei der Verwendung von Tabellenwerten aus der Literatur zu beachten.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aluminium hat einen Wärmeausdehnungskoeffizient . Das bedeutet, dass sich ein 1000 Meter langes Aluminiumstück bei einer Temperaturerhöhung von einem Kelvin um 23,1 mm ausdehnt.

Wenn ein anderes Aluminiumstück 8 Meter lang ist und die Temperaturerhöhung 70 Kelvin beträgt, dann dehnt sich dieses Aluminiumstück um 1,3 Zentimeter aus, denn

Letzteres Beispiel beschreibt z. B. acht seitlich aneinandergeschraubte Solarmodule mit Aluminiumrahmen und deren ungefähren maximalen Temperaturunterschied zwischen Sommer (sonnenbestrahltes Aluminium) und Winter (Lufttemperatur in der Nacht). Man erkennt daran, dass die Wärmeausdehnung bei der Konstruktion der Befestigungs- und Rahmenbauteile berücksichtigt werden muss, z. B. durch flexible oder verschiebbare Befestigungselemente.

Raumausdehnungskoeffizient[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Raumausdehnungskoeffizient hat wie der Längenausdehnungskoeffizient die Einheit . Er gibt das Verhältnis zwischen der relativen Volumenzunahme und der Temperaturänderung eines Körpers an. Mathematisch ist er definiert durch:

wobei die den partiellen Ableitungen als Index nachgestellten Größen Druck und Teilchenzahl konstant zu halten sind. Die temperaturabhängige Lösung hierfür lautet analog zu oben:

Bei einem von der Temperatur unabhängigen Raumausdehnungskoeffizient ergibt sich zusammen mit :

Ebenso wie für den Längenausdehnungskoeffizienten kann hier die Linearisierung als Näherung für kleine Temperaturänderungen benutzt werden:

Mit einer Maxwell-Relation ist es möglich, den Raumausdehnungskoeffizienten mit der Entropie in Verbindung zu bringen:

Da die Masse wegen der Massenerhaltung temperaturunabhängig ist, ergibt sich der Raumausdehnungskoeffizient aus der Dichte in Abhängigkeit von der Temperatur:

Ist der Ausdehnungskoeffizient als Funktion der Temperatur bekannt, so ergibt sich die Dichte aus:

Hierbei ist eine beliebige Temperatur, z. B. , bei der die Dichte bekannt ist.

Eduard Grüneisen hat gezeigt, dass der Quotient zwischen dem thermischen Ausdehnungskoeffizienten und der spezifischen Wärmekapazität näherungsweise unabhängig von der Temperatur ist.

Im Allgemeinen ist der Wärmeausdehnungskoeffizient eine positive Größe. Wegen des Massenerhaltungssatzes geht daher bei den meisten Stoffen eine Temperaturerhöhung mit einer Verringerung der Dichte einher. Manche Stoffe, wie beispielsweise Wasser zwischen und , zeigen jedoch in bestimmten Temperaturbereichen das als Dichteanomalie bezeichnete Verhalten, bei dem ein negativer Ausdehnungskoeffizient beobachtet wird. Außerdem gibt es Materialien, wie zum Beispiel einige Arten von Glaskeramik, deren Wärmeausdehnungskoeffizient nahezu null ist.

Der Wärmeausdehnungskoeffizient kann auf empirischem Wege durch Messungen ermittelt werden und gilt nur für den Stoff und für den Temperaturbereich, an dem beziehungsweise in dem die Messung erfolgte.

Zusammenhang zwischen Längen- und Raumausdehnungskoeffizienten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für isotrope Festkörper gilt, dass sich die Längenänderung in allen drei Raumrichtungen gleich verhält. Das Volumen eines Quaders ist gegeben durch das Produkt seiner Kantenlängen . Das vollständige Differential des Volumens lautet dann:

Eingesetzt in die Definition des Raumausdehnungskoeffizienten ergibt sich:

Aufgrund der vorausgesetzten Isotropie sind die drei Terme auf der rechten Seite jeweils gleich dem Längenausdehnungskoeffizienten, es gilt also:

Für isotrope Festkörper kann also das Dreifache des Längenausdehnungskoeffizienten verwendet werden, um die Volumenausdehnung zu berechnen.

Zusammenhang zwischen Längen- und Raumausdehnungskoeffizienten bei Bestimmung aus realen Temperaturdifferenzen/Volumendifferenzen/Dichtedifferenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Praktisch ist es nicht einfach den Ausdehnungskoeffizient mit kleinen Temperaturdifferenzen zu bestimmen. Man wendet größere Differenzen an. Andernfalls gerät man schnell an die Grenzen der Meßtechnik/Meßgenauigkeit.

Aus den Definitionsgleichungen für Längenausdehnungskoeffizienten und Volumenausdehnungskoeffizienten folgen die zwei Grundgleichungen der Ausdehnung:

und
mit .

Für alle Feststoffe und Flüssigkeiten, die keine Dichteanomalie aufweisen gilt daher:

und (bei Flüssigkeiten als angenommene Kantenlänge des Würfelvolumens).

Die Ausdehnungskoeffizienten sind hier "mittlere Werte" für den Temperaturbereich von Anfangstemperatur bis Endtemperatur des Versuchs. Nun kann man die Definitionsgleichung des Würfelvolumens bzw. als Volumen oder als Kantenlänge ( oder ) in eine der beiden Gleichungen einführen. Danach setzt man das Endvolumen oder die Endlänge beider Gleichungen einander gleich. Durch Teilen durch Anfangsvolumen oder Anfangslänge entstehen die Quotienten von Länge und Volumen. Die Dichtewerte sind den Volumen indirekt proportional und können eingeführt werden, indem die Volumina (im Volumenquotient) jeweils durch die Masse geteilt werden. Dies entspricht also dem Kehrwert der Dichte.

Letztlich erhält man folgende Gleichung, die die Verknüpfung von Längen, Volumen, Dichten und beider Temperaturkoeffizienten bei realen (nicht-differenziellen) Temperaturdifferenzen eines Ausdehnungsversuches wiedergibt:

Würde die Temperaturdifferenz hier differentiell klein, also praktisch Null, verschmelzen beide Werte von Länge/Volumen/Dichte zu einem Wert, ihr Quotient wird 1. Wie man sieht sind mittlerer Längenausdehnungskoeffizient und mittlerer Volumenausdehnungskoeffizient laut dieser Formel für den Versuch mit realen Temperaturdifferenzen nur ineinander (exakt) umrechenbar, wenn die Temperaturdifferenz bekannt ist:

und
.

Setzt man in diese Formeln eine Temperaturdifferenz von 1 Kelvin ein, so erzielt die Umrechnung von Längenausdehnungskoeffizient in Volumenausdehnungskoeffizient (oder umgekehrt) genau das gleiche Verhältnis (Umrechnungsfaktor) wie er von der aus dem Vollständigen Differential hergeleiteten Formel beschrieben wird: . Für alle anderen Temperaturdifferenzen werden leicht abweichende Umrechnungsfaktoren erhalten. Die partielle Differenzierung kann eben nicht eine starke Ausdehnung beschreiben.

Ausdehnungskoeffizienten einiger Stoffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Feststoffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Längenausdehnungskoeffizient α einiger Feststoffe bei 20 °C
Bezeichnung α in 10−6 K−1
Aluminium[1] 023,1
Beryllium[1] 011,3
Beton 012
Blei[1] 028,9
Borosilikatglas[2] 003,3
Chrom[1] 004,9
Diamant[1] 001,18
Eisen[1] 011,8
Germanium[1] 005,8
Glas 008,5
Gold[1] 014,2
Graphit[3] 001,9 … 2,9
Invar[1] 000,55 … 1,2
Kupfer[1] 016,5
Magnesium[1] 024,8
Mangan[1] 021,7
Kochsalz[4] 040
Nickel[1] 013,4
Platin[1] 008,8
Polypropylene 150
PVC 052
Quarz[5] 012 … 16
Quarzglas[6] 000,54
Silber[1] 018,9
Silizium[1] 002,6
Stahl 011 … 13
Technische Keramik[7] 002 … 13
Titan[1] 008,6
Wolfram[1] 004,5
Zerodur (Glaskeramik)[8] 000 ± 0,007
Zink[1] 030,2
Zinkcyanid[9] −18,1
Zinn[1] 022,0
Zirconiumwolframat[9] 0−8,7

Für Feststoffe werden in der Regel Längenausdehnungskoeffizienten verwendet. Da viele Materialien isotrop sind, können diese, wie oben beschrieben, auch zur Beschreibung der Volumenausdehnung verwendet werden. Für anisotrope Stoffe gelten verschiedene Ausdehnungskoeffizienten für die unterschiedlichen Raumrichtungen. Starke Anisotropie zeigen einige Verbundwerkstoffe, wie das Naturprodukt Holz: Die Ausdehnung quer zur Faser ist etwa zehnmal größer als längs der Faser.[10] Ebenfalls stark anisotrop ist das Verhalten von Kohlenstofffasern, welche in Faserrichtung sogar einen leicht negativen Ausdehnungskoeffizienten aufweisen. Mittels CFK ergibt sich damit die Möglichkeit, Bauteile herzustellen, die in gewünschten Vorzugsrichtungen bei Temperaturänderungen keine oder nur minimale Größenänderungen aufweisen.

Die Legierung Invar wurde speziell entwickelt, um einen kleinen Ausdehnungskoeffizienten zu erhalten. Durch kleine Abweichungen der Zusammensetzung schwankt der Ausdehnungskoeffizient für diesen Stoff relativ stark.

Kunststoffe (Polymere) sind von der Struktur und den Eigenschaften sehr vielfältig und bestehen meist aus einem Gemisch verschiedener reiner Stoffe. Der Ausdehnungskoeffizient schwankt entsprechend mit der tatsächlichen Zusammensetzung, ist aber in der Regel deutlich höher als für Metalle, das heißt größer als 50 · 10−6 K−1.[3] Unterhalb ihres Glasübergangs haben Polymere, bzw. allgemein amorphe Feststoffe, in der Regel einen deutlich kleineren Ausdehnungskoeffizienten als oberhalb.

Flüssigkeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Raumausdehnungskoeffizient γ einiger Flüssigkeiten bei 20 °C
Bezeichnung γ in 10−3 K−1
Aceton[1] 01,46
Benzol[1] 01,14
Chloroform[1] 01,21
Diethylether[11] 01,62
Essigsäure[1] 01,08
Ethanol[1] 01,10
Glycerin[1] 00,520
Heizöl bei 15 °C[12] 00,84
Methanol[1] 01,49
Mineralöl, Hydrauliköl 00,7
NaK 00,16
n-Pentan[11] 01,6
Quecksilber[1] 00,1811
Tetrachlormethan[1] 01,21
Toluol[11] /> 01,11
Wasser 00,207
Wasser bei 0 °C −0,068
Wasser bei 100 °C 00,782

0 Für Flüssigkeiten kann der Raumausdehnungskoeffizient angegeben werden. Sie dehnen sich isotrop, also in alle Richtungen gleichermaßen aus. Ihre Form wird durch das sie beinhaltende Gefäß vorgegeben, weshalb es sich nicht anbietet, den Längenausdehnungskoeffizienten für sie zu bestimmen, obwohl er formal berechnet werden kann.

Flüssigkeiten haben in der Regel einen deutlich größeren Ausdehnungskoeffizienten als Feststoffe. Deshalb werden Angaben für sie oft in Tausendstel pro Kelvin gemacht, anstelle von Millionstel pro Kelvin für Feststoffe. In den Tabellen dieses Abschnitts sind die Einheiten dementsprechend gewählt.

Gase[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Thermische Ausdehnung von Gasen, einigen Flüssigkeiten und einigen Festkörpern

Gase unter Normaldruck und weit oberhalb des Siedepunktes verhalten sich näherungsweise wie ein ideales Gas. Dieses dehnt sich proportional zur absoluten Temperatur aus. Dieser einfache lineare Zusammenhang zwischen Volumen und Temperatur resultiert in einem sich stark mit der Temperatur ändernden Ausdehnungskoeffizienten , der umgekehrt proportional zur absoluten Temperatur ist:

Der Ausdehnungskoeffizient für ideale Gase bei 20 °C ist 1 / 293,15 K−1 = 3,41 · 10−3 K−1. Allgemein kann der Ausdehnungskoeffizient durch die thermischen Zustandsgleichung idealer Gase als γ(T) oder durch die thermischen Zustandsgleichung realer Gase als γ(T,p) berechnet werden.

Berechnung des mittleren Raumausdehnungskoeffizienten aus Werten der Dichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da die Änderung des Volumens von Feststoffen und Flüssigkeiten eine Änderung deren Dichte nach sich zieht, kann der mittlere statistische Volumenausdehnungskoeffizient auch aus dem Quotienten zweier Dichten für zwei Temperaturen berechnet werden[13]:

mit .

Der mittlere Raumausdehnungskoeffizient ergibt sich also zu:

.

Der mittlere statistische Raumausdehnungskoeffizient hat Vorteile in der Anwendung gegenüber dem auf eine Temperatur T bezogenen "üblichen" Volumenausdehnungskoeffizienten "". Der übliche Volumenausdehnungskoeffizient ist nur für eine Temperatur gültig. Dessen Wert steigt bei Flüssigkeiten mit steigender Temperatur meist an. Wegen der Dichteanomalie, u. a. von Wasser und flüssigem Ammoniak haben diese Substanzen in engen Temperaturbereichen auch negative Ausdehnungskoeffizienten. Berechnet man also die Volumenänderung mit Hilfe des mittleren Volumenausdehnungskoeffizienten von Temperatur bis Temperatur , so erhält man einen korrekten Wert für das neue Volumen -oder die neue Dichte- , während die Berechnung mit dem Volumenausdehnungskoeffizienten zu einer festen Temperatur einen "größeren" Fehler aufweisen würde. Es ist auch möglich den Volumenausdehnungskoeffizienten für eine bestimmte Temperatur sehr genau zu berechnen mittels dieser Methode. Dazu zieht man die Dichtewerte für 1 Kelvin weniger und ein Kelvin mehr heran. Als Temperaturdifferenz wird 2 Kelvin eingesetzt. Für Wasser bei 4 °C erhält man so aus den Dichtewerten für 3 °C und 5 °C einen Volumenausdehnungskoeffizienten des Wertes 0. Dies ist korrekt, da Wasser bei 4 °C sein Dichtemaximum hat, dessen Dichte von 0 °C bis 4 °C steigt und ab 4 °C wieder absinkt. Folglich ist der Volumenausdehnungskoeffizient für Wasser bei 4 °C Null!

Aus Dichtewerten berechnete mittlere Ausdehnungskoeffizienten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Substanz / in [°C] / in [g/cm3] in [K] mittlere Temperatur in [°C] in [1/K]
Wasser 0 / 1 0,999840 / 0,999899 1 0,5 −0,000059006
Wasser 3 / 5 0,999964 / 0,999964 2 4 0
Wasser 0 / 20 0,999840 / 0,998203 20 10 0,0000820
Wasser 17 / 19 0,998773 / 0,998403 2 18 0,0001853
Wasser 19 / 21 0,998403 / 0,997991 2 20 0,0002064
Wasser 24 / 26 0,997295 / 0,996782 2 25 0,0002573
Wasser 20 / 100 0,998203 / 0,95835 80 60 0,0005198
Wasser 90 / 100 0,96532 / 0,95835 10 95 0,0007273
Quecksilber −20 / −18 13,6446 / 13,6396 2 −19 0,0001833
Quecksilber −2 / 2 13,6000 / 13,5901 4 0 0,00018212
Quecksilber 0 / 20 13,5951 / 13,5457 20 10 0,0001823
Quecksilber 16 / 20 13,5556 / 13,5457 4 18 0,00018271
Quecksilber 18 / 22 13,5507 / 13,5408 4 20 0,00018278
Quecksilber 24 / 26 13,5359 / 13,5310 2 25 0,00018107
Quecksilber 20 / 100 13,5457 / 13,3512 80 60 0,0001821
Quecksilber 90 / 100 13,3753 / 13,3512 10 95 0,0001805
Quecksilber 240 / 260 13,018 / 12,970 20 250 0,00018504

Quelle der Dichtewerte: Tabellen zur Chemie (1991)[14].

Bei ca. 4 °C hat Wasser seine maximale Dichte von 0,999975 [g/cm3] (Dichteanomalie!) und der Volumenausdehnungskoeffizient ist hier Null!

Die berechneten Werte zeigen beispielsweise für eine Temperatursteigerung von 0 auf 20 °C eine Volumenzunahme um +0,164 [%] für Wasser und um +0,365 [%] für Quecksilber. Von 20 bis 100 °C steigen die Volumen um +4,16 [%] bei Wasser und um +1,46 [%] bei Quecksilber.

Wie man sieht, steigt der Volumenausdehnungskoeffizient mit steigender Temperatur fast immer nur an, es sei denn die Substanz hat in einem engen Temperaturbereich eine Dichteanomalie, wie bei Wasser zwischen 0 und 4 °C vorliegend.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Gerhard Ondracek: Werkstoffkunde. Leitfaden für Studium und Praxis. 2., überarbeitete Auflage. Expert-Verlag, Sindelfingen 1986, ISBN 3-88508-966-1.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z aa ab ac William M. Haynes (Hrsg.): CRC Handbook of Chemistry and Physics. A ready-reference Book of chemical and physical Data. 92. Auflage. CRC Press, Boca Raton FL u. a. 2011, ISBN 978-1-4398-5511-9.
  2. Technical Glasses Data Sheet (PDF) schott.com.
  3. a b Werner Martienssen, Hans Warlimont (Hrsg.): Springer Handbook of Condensed Matter and Material Data. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-44376-2.
  4. Lloyd Hunter: The Variation with Temperature of the Principal Elastic Moduli of NaCl near the Melting Point. In: Physical Review. Band 61, 1942, S. 84–90, doi:10.1103/PhysRev.61.84.
  5. J. A. Kosinski, J. G. Gualtieri, A. Ballato: Thermal expansion of alpha quartz. In: Proceedings of the 45th Annual Symposium on Frequency Control 1991. IEEE, Los Angeles 1991, ISBN 0-87942-658-6, S. 22, doi:10.1109/freq.1991.145883 (amerikanisches Englisch).
  6. Produktinformationsseite des Herstellers Heraeus-Quarzglas. auf heraeus-quarzglas.de.
  7. Keramverband Thermische Eigenschaften. Abgerufen am 29. Mai 2018.
  8. ZERODUR® Glaskeramik mit extrem niedriger thermischer Ausdehnung. Schott AG, abgerufen am 3. Februar 2019 (Der angegebene Wert gilt für Zerodur der Dehnungsklasse 0 EXTREME.).
  9. a b Christian Georgi, Heinrich Kern: Festkörper mit negativer thermischer Ausdehnung (= Schriftenreihe Werkstoffwissenschaften. Band 18). In: Lothar Spiess, Heinrich Kern, Christian Knedlik: Thüringer Werkstofftag 2004. Köster, Berlin 2004, ISBN 3-89574-519-7, S. 63–68.
  10. The coefficients of thermal expansion of wood and wood products (PDF; 5,1 MB) Abgerufen am 10. Mai 2012.
  11. a b c Physikalisches Praktikum, W01 – Thermische Ausdehnung b-tu.de, abgerufen 12. Jänner 2019.
  12. Temperatur-Mengenumwertung von Biokraftstoff-Mineralkraftstoff Gemischen und Biokraftstoff-Heizöl-Gemischen. Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB), abgerufen am 27. Oktober 2017 (PDF).
  13. Bierwerth: Tabellenbuch Chemietechnik, Europa Lehrmittel, 2005, S. 61: Formel zur "Temperaturabhängigkeit der Dichte"
  14. Hübschmann/Links: Tabellen zur Chemie, Verlag Handwerk und Technik, Hamburg, 1991, ISBN 3-582-01234-4, Dichte von Quecksilber und Wasser bei verschiedenen Temperaturen, S. 36